【13份】2017高考数学（理）人教A版一轮复习第9章平面解析几何（基础知识+题型剖析+练出高分）

【13份】2017高考数学（理）人教A版

一轮复习第9章平面解析几何

（基础知识+题型剖析+练出高分）

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第9章平面解析几何高考专题突破五文档

第九堂平面解析几何

§9.1直线的方程

基础知识自主学习

Q知识梳理要点讲解深层突破

i.直线的倾斜角

（1）定义：当直线/与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的

角叫做直线/的倾斜角.当直线/与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0。.

（2）范围：直线I倾斜角的范围是［0,兀）.

2.斜率公式

（1）若直线/的倾斜角a#90。，则斜率k=tana.

1

（2）P]（x”力），P2（x2,及）在直线/上，且制力必，贝心的斜率人‘二立

X2~X]

3.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y-Vo=k(x—x(^不含直线X=Xo

斜截式不含垂直于X轴的直线

y-y\_X—X\不含直线x=X[（X]#M）和直线

两点式

及—n

X2—X1（y\壬X2）

截距式a+f=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

(才+/工0)

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.（V）

（2）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.（X）

（3）直线的倾斜角越大，其斜率就越大.（X）

（4）直线的斜率为tana,则其倾斜角为a.（X）

（5）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.（X）

（6）经过定点4（0,⑦的直线都可以用方程^=船+6表示.（X）

（7）不经过原点的直线都可以用§+方=1表示.（X）

（8）经过任意两个不同的点PG1，V1）,02（'2,歹2）的直线都可以用方程什-P1）（X2—X1）=（X—修）。2

一刈）表示.（V）

2I考点自测快速解答自查自纠

1.直线小X—y+a=0的倾斜角为（）

A.30°B.60°

C.150°D.120°

答案B

【详细分析】化直线方程为・•・左=tan

V0o<a<180°,.,.a=60°.

2.如果4C<0,且8-CvO,那么直线Ar+By+C=O不通过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

【详细分析】由已知得直线/x+By+C=0在x轴上的截距一%）,在y轴上的截距一呆0,

故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.

3.过点尸（2,3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.

答案3x—2y=0或x+y—5=0

【详细分析】当截距为0时，直线方程为3x—2y=0；

当截距不为0时，设直线方程为§+弓=1,

23

则/+公=1,解得4=5,

所以直线方程为x+y-5=0.

综上，直线方程为3x—•Zyu。或x+y—5=0.

4.（教材改编）若过点/（叫4）与点8（1,〃?）的直线与直线x-2y+4=0平行，则加的值为.

答案3

4—tn1

【详细分析】一

m—12

/.m=3.

5.直线/经过N（2,l）,8（1,小）（加eR）两点，则直线/的倾斜角的取值范围为.

答案0,.嗯，n）

m2—1

【详细分析】直线/的斜率

若I的倾斜角为«,贝!|tanaWl.

又,.,切引0,71）,・•・>£0,1U仔,兀）

题型分类深度剖析

题型一直线的倾斜角与斜率

厂3=0标/，豺的倾斜角的取值范围是（

例1⑴直线2xcosa-

兀兀7171

~nit]「兀2兀~|

c5小行TJ

⑵直线/过点尸(1,0),且与以4(2,1),8(0,仍)为端点的线段有公共点，则直线，斜率的取

值范围为.

答案(1)B(2)(—8,一小]U[l,+°o)

【详细分析】⑴直线2xcosa—y—3=0的斜率^=2cosa,

因为去全，所以兵cosaW坐

因此k=2・cosa£[l,小].

设直线的倾斜角为仇

则有tangej小].又。引0,花)，所以如f,f,

即倾斜角的取值范围是弓7T，f7T.

LHI・・1—0

(2)如图，*.*卜”=]=1,

J-ut-

kBP=0_j=一73,

.•依(-8,]U[1,+0°).

引申探究

1.若将题⑵中尸(1,0)改为p(—1,0),其他条件不变，求直线/斜率的取值范围.

解VP(-l,0),4(2,1),5(0,小),

.,1-Q_1

',KAP~i-{-\)~y

也一0

心户=0_(_])=斓.

一]一

如图可知，直线/斜率的取值范围为3-小.

2.将题(2)中的8点坐标改为8(2,-1),其他条件不变，求直线/倾斜角的范围.

