在深度勾连中促进理解　感悟数与运算的一致性

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》将数的认识与数的运算进行了整合，旨在使学生从整体上基于数与运算，感悟数的概念和运算的一致性。教师要理解数与运算一致性的价值与内涵，引导学生理解数的概念及数的运算本质上的一致性，深化对数学知识本质的理解，建立知识之间的联系，形成结构化的思维，发展数学核心素养。关键词：数的认识；数的运算；一致性；数学核心素养《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）将数的认识与数的运算进行了整合，对数与运算的教学提出了新的要求。这样的整合，有助于学生从整体上理解数与运算，感悟数的概念和运算的一致性。教师要基于数与运算一致性的价值与内涵，引导学生理解数的概念及数的运算本质上的一致性，深化对数学知识本质的理解，建立知识之间的联系，形成结构化的思维，发展数学核心素养。笔者以北师大版数学教材四年级下册第一单元“小数的意义和加减法”中的“买菜”一课为例，谈一谈如何在深度勾连中促进学生理解算理，感悟数与运算的一致性。一、勾连数的认识和运算，凸显核心概念核心概念是体现学科本质、统领教学内容的核心要素。教师要从整体视角审视教学对象，准确提取单元主题的核心概念，以核心概念勾连零散的知识点，自上而下、由表及里地梳理单元内部知识结构，为达成教学目标，落实核心素养提供有力保障。那么，“小數的意义和加减法”这一单元的核心概念是什么？我们从新课标、教材、学情等角度进行深入分析。首先，我们从新课标的内容要求、学业要求及教学提示中找依据（见表1）。“小数的意义和加减法”主要包括：小数的意义、小数的大小比较及小数的加减运算。小数的意义的教学是重点引导学生理解0.1，0.01，0.001等计数单位的含义；小数的大小比较也是基于计数单位多少的比较，而小数加减法对算理的理解也要追溯到数的意义，本质上就是小数计数单位个数的运算。所以本单元的核心概念就是“小数的计数单位”。教师在教学时应以此为核心，立足数与运算的一致性，构建出本课的整体结构。【教学片段】师：数字宝宝要进行一场足球比赛，你们看，它们迈着整齐的步伐上场了。数字宝宝们组成了一个什么数？（1.43）看到1.43，你能想到在生活中它可以表示什么吗？生：可以表示1元4角3分。生：可以表示1米4分米3厘米。生：我们还可以用计数器、面积模型等来表示1.43。【思考】在以上的教学导入中，教师从复习小数1.43的意义入手，引导学生“运用不同方法表示小数”，结合具体的元、角、分、米、分米、厘米，拓展到使用计数器表示，再到抽象的面积模型，深入理解1.43中的1表示1个1、4表示4个0.1、3表示3个0.01，从而达到对小数意义概括性的理解水平。此教学环节不仅调动了学生对小数的认识、计数单位及其意义的原有学习经验，还为后续探索小数加减法的计算方法做好了铺垫。二、勾连直观模型，从算法到算理算法是指在解决相同类型的计算或问题时，按照一定的计算方法和步骤得到结果的程序。算理则是指说明这种程序合理性的理论依据（比如小数点对齐即相同计数单位相加减）。对学生来说，算法是学习的外显性表现，而算理是内显性理解。解决问题时，学生通常从怎么算入手，在教师的引导下完成对于算理的理解，在此基础上总结出算法，以此实现算理与算法的真正勾连。那么，如何引导学生真正理解算理、掌握算法呢？在本课教学中，教师应关注学生的真实想法，鼓励他们思考迁移已有的经验，用多种直观模型探索1.25+2.41和3.66-1.25的计算结果，引导学生联系数和运算的意义，在摆、拨、画等操作活动中，感受计算小数加减法中相同数位对齐的道理，在探索算法中自觉地迈出感悟算理的第一步。【教学片段】笑笑去买菜，付钱时售货员叔叔的算法是：一把油菜1.25元，一把芹菜2.41元，应该付3.66元。师：售货员叔叔算得对吗？我们应该如何来验证？生：可以求笑笑买菜一共花了多少元。用加法计算，列式为1.25+2.41=。