专题13正方形的性质与判定（专项训练）-2022-2023学年九年级数学上册《考点解读专题训练》（北师大版）

专题1.3正方形的性质与判定（专项训练）1．（2021秋•海州区期末）正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（）A．9 B．18 C．24 D．362．（2022•虞城县二模）下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分内角3．（2022春•如皋市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为（）A．﹣1 B． C．2﹣2 D．14．（2022•遵义模拟）如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（）A．35° B．40° C．45° D．50°5．（2021秋•巴中期末）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．36．（2021秋•渝北区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，若S△ABE＝5，则△CDE的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．67．（2021秋•湖里区期末）如图，正方形ABCD的边长为a，点O为对角线AC中点，点M，N分别为对角线AC的三等分点，则图中的两个小正方形面积之和为（）A．a2 B．a2 C．a2 D．a28．（2021秋•新民市期末）正方形具有而菱形不一定有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对边相等 D．邻边相等9．如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G．若CG＝3，CF＝4，则AE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．710.（2021秋•二道区校级期末）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD边长为4，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（2022•凯里市校级一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（）A．2 B． C．3 D．12．（2022春•高安市期中）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①PB＝AB；②AP＝EF且AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④EF的最小值为；⑤PB2+PD2＝2PA2，其中正确的结论是（）A．①②③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤13．（2022春•新会区校级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BM＝CN＝5，CM、DN交于点O．则下列结论：①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③S△ODC＝S四边形BMON；④OC＝中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14（2021秋•梅里斯区期末）如图，已知正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD交于点G．（1）求证：CG＝CE；（2）若BE＝4，DG＝2，求BG的长．15．（2021秋•伊通县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝MF（2）若AE＝2，求FC的长．16．（2021秋•普宁市期末）下列说法中正确的是（）A．矩形的对角线平分每组对角 B．菱形的对角线相等且互相垂直 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形17．（2020•眉山）下列说法正确的是（）A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形18．（2020•襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形19．（2021春•海淀区校级期末）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？20.（兰州期中）如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）连接AC、BF，若AE＝BC，求证：四边形ABFC为矩形；（3）在（2）条件下，当△ABC再满足一个什么条件时，四边形ABFC为正方形．专题1.3正方形的性质与判定（专项训练）1．（2021秋•海州区期末）正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（）A．9 B．18 C．24 D．36【答案】B【解答】解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为6，∵正方形又是菱形，菱形的面积计算公式是S＝ab（a、b是正方形对角线长度）∴S＝×6×6＝18，故选：B．2．（2022•虞城县二模）下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分内角【答案】C【解答】解：∵平行四边形的对角线互相平分，∴矩形，菱形，正方形的对角线也必然互相平分．故选：C．3．（2022春•如皋市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为（）A．﹣1 B． C．2﹣2 D．1【答案】C【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝2，∵正方形的边长为2，∴BD＝，∴BE＝BD﹣DE＝2﹣2，故选C．4．（2022•遵义模拟）如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BC＝BA，∠ABE＝∠CBE＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴∠BAE＝∠BCE＝20°，∵∠ABC＝90°，∠BCF＝20°，∴∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF，＝180°﹣90°﹣20°＝70°，∵∠BFC＝∠BAE+∠AEF，∴∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE＝70°﹣20°＝50°，故选：D．5．（2021秋•巴中期末）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，如图，则点C到y轴的距离为OE．∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），∴OA＝2，OB＝3．∵CE⊥x轴，∴∠CEB＝90°．∴∠ECB+∠EBC＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB，∠CBA＝90°．∴∠EBC+∠ABO＝90°．∴∠ECB＝∠ABO．在△CBE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS）．∴EB＝OA＝2．∴OE＝OB+BE＝3+2＝5．∴点C到y轴的距离是5．故选：B．6．（2021秋•渝北区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，若S△ABE＝5，则△CDE的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解答】解：过点E作MN∥AD，交AB于点M，CD于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥AB，AD⊥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝4，∵MN∥AD，∴MN⊥AB，MN⊥CD，∵S△ABE＝AB•EM＝×4×EM＝2EM＝5，∴EM＝，∴EN＝AD﹣EM＝AB﹣EM＝4﹣＝，∴S△CDE＝CD•EN＝×4×＝3，故选：A．7．（2021秋•湖里区期末）如图，正方形ABCD的边长为a，点O为对角线AC中点，点M，N分别为对角线AC的三等分点，则图中的两个小正方形面积之和为（）A．a2 B．a2 C．a2 D．a2【答案】D【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FAM＝∠EAO＝45°，∴△AFM与△AEO是等腰直角三角形，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝a，∵点M，N分别为对角线AC的三等分点，∴AM＝MN＝CN＝×a＝a，∴AM＝FM＝a，AE＝EO＝AD＝a，∴图中的两个小正方形面积之和＝FM2+OE2＝（a）2+（a）2＝a2，故选：D．8．