解如图：直线R1的倾斜角为45。,

直线PB的倾斜角为135。，

由图象知/的倾斜角的范围为［0。，45。］“135。，180。).

思维升华直线倾斜角的范围是［0,71),而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜

率求倾斜角的范围时，要分0,习与(J,n)两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当a

G0,习时，斜率％G［0,+oo)；当a=E时，斜率不存在；当adg,兀)时，斜率左G(一8,

0).

跟踪训练1(1)直线xcosa+6y+2=0的倾斜角的范围是()

c［。'第D(6'f］

(2)已知实数x,y满足2x+y=8,当2WxW3时，贝吐的最大值为；最小值为.

2

答案(1)B(2)23

【详细分析】(1)由xcosa+y［3y+2=0得直线斜率〃=一坐cosa.

-1Wcos1,一乎WZW乎.

设直线的倾斜角为仇则一坐WtanOW坐.

结合正切函数在［o,§U(j,兀)上的图象可知，

O。

(2)本题可先作出函数y=8-2x(2WxW3)的图象，把)看成过点(x,y)和原点的直线的斜率进

行求解.

如图，设点尸(x,y),因为x,y满足2x+y=8,且2WxW3,所以点P(x,回在线段N8上移

动，并且48两点的坐标分别是(2,4),(3,2).因为5的几何意义是直线。尸的斜率，且

=2,kOB=y所以！的最大值为2,最小值为|.

题型二求直线的方程

例2根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为噂；

(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.

解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.

设倾斜角为a,则sina=1^(0va<7r),

,,工35,,1

从而cosa=±,贝nA:=tana=±y.

故所求直线方程为y=±g(x+4).

即x+3y+4=0或x—3y+4=0.

(2)由题设知截距不为0,设直线方程为§+丘匕=1,

又直线过点(一3,4),

—34

从而:---=1,解得。=-4或“=9.

a12—a

故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.

(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x—5=0；

当斜率存在时，设其为k,

则所求直线方程为y—10=-x—5),

即履一y+(10—5%)=0.

由点线距离公式，得解得左岩.

故所求直线方程为3x—4y+25=0.

综上知，所求直线方程为x—5=0或3x—4y+25=0.

思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条

件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,

截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类

讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.

跟踪训练2求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点尸(4,1),且在两坐标轴上的截距相等；

(2)经过点/(—1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.

解(1)设直线/在x,y轴上的截距均为a.

若。=0,即/过点(0,0)及(4,1),

的方程为尸上，即x—4y=0.

若aWO,则设/的方程为?+；=1,

过点(4,1),

授十一

aa

♦.5,

.*./的方程为x+y—5=0.

综上可知，直线/的方程为x—4y=0或x+y—5=0.

(2)由已知：设直线y=3x的倾斜角为a,

则所求直线的倾斜角为2a.

*/tana=3,

又直线经过点2(—1,-3),

因此所求直线方程为y+3=一水x+1),

即3x+4y+15=0.

题型三直线方程的综合应用

命题点1与基本不等式相结合求最值问题

例3己知直线/过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于1、8两点，如图所示，求

/\ABO的面积的最小值及此时直线/的方程.

解方法一设直线方程为科5=1(。>0,6>0),

点P(3,2)代入得,+,=122得时》24,

从而以次=加闭2,当且仅当U时等号成立，这时上=一5=一全从而所求直线方程为

2x+3y-12=0.

方法二依题意知，直线/的斜率左存在且KO.

则直线/的方程为y-2=k(x-3)(RO),

且有力(3—章，0),8(0,2—3注

.』松。=如-343-§

=/12+(-泌)+&_

冒_12+2

=1x(12+12)=12.

当且仅当一9左=a4，即左=一彳2时，等号成立.

即△Z8O的面积的最小值为12.

故所求直线的方程为2x+3y-12=0.

命题点2由直线方程解决参数问题

22

例4已知直线八：ax—2y=2a—4,/2：2x+ay=2a+4,当0<“<2时、直线八，为与两

坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数。的值.

解由题意知直线/2恒过定点打2,2),直线/,的纵截距为2—a,直线/2的横截距为/

+2,所以四边形的面积S=；X2X(2—a)+Tx2X(J+2)=a2—a+4=(a—竽，当°=

：时，面积最小.

思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式

求解最值.

(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.

(3)求参数值或范围,注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性

或基本不等式求解.

跟踪训练3(1)(2014•四川)设wCR,过定点/的动直线x+my=O和过定点8的动直线“x

-y-w+3=0交于点尸(x,y),则的最大值是.