师：这是一个两个加数都是小数的加法算式，该如何计算呢？生：我是用摆人民币的方式计算的，先摆一个1元，2个1角，5个1分，表示1.25元。再摆两个1元，4个1角，1个1分，表示2.41元。把它们合起来是3元6角6分，也就是3.66元。生：我是借助计数器，把珠子画在了不同的数位上，来表示大小不同的数字。生：我是用面积模型来表达计算过程的。师：你能用列竖式的方法计算一下吗？生：先用第一个加数1.25与另外一个加数2.41相加。注意要把相同数位对齐。先用百分位的5与百分位的1相加等于6，写在百分位上。再用十分位的2与十分位的4相加等于6，写在十分位上。最后，用个位的1与个位的2相加等于3，写在个位上，点上小数点等于3.66。在小数减法的教学中，为了保证一致性，教师也可以引导学生利用以上的四种方法进行计算。【教学片段】师：刚才同学们运用加法验证了售货员收3.66元是对的。聪明的你想想看，还有其他方法吗？生：老师，我想到还能用减法来解决。求3.66元减去1把油菜的价钱还剩多少元，如果等于一把芹菜的价钱，那就说明是对的。列式为3.66-1.25。生：可以用摆人民币的方法计算，可以借助计算器计算，可以借助面积模型计算。师：这道题通过列竖式该如何计算呢？【思考】本环节中，教师引导学生利用已有的知识和经验选择合适的方法，通过摆人民币、拨珠子、涂面积模型等多种方法进行计算。学生在求和、求差的过程中，直观感受到相同数位上的数字相加减的过程，初步理解“只有相同计数单位的个数才能直接相加减”的道理。三、勾连整数小数，感悟运算一致性新课标中明确指出：“通过小数加减运算与整数运算进行比较，引导学生初步了解运算的一致性。培养运算能力。”在加减法运算中，无论是整数的数位对齐，还是小数的小數点对齐，都是为了相同计数单位上的数相加减。因此在教学过程中，教师要引导学生关注加减法运算背后的道理，用核心概念“计数单位”打通整数、小数之间的联系。教师通过核心概念建构脉络清晰、条理分明、相互联系的数学知识体系，进而引导学生体会不同数学知识、学习方法之间的一致性和可迁移性，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展数学核心素养。这一部分我们设计了两个层次完成。一是在“用竖式计算，总结算法”这一环节中辨析错例，感悟整数、小数运算的一致性。【教学片段】师：这里有两个算式，你能用竖式计算一下吗？并试着说一说怎样计算小数的加减法。生：整数加减法末位对齐就是相同数位对齐，小数的末位可能不同，计算小数加减法时，当小数点对齐的时候才是相同数位对齐。生：数位不同，不能相减。我们之前学过小数末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，添上个0就不容易弄错了。师：在计算小数加减法时，要把相同数位上的数相加减。只要小数点对齐，相同数位就对齐了，其他就与整数加减法一样了。【思考】对于学生竖式计算时得到的不合理结果，教师并没有武断地加以评判，而是引导学生通过观察和分析，发现错误原因，并基于“计数单位”这一核心概念，将小数加减法与整数加减法统整，引导学生在探究小数加减法的过程中始终抓住小数点对齐（相同数位上的数对齐）来进行计算。学生通过与整数加减计算方法的对比，体会计算方法中相同数位上的数相加减的道理，感悟小数加减法与整数加减法在本质上的一致性，从而总结出小数加减法的计算方法。二是在总结过程中进一步深化。学生从一年级开始就学习了整数加减法，现在又学习了小数加减法，教师可以引导学生探寻它们的相同点和不同点，进一步深化认知：末位对齐和小数点对齐，看似不同，其实都是保证相同数位对齐，也就是能进行相同计数单位的累加或减少。因此，整数加减法和小数加减法的计算本质是相同的，实质上算的都是相同计数单位的个数。教师引导学生观察、思考、比较整数加减法和小数加减法的异同，总结它们之间的规律，加深学生对小数加减法与整数加减法运算的一致性的理解，为后续学习分数加减法运算打下基础，形成对整数、小数、分数加减法的整体认