（2021秋•新民市期末）正方形具有而菱形不一定有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对边相等 D．邻边相等【答案】B【解答】解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等．故选：B．9．如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G．若CG＝3，CF＝4，则AE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【解答】解：如图，连接CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∵EF⊥BC，EG⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形CFEG是矩形，∴GC＝EF＝3，∠EFC＝90°，∴CE＝＝＝5，∴AE＝5，故选：C．10.（2021秋•二道区校级期末）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD边长为4，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解答】解：连接ED，∵AE＝EC，∴点E是AC的中点，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DEC＝90°，DE＝EC，∠EDN＝∠ECM＝45°，∴∠DEN+∠NEC＝90°，∵EF⊥EG，∴∠MEC+∠NEC＝90°，∴∠DEN＝∠CEM，∴△MEC≌△NED（ASA），∴S△MEC＝S△NED，∴S四边形EMCN＝S△MEC+S△NEC＝S△NED+S△NEC＝S△DEC，∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝4，∴ED＝EC＝2，∴S△DEC＝＝×2×2＝4，∴重叠部分四边形EMCN的面积为4．故选：B．11．（2022•凯里市校级一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：∴∠BAF＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAF+∠DAE＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，在△AFE和△AGE中，，∴△AFE≌△AGE（SAS），∴EF＝EG，即：EF＝EG＝ED+DG，∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，∴设BF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，即BF＝2，故选：A．12．（2022春•高安市期中）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①PB＝AB；②AP＝EF且AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④EF的最小值为；⑤PB2+PD2＝2PA2，其中正确的结论是（）A．①②③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤【答案】D【解答】解：连接PC，延长AP交EF于点H，如图所示：∵点P是对角线BD上一点，∴PB和AB的大小不能确定，故①选项不符合题意；在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，PD＝PD，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝CP，∠PAD＝∠PCD，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PFC＝∠PEC＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴EF＝PC，∴AP＝EF，∵∠ADC＝∠PFC＝90°，∴AD∥PF，∴∠DAP＝∠FPH，在矩形PECF中，∠PCD＝∠EFC，∴∠FPH＝∠EFC，∵∠EFC+∠EFP＝90°，∴∠FPH+∠EFP＝90°，∴AP⊥EF，故②选项符合题意；在矩形PECF中，∠PFE＝∠PCE，∵△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，∴∠BAP＝∠PCB，∴∠BAP＝∠PFE，故③选项符合题意；∵AB＝AD＝2，根据勾股定理得BD＝2，当AP⊥BD时，AP最小，此时AP最小值为BD＝，∵AP＝EF，∴EF的最小值为，故④选项符合题意；根据勾股定理，得PB2＝2PE2，PD2＝2PF2，∴PB2+PD2＝2（PE2+PF2）＝2EF2＝2PA2，故⑤选项符合题意；综上，正确的选项有②③④⑤，故选：D．13．（2022春•新会区校级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BM＝CN＝5，CM、DN交于点O．则下列结论：①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③S△ODC＝S四边形BMON；④OC＝中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，在△BMC和△CND中，，∴△BMC≌△CND（SAS），∴∠MCB＝∠NDC．又∠MCN+∠MCD＝90°，∴∠MCD+∠NDC＝90°，∴∠DOC＝90°，∴DN⊥MC，故①正确；在Rt△CDN中，∵CD＝12，CN＝5，∴DN＝＝13．又∵∠BCD＝90°，∠COD＝90°，∴NC•CD＝ND•OC，∴OC＝，OM＝13﹣＝，∴OC≠OM，故②错误④正确；∵△BMC≌△CND，∴S△BMC＝S△CND，S△BMC﹣S△CNO＝S△CND﹣S△CNC，即S四边形BMON＝S△ODC，故③正确．综上，正确的结论是①③④．故选：C．14（2021秋•梅里斯区期末）如图，已知正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD交于点G．（1）求证：CG＝CE；（2）若BE＝4，DG＝2，求BG的长．【答案】（1）略（2）2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG＝∠DCE＝90°，BC＝CD，∵BF⊥DE，∴∠DFG＝∠BCG＝90°，∵∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴CG＝CE；（2）解：由（1）△BCG≌△DCE得CG＝CE，又∵BE＝BC+CE＝4，DG＝CD﹣CG＝2，∴BC＝3CG＝，在Rt△BCG中，BG＝＝＝2．15．（2021秋•伊通县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝MF（2）若AE＝2，求FC的长．【答案】（1）略（2）FC＝3【解答】解：（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，∴F、C、M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°．∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF．（2）设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4．在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2．即42+（8﹣x）2＝x2，∴解得：x＝5，即FM＝5．∴FC＝FM﹣CM＝5﹣2＝3．16．（2021秋•普宁市期末）下列说法中正确的是（）A．矩形的对角线平分每组对角 B．菱形的对角线相等且互相垂直 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】C【解答】解：A、矩形的对角线平分每组对角，说法错误，故本选项不符合题意；B、菱形的对角线互相垂直，故本选项不符合题意；C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故本选项符合题意；D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项不符合题意．故选：C．17．（2020•眉山）下列说法正确的是（）A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】B【解答】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，可以是平行四边形，故选项A不合题意；B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不合题意；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D不合题意；故选：B．18．（2020•襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B【解答】解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；故选：B19．（2