(2)(2015•安徽)在平面直角坐标系中，若直线y=2a与函数y=|x—a|-1的图象只有一个

交点，则。的值为.

答案(1)5(2)-1

【详细分析】(1),..直线x+/ny=O与机x—y—m+3=0分别过定点4,B,

力(0,0),8(1,3).

当点尸与点4或8)重合时，图卜|P8|为零；

当点、P与点、A,8均不重合时，

■:P为直线x-\-my=O与mx—y—w+3=0的交点，

且易知此两直线垂直，

为直角三角形，

.•.MP『+|8p|2=M8|2=io,

|以卜|尸8|W眼空附=学=5,当且仅当附=|P8|时，上式等号成立.

(2)二伏一恒成立，，要使歹=2。与歹=|x-a|一1只有一个交点，必有2〃=-1,解得〃

=~2,

易错警示系列

13.求直线方程忽视零截距致误

典例(12分)设直线/的方程为(〃+l)x+y+2—a=0(aGR).

(1)若/在两坐标轴上截距相等，求/的方程；

(2)若/不经过第二象限，求实数。的取值范围.

易错分析本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况.

规范解答

解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，..“二？，方程即为3x+y=0.[2

分1

当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.

।~a—2,即“+1=1.[4分]

a=0,方程即为x+y+2=0.

综上，/的方程为3x+y=0或x+y+2=0.[6分]

(2)将/的方程化为y=-(a+l)x+a-2,

.[一(a+l)>0,/一伍+1)=0,

[a-2W0或a—2<0,

—l.[io分]

综上可知a的取值范围是aW—1.[12分]

温馨提醒(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，

防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.

(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等,

解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用.

思想方法感悟提高

［方法与技巧］

直线的倾斜角和斜率的关系：

(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.

(2)直线的倾斜角a和斜率左之间的对应关系：

a0°0°<a<90°90°90°<a<180°

k0k>0不存在k<0

［失误与防范］

与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：

(1)明确直线方程各种形式的适用条件

点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直

线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.

(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要

注意讨论截距是否为零.

(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存

在加以讨论.

练出高分

A组专项基础训练

(时间：35分钟)

1.若方程(2加2+m-3)X+(/〃2一机)y—4m+1=0表示一条直线，则参数m满足的条件是()

3

A.加W—5B.

C.mWO且znWlD.

答案D

27M2+机一3=0,

【详细分析】由,解得机=1,

故SW1时方程表示一•条直线.

2.如果/(x)是二次函数，且/(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1,5)，那么曲线y=/(x)

上任一点的切线的倾斜角的取值范围是()

A(。，露唇I)

C©争[D.[”)

答案B

【详细分析】，(X)=«(X-1)2+V3(a＞0),：.k^y[3.

切线的倾斜角的取值范围是[圣

3.如图中的直线八，b，4的斜率分别为七，k2,k3,贝ij()

A.%]V%2Vz3

B.k3Vki〈k?

C.左3V左2V无i

D.ki〈k3Vh

答案D

【详细分析】直线/|的倾斜角内是钝角，故肩＜0,直线，2与，3的倾斜角。2与CC3均为锐角,

且。2＞。3，所以OVA3Vz2，因此41V&3V42，故选D.

4.设直线or+如+c=0的倾斜角为a,且sina+cosa=0,则a,b满足()

A.a+b=\B.a-b=\

C.a+6=0D.a—6—0

答案D

【详细分析】由sina+cosa=0,得^^=一1，即tana=-1.

又因为tana=-*所以一号=一1，

即a=b,故应选D.

5.已知直线P。的斜率为一小，将直线绕点尸顺时针旋转60。所得的直线的斜率为()

A.小B.一小

C.0D.1+小

答案A

【详细分析】直线尸0的斜率为一小，则直线P0的倾斜角为120°,所求直线的倾斜角为

60°,tan60。=小.

6.若直线/的斜率为上倾斜角为a,而ae,加序兀)，则在的取值范围是.

答案[-<3,0)U[乎，1)

【详细分析】当狂a<：时，坐Wtanavl,

.,.坐W上<1.

当号Wa<兀时，一小Wtana<0.

:.kG坐,1)“一小,0).

7.一条直线经过点，(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为.

答案x+2y—2=0或2x+y+2=0

【详细分析】设所求直线的方程为"方=1.

