期末综合检测卷一-2021-2022学年高二数学单元AB卷（人教A版2019选择性）

期末综合检测卷一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可得.故选：D2．若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（）A． B． C．或 D．2【答案】A【解析】解：∵向量，∴，解得．故选：A．3．已知圆O：x2+y2＝4，过点A（﹣1，1）的直线l交圆O于M，N，过点M，N的圆的切线交于点P，则PA的最小值为（）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】当与不垂直时，因为，所以有所以，因为，所以，所以，所以，所以当与垂直时，三点共线，此时∵，∴AM，所以PA的最小值为故选：B．4．阿波罗尼斯(约公元前262190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是（）.A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建系，如图：则、，设，∵，∴，两边平方并整理得：，所以圆的半径为，∴面积的最大值是.故选：D．5．若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于2，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】圆的圆心坐标为，半径为3．圆心到直线的距离为：，又圆上有且仅有两个点到直线的距离等于2，所以，解得或．故选：D．6．已知椭圆的离心率，则的值为（）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】由题意知，当时，，，，所以，解得；当时，，，，所以，解得.故选：B7．已知双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点）､F（右焦点）的距离相等，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B． C．（1，2） D．【答案】D【解析】双曲线的右焦点，若双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点）､F（右焦点）的距离相等，则线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点，所以，所以，所以双曲线的离心率e的取值范围是.故选：D8．已知抛物线C：的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若，则＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】过点做抛物线准线的垂线，垂足为，，在中，，.故选:B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．设动点在正方体上(含内部)，且，当为锐角时，实数可能的取值是（）A． B． C． D．【答案】CD【解析】设，，设正方体的棱长为1，则，在中，由余弦定理得，若为锐角，则，则，在中，，，于是由余弦定理得，于是，即，解之得：或，由，故(舍)或.故选：CD10．圆和圆的交点为A，B，则有（）A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为C．公共弦的长为 D．P为圆上一动点，则P到直线距离的最大值为【答案】ABD【解析】对于A，由圆与圆的交点为A，B，两式作差可得，即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；对于B，圆的圆心为，，则线段AB中垂线斜率为，即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；对于C，圆，圆心到的距离为，半径所以，故C不正确；对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.故选：ABD11．已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±xB．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1C．点P的横坐标为±1D．△PF1F2的面积为【答案】ACD【解析】等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由双曲线的方程可知F1F2＝，所以以F1F2为直径的圆,圆心为，半径为，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以由解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得△PF1F2的面积为，故D正确．故选：ACD.12．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线平行于且在轴上的截距为，直线与椭圆交于，两个不同的点．下列结论正确的是（）A．椭圆的方程为 B．C． D．或【答案】ABC【解析】解：由题意，得解得故椭圆的方程为，A项正确；由于，故B项正确；因为直线的斜率，又在轴上的截距为，所以的方程为．由得．因为直线与椭圆交于，两个不同的点，所以，解得，故C项正确，D项错误．故选：ABC三、本题共4小题，每小题5分，共20分13．在正方体中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为________．【答案】【解析】如图所示，建立空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，则,所以，由正方体的几何特征，则平面，所以是平面的一个法向量，设与平面所成的角为，所以，故答案为：14．有一光线从点射到直线l：3x﹣4y+4＝0以后，再反射到点B（2，15），则这条光线的反射线所在直线的方程为_____________．【答案】【解析】设点关于直线l：3x﹣4y+4＝0的对称点为，则，解得m＝3，n＝﹣3，∴，∵，∴直线BC的方程为y+3，即．故答案为：．15．已知抛物线的焦点为，点为上一点，点为轴上一点，若是正三角形，且，则抛物线的准线方程为__________.【答案】【解析】如图，由已知在右侧，作垂直准线于，则，，，故焦点到准线的距离，准线方程为.故答案为：16．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为___________.【答案】【解析】如图，由为椭圆上任意一点，则又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴，当且仅当M、N、E、共线时等号成立.∵，，则，∴的最小值为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）．（2）．（3）．（4）．18．如图，已知为空间的9个点，且，，求证：（1）四点共面，四点共面；（2）；（3）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】证明：（1），∴A、B、C、D四点共面．，∴E、F、G、H四点共面．（2）.（3）.19．直线经过两直线和的交点．（1）若直线与直线平行，求直线的方程；（2）若点到直线的距离为，求直线的方程．【答案】（1）（2）或（1）解：由，解得，所以两直线和的交点为．当直线与直线平行，设的方程为，把点代入求得，可得的方程为．（2）解：斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5．当的斜率存在时，设直限的方程为，即，则点到直线的距离为，求得，故的方程为，即．综上，直线的方程为或．20．已知点P（t，﹣t﹣1），圆C：（x﹣3）2+y2＝4．（1）判断点P与圆C的位置关系，并加以证明；（2）当t＝5时，经过点P的直线n与圆相切，求直线n的方程；（3）若存在经过点P的直线与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，求点P横坐标的取值范围．【答案】（1）点P在圆外，证明见解析（2）或（3）（1）（1）∵（t﹣3）2+（﹣t﹣1）2＝2t2﹣4t+10＝2（t﹣1）2+8＞4，所以点P在圆外．（2）当t＝5时，点P的坐标为，由圆C：（x﹣3）2+y2＝4知圆心为（3，0），r＝2，①当直线n的斜率不存在，方程为x＝5，圆以到直线x＝5的距离为2，所以x＝5是圆的切线；②当直线n的斜率存在时，设直线n的方程为，即，由题意有，解得，所以直线n的方程为，即综上所述，过点P与圆相切的直线方程为x＝5或（3），若存在经过点P的直线与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，则有，，所以有，解得1t≤1，所以横坐标的取值范围为．21．已知曲线：和直线：．（1）若直线与曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；（2）若直线与曲线交于，两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值．【答案】（1）（2）0，，（1）解：由消去，得．∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴解得，且，∴实数的取值范围为；（2）解：设，．由（1）可知，，∴．∵点到直线的距离∴，即，∴