,.7(—2,2)在此直线上,

・••T+/1•①

又•.•直线与坐标轴围成的三角形面积为1,

.•如也=1.②

{a—b=\,\a—b=­\,

由①@可得⑴八0或(2),

[ab=2[ab=-2.

4=2,f<7=1f

由(1)解得，।或‘.方程组(2)无解.

b=\g=-2,

故所求的直线方程为5++=1或旦;+士=1,

即x+2y—2=0或2x+_y+2=0为所求直线的方程.

8.若ab>0,且N(a,0)、8(0,b)、C(一2,—2)三点共线，则用的最小值为.

答案16

【详细分析】根据4(。,0)、8(0,/>)确定直线的方程为，力=1,又C(-2,-2)在该直线上,

所以一2(a+b)=ab.又ab>0,故。<0,b<0.

根据基本不等式ab=—2(a+b)2外债，从而g^W0(舍去)或故々6216,当且仅当

a=b=—4时取等号.即ah的最小值为16.

9.设直线/：(〃?2—2加—3)x+(2机2+〃2—l)y—2加+6=0(阳#—1),根据下列条件分别确定加

的值：

(1)直线/在x轴上的截距为一3；

⑵直线/的斜率为1.

解(1)：/在x轴上的截距为一3,

—2机+6#0,即又zn#—1,

"?2—2机一3W0.

.„2m-6

令y=0,付x=-5z7.

m~2m—3

2m—6

由题意知,3,

〃广一2加一3

解得m=~^.

(2)由题意知2，/+〃?一1W0,

m2—2m—34

=

~2“』+加一11,解得m'y

10.已知点P(2,-1).

(1)求过点P且与原点的距离为2的直线/的方程；

(2)求过点P且与原点的距离最大的直线/的方程，最大距离是多少？

(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程;若不存在，请说明理

由.

解(1)过点尸的直线/与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然，过点尸(2,-

1)且垂直于x轴的直线满足条件，

此时/的斜率不存在，其方程为x=2.

若斜率存在，设/的方程为y+l=后(x-2),

即kx-y-2k-\=0.

由.已知得匚I—72^k于—7皆II=2

W+1

解得《号3

此时I的方程为3x—4y—10=0.

综上，可得直线/的方程为x=2或3x-4y-10=0.

(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点尸且与尸。垂直的直线，如图所示.

由/，。「，得kik°p=-l,

所以k/=

由直线方程的点斜式，

得y+l=2(x—2),

即2x-y-5=0.

所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为呆=小.

(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过小的直线，因此不存在过点尸且到原点的距

离为6的直线.

B组专项能力提升

(时间：25分钟)

11.若直线曲+制=斜3>0,加>0)过点(1,1),则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值

为()

A.1B.2

C.4D.8

答案C

【详细分析】,：ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),

.'.a+h=ab,即1+(=1，

•,•。+。=他+错+力=2+£+£

当且仅当a=b=2时上式等号成立.

，直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.

12.已知力(3,0),8(0,4),直线48上一动点P(x,刃，则中的最大值是.

答案3

【详细分析】直线N8的方程为京+方=1,

3

•・•动点P(x,刃在直线Z3上，则工=3—万，,

3

=WLL2『+4]W3.

即当尸点坐标为停，2)时，中取最大值3.

13.设点/(一1,0),5(1,0),直线2x+y-Z)=0与线段相交，则方的取值范围是.

答案[-2,2]

【详细分析】6为直线v=-2x+b在y轴上的截距，

如图，当直线y=-2x+6过点/(-1,0)和点8(1,0)时，b分别取得最小值和最大值.

:・b的取值范围是[-2,2].

14.如图，射线。4、。3分别与x轴正半轴成45。和30。角，过点P(l,0)作直线”分别交。4、

。8于/、8两点，当的中点C恰好落在直线y=$上时，求直线的方程.

解由题意可得k0A=tm45°=1,

tan(180°-30。)=-,

所以直线/。力：y=x,IOB：y——3

设4(m,m),B(—小n,〃)，

所以"的中点《巧画，噌，

由点C在上，且/、P、8三点共线得

(m-Vn1加一小〃

I2=22

解得〃?=小，所以4(小,小).

m—0n—0

43+4

又尸(1,0),所以自8=%"=

小一12

所以IAB'y=2(工一[)，

即直线AB的方程为(3+，5)X—2y—3—小=0.

15.已知直线/：Ax—y+l+2A=0(%eR).

(1)证明：直线/过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求％的取值范围；

(3)若直线/交x轴负半轴于/,交y轴正半轴于8,ZVIOB的面积为S(。为坐标原点)，求S

的最小值并求此时直线/的方程.

(1)证明直线/的方程是左(x+2)+(l—y)=0,

=

]x+2=0,x-29

令

|l-y=0,解得

尸1,

无论《取何值，直线总经过定点(-2,1).

1+2k

解由方程知，当时直线在轴上的截距为一一^,在轴上的截距为左，要

(2)4N0xKy1+2

使直线不经过第四象限，则必须有，―k&-2,解得4>0；

・1+2栏I,

当左=0时，直线为y=l,符合题意，故％>0.

(3)解由/的方程，得力(—中士0),8(0,1+2人).

f\+2k

——7—<0,

依题意得卜

」+24>0,

解得A0.

-：S^\OA\\OB\=\-中>|1+2用

=；())=如短+4同义(2X2+4)

=4,

“=”成立的条件是左>0且4仁£即仁;，

•,.5min=4,此时直线/的方程为x-2y+4=0.

基础知识自主学习

股知识梳理要点讲解深层突破

1.两条直线的位置关系

(1)两条直线平行与垂直

①两条直线平行：

(i)对于两条不重合的直线小12,若其斜率分别为由、左2,则有，I〃/，OQ=包.

(竹)当直线/1、，2不重合且斜率都不存在时，

②两条直线垂直：

(。如果两条直线/|、，2的斜率存在，设为抬、k2,则有/」/,=粒屁=一1.

(ii)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，/山2.

(2)两条直线的交点

直线1\：A\X~YC\=012424+8少+。2=0，则1\与，2的交点坐标就是方程组

小x+Sy+G=0，

,“3_八的解•

42%+4少+。2=0

2.几种距离

⑴两点P](X[，a)，。2(x2，»2)之间的距离尸1P2|=叱必一")2+(>2一歹1)2.

⑵点Po(xo,为)到直线/：4c+8y+C=0的距离1=邑竿瞿毕.

Y力十B

(3)两条平行线/x+8y+G=0与Zx+5y+C2=0(其中GWC2)间的距离d=号彘t

【知识拓展】

1.一般地，与直线/x+8y+C=0平行的直线方程可设为/x+8)，+/n=0；与之垂直的直线

方程可设为Bx—川+〃=0.

2.过直线/|：小x+5y+G=0与小42x+Wy+C2=0的交点的直线系方程为小x+Sy+

G+2(42x+8少+C2)=0(26R),但不包括公

3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：

(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.

(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)当直线和b斜率都存在时，一定有抬=后=。〃/2.(X)

(2)如果两条直线与b垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.(X)

(3)已知直线，i：4x+BLy+G=0,/2：4x+B少+Q=0(小、5、G、4、&、。2为常数)，

若直线则小小+囱当=。^J)

欧o+0

(4)点P(x。,则)到直线y=fcc+b的距离为x)

yjT+i?

(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(v)

(6)若点48关于直线/：/#0)对称，则直线的斜率等于一£且线段48的中

K

点在直线/上.(V)

2考点自测快速解答自查自纠

1.设aGR,则％=1”是“直线6奴+2了-1=0与直线"：x+(“+l»+4=0平行”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

【详细分析】(1)充分性：当。=1时，

直线八：x+2y—1=0与直线，2：x+2y+4=0平行；

(2)必要性：当直线/i：亦+2^—1=0与直线，2：x+(a+1»+4=0平行时有“=-2或I.

所以"a=l"是“直线小取+2>-1=0与直线，2：x+(a+l»+4=0平行”的充分不必要

条件，故选A.

2.(教材改编)已知点(a,2)5>0)到直线/：x-y+3=0的距离为1,则a等于()

A.&B,2一啦

C.啦一1D.V2+1

答案C

\a—2+3|

【详细分析】依题意得

Vi-H—

解得a——1+■s/5或a=-1-^2.a>0,；♦a=—I

3.已知直线人：(3+机)x+4y=5—3加，/2：2x+(5+机»=8平行，则实数机的值为()

A.-7B.-1

、13

C.一1或一7D.—

答案A

3+m5-3m

【详细分析】的斜率为一丁，在V轴上的截距为二丁

b的斜率为一言，在y轴上的截距为冷;.

3-I-tii2

又由一丁=一豆获得,”+8加+7=。,

得m——1或一7.

机=一1时，二^=士=2,/1与/2重合，故不符合题意；

45十加

加=一7时，匕”=当"式一=一4,符合题意.

425十m

4.(2014•福建)已知直线/过圆f+(y-3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则/的

方程是()

A.x~\~y—2=0B.x—y+2=0

C.x+y—3=0D.x—y+3=0

答案D

【详细分析】圆x2+e—3)2=4的圆心为点(0,3),

又因为直线/与直线x+_rH=0垂直，

所以直线/的斜率4=1.

由点斜式得直线/：y—3=x-0,化简得x—y+3=0.

5.(教材改编)若直线(3a+2)x+(l—4a)y+8=0与(5a—2)x+(a+4»-7=0垂直，则a=

答案0或1

【详细分析】由两直线垂直的充要条件，得(3a+2)(5a—2)+(1—4a)(a+4)=0,解得a=0

或a—\.

题型分类深度剖析

题型一两条直线的平行与垂直

例1(1)已知两条直线小(a—l>x+2y+l=0,/2：尤+〃y+3=0平行，则a等于()

A.-1B.2

C.0或一2D.-1或2

(2)已知两直线方程分别为小x+y=l,/2：办+2尸0,若/4/2，则。=.

答案(1)D(2)-2

【详细分析】(1)若。=0,两直线方程为-x+2y+l=0和x=-3,此时两直线相交，不平

行，所以aWO.当时，若两直线平行，则有解得。=—1或。=2,选D.

(2)方法一*.7,1/2,

•・攵次2=-1,

呜=-1,

解得。=一2.

方法二

二。+2=0,ci~~—2.

思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考

虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意X、夕的系数不能同时为零这一隐含条件.

(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.

跟踪训练1已知两直线/]：x+ysina—1=0和b：2xsina+y+1=0,求a的值，使得：

⑴/入；

(2)/I±/2.

解(1)方法一当sina=0时，直线的斜率不存在，，2的斜率为0，显然不平行于b

当sina#0时，£]=一$二d居=-2sina.

要使需一^^=-2sina,即sina=土乎.

jr

所以a=E±i，A-SZ,此时两直线的斜率相等.

7T

故当a=E土不时，l\//12.

方法二由-4231=。，得2sin2a—1=0,

所以sin0=±乎■.所以仪=痴4左WZ.

又8c2一&。仔0,所以1+sinaWO,即sinaW—l.

TT

故当a=E±i，左GZ时，h//l2.

(2)因为4/2+8I&=0是AJ^2的充要条件，

所以2sina+sina=0,即sina=0,所以a=E,左GZ.

故当a=E,kRZ时，Zi1/2.

题型二两条直线的交点与距离问题

例2(1)已知直线y=h+2Z+l与直线＞=一%+2的交点位于第一象限，则实数”的取值

范围是.

(2)直线I过点P(—1,2)且到点/(2,3)和点8(—4,5)的距离相等，则直线/的方程为

答案(1)(一/1)(2)x+3y_5=0或尸一1

y=Ax+2k+l,

【详细分析】(1)方法一由方程组1,

y=­/x+2,

2—4%

x=2k+「

解得

6hH

y^2k+V

(若2%+1=0,即左=一/则两直线平行)

一-，一，(、

二交"坐标为鼠2—+4A［，26A1+11/

又二•交点位于第一象限，

方法二如图，已知直线

了=一%+2与x轴、v轴分别交于点44,0),5(0,2).

而直线方程y=^+2A+l可变形为y-l=%(x+2),表示这是一条过定点尸(-2,1),斜率为太

的动直线.

•.•两直线的交点在第一象限，

二两直线的交点必在线段上(不包括端点)，

二动直线的斜率%需满足加<k<kPB.

...__1,_1

•^PA—6，KPB-2,

(2)方法一当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为

y-2=k(x+l),即Ax—y+上+2=0.

由题意知/：言+2||一4%—5+4+2]

Nk+1y/必+1

即|3%一1|=|一3攵一3|,

••.直线/的方程为y—2=—；(x+l),

即x+3y—5=0.

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为》=-1,也符合题意.

方法二当时，有k=kAB=-g,

直线/的方程为y—2=—；(x+l),

即x+3y—5=0.

当/过力8中点时，的中点为(-1,4).

.•.直线/的方程为x=-1.

故所求直线/的方程为x+3y—5=0或x=-1.

思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线

方程.

(2)利用距离公式应注意：①点尸(m,则)到直线x=a的距离1=*一4],到直线y=6的距离

d=\y0~b\;②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.

跟踪训练2(1)如图，设一直线过点(-1,1),它被两平行直线*x+2y—l=0,/2：x+2y

—3=0所截的线段的中点在直线4：x一了-1=0上，求其方程.

x+2y-3=O

x-y-l=O

x+2y-I=O

解与i/2平行且距离相等的直线方程为x+2y-2=0.

设所求直线方程为(x+2y—2)+i(x—y—1)=0,

即(1+3+(2—加—2T=0.又直线过(-1,1),

/.(1+%)(—1)+(2—A),1—2—2—0.

解得/=一；..•.所求直线方程为2x+7y—5=0.

(2)正方形的中心为点C(—1,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求其他三边所在直

线的方程.

解点C到直线x+3y—5=0的距离

,1一1一5|3回

d=-1—.—

[1+9

设与x+3y-5=0平行的一边所在直线的方程是x+3y+"?=0(mW—5),

则点C到直线x+3y+"?=0的距离

|-l+ffl|3VT0

5'

解得机=一5(舍去)或，〃=7,

所以与x+3y—5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0.

设与x+3y-5=0垂直的边所在直线的方程是3x—y+〃=0,

则点C到直线3x-y+n=0的距离

|-3+H|3^10

"=不花=5'

解得n——3或n—9,

所以与x+3y-5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3尤一夕一3=0和3x-y+9=0.

题型三对称问题

命题点1点关于点中心对称

例3过点P(0,l)作直线/,使它被直线/|：2x+y—8=0和6：x—3y+10=0截得的线段被

点P平分，则直线I的方程为.

答案x+4y-4=0

【详细分析】设/i与/的交点为438—2a),则由题意知，点4关于点P的对称点8(—a,2a

-6)在6上，代入，2的方程得一。一3(2a—6)+10=0,解得a=4,即点/(4,0)在直线/上，

所以直线/的方程为x+4y—4=0.

命题点2点关于直线对称

例4已知直线/：2x—3y+l=0,点N(—1,-2),则点N关于直线/的对称点的坐标

为.

答案T，管

【详细分析】设H(x,y),由已知得

X—1y—2,

2X^-3X^~+l=0f

C33

解得《)

4

故T(小，A).

命题点3直线关于直线的对称问题

例5已知直线/：2x~3y+1=0»求直线机：3x—2y—6=0关于直线/的对称直线机'的方

程.

解在直线加上任取一点，如M(2,0),则M(2,0)关于直线/的对称点必在直线上.

设对称点M'(a,b),则

+1=0,

••・”偌,粉

设直线机与直线/的交点为N,则

j2x-3y+l=0,

由13x—2y—6=0,

得N(4,3).

义,：m'经过点N(4,3).

由两点式得直线，〃'的方程为9x—46y+102=0.

思维升华解决对称问题的方法

(1)中心对称

x'=2a-x,

①点尸(x,刃关于03,b)的对称点尸'(x'，y')满足，

[y-2b-y.

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.

(2)轴对称

①点A(a,6)关于直线Ax+By+C=0(5/0)的对称点A'(m,ri),则有

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

跟踪训练3在等腰直角三角形/8C中，Z3=4C=4,点尸是边上异于48的一点,

光线从点尸出发，经BC,C4发射后又回到原点P(如图).若光线0R经过△48C的重心,

则AP等于()

fl

R

----

A.2B.1

C.]D.]

答案D

【详细分析】建立如图所示的坐标系：

可得5(4,0),C(0,4),故直线8C的方程为x+y=4,

△Z8C的重心为

(0+0+40+4+0、,j,,

(—―,—5—1设Ra，0)，其中0＜。＜4,

则点尸关于直线8c的对称点P|(x,历，

号+*%

满足,

.y—匕0

|\x=4,

解得'"即尸i(4,4-a),易得P关于y轴的对称点尸2(—40),

由光的反射原理可知片,Q,R,巳四点共线，

4—a—04-Q

直线。R的斜率为％=二^=1，

4—a

故直线QR的方程为卜=石1(\+4),

446

由于直线。R过△48C的重心(1,§),代入化简可得3/—4a=0,

解得“=*或a=0(舍去)，故唱，0)，故/尸=*

思想与方法系列

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