2024-2025学年吉林省延边高二上学期第一次月考数学阶段检测试卷（含解析）

2024-2025学年吉林省延边高二上学期第一次月考数学阶段检测试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确）1.方程表示椭圆的充要条件是（）A. B.C. D.或2.已知圆过点，则圆的标准方程是（）AB.C.D.3.已知双曲线的焦距为6，直线与双曲线的一条渐近线平行，则（）A. B. C. D.34.已知点，，直线：与线段有交点，则的值不可能是（

）A6 B.2 C.1 D.5.若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（）A. B.C.或 D.或6.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（）A. B. C. D.7.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为（）A.2 B. C.4 D.38.已知椭圆的右焦点为，，在椭圆上但不在坐标轴上，若，，且，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A. B.C. D.二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）9.已知直线，，则（

）A.过定点 B.当时，C.若，则 D.当时，的斜率为010.已知圆，圆，则下列说法错误的是（

）A.若过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围是B.若，则圆，公共弦长为C.圆上的点到直线的最短距离为D.过点作圆的切线，则的方程是11.已知双曲线：（）的左、右焦点分别为F1−c,0，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（

）A.双曲线的离心率为 B.C. D.面积为三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上）12.已知直线与直线间的距离为，则_____13.若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是_______14.已知双曲线的右顶点、右焦点为A、F，过点A的直线与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，，且，则双曲线的离心率为___________.四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程）15已知直线，圆．（1）求与垂直的的直径所在直线的一般式方程；（2）若圆与关于直线对称，求标准方程．16.（1）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离是到直线的距离的倍．求点的轨迹方程；（2）若动圆与圆､圆都外切.求动圆圆心的轨迹方程.17.已知椭圆离心率为，点是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，且，求的值.18.已知双曲线C:x2a2−y2b（1）求双曲线的标准方程；（2）设是双曲线与圆在第一象限的交点，求的面积.（3）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求PQ.19.已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等，（1）求椭圆C的标准方程（2）点（）与上的点之间的距离的最大值为6．过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为．①证明：直线过定点；②已知为坐标原点，求面积的取值范围．2024-2025学年吉林省延边高二上学期第一次月考数学阶段检测试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确）1.方程表示椭圆的充要条件是（）A. B.C. D.或【正确答案】D【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得.【详解】若表示椭圆，则有，解得或.故选：D.2.已知圆过点，则圆的标准方程是（）A.B.C.D.【正确答案】A【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程.【详解】由在圆上，故圆心在直线上，由在圆上，故圆心在直线上，即圆心，半径，故方程为.故选：A.3.已知双曲线的焦距为6，直线与双曲线的一条渐近线平行，则（）A. B. C. D.3【正确答案】A【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合已知列式计算即得.【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，，由双曲线焦距为6，得，所以.故选：A4.已知点，，直线：与线段有交点，则的值不可能是（

）A.6 B.2 C.1 D.【正确答案】D【分析】求出直线恒过的定点的坐标，再求出的斜率，的斜率不存在，可得直线的斜率的范围，进而求出的范围．【详解】直线整理可得，联立，解得，，即直线恒过定点，可得，因为，的横坐标相同，所以斜率不存在，所以直线与线段有交点，则直线的斜率，而直线斜率，解得．故选：D．5.若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（）A. B.C.或 D.或【正确答案】C【分析】设出直线方程，将圆心代入直线，求解即可.【详解】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心，直线方程为，或，将点代入上式，解得直线的方程为或.故选：C.6.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】设椭圆的标准方程为，由椭圆的面积公式，离心率得到与的关系，解出、即可.【详解】设椭圆的标准方程为，则椭圆的面积为，又，联立解得．所以椭圆的标准方程为．故选：D.7.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为（）A.2 B. C.4 D.3【正确答案】D【分析】令且，利用两点距离公式求动点轨迹，结合轨迹圆的性质求三角形面积的最大值.【详解】令且，则，整理得，所以的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，要使△PAB面积最大，只需到直线的距离最大，故最大值为.故选：D8.已知椭圆的右焦点为，，在椭圆上但不在坐标轴上，若，，且，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据椭圆的对称性可知，可转化为焦点三角形顶角为，根据顶角的取值范围可知离心率的最值.【详解】设椭圆的左焦点为，上顶点为，由，，可知四边形平行四边形，且为中点，又，，则，分别为，中点，所以，，由，可知，则四边形为矩形，即，即在椭圆上存在点使得，所以，即，即，即，所以，所以，即，则，又椭圆离心率，则，故选：A.二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）9.已知直线，，则（

）A.过定点 B.当时，C.若，则 D.当时，的斜率为0【正确答案】AB【分析】对A，将直线变形求出定点判断；对B，代回直线方程验证判断；对C，根据两直线平行的充要条件列式计算；对D，将代回直线方程验证判断.【详解】对于A，由得，令，得，所以直线过定点，故A正确；对于B，当时，直线，，所以，故B正确；对于C，由，则，解得，故C错误；对于D，当时，，此时的斜率不存在，故D错误.故选：AB.10.已知圆，圆，则下列说法错误的是（

）A.若过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围是B.若，则圆，公共弦长为C.圆上的点到直线的最短距离为D.过点作圆的切线，则的方程是【正确答案】ABD【分析】A选项：根据圆的一般式，可得，再由于过点可作两条切线，则在圆外，可得参数范围；B选项：联立两圆，可得公共弦方程，再根据垂径定理可得弦长；C选项：根据圆心到直线的距离可得最短距离；D选项：设切线方程，结合圆心到直线的距离，解方程即可得解.【详解】A选项：，即，则，即，又过点可作两条切线，则点在圆外，即，解得或，综上所述或，即，A选项错误；B选项：时，，由，即，圆心，半径，则公共弦方程为，即，圆心到直线的距离，则弦长为，B选项错误；C选项：到直线的距离，则圆上的点到直线距离的最小值为，C选项正确；D选项：由点在圆外，所以过点作切线有条，当直线斜率存在时，设直线，即，则圆心到直线的距离，解得，即直线方程为；当直线斜率不存在时，直线方程为，此时满足与圆相切；综上所述，直线的方程为或，D选项错误；故选：ABD.11.已知双曲线：（）的左、右焦点分别为F1−c,0，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（

）A.双曲线的离心率为 B.C. D.面积为【正确答案】AC【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，，，利用余弦定理可得，，进而依次判断求解各个选项.【详解】由题意，可得，由于，可知直线过右焦点，斜率，设直线的倾斜角为，则，解得，设，由，可得，，，对于A，在中，可知，，由余弦定理得，，即，解得或（舍去），所以双曲线的离心率为，故A正确；对于B，因为，所以，在中，，所以，故B错误；对于C，在中，，所以，即，解得，即，故C正确；对于D，由，可得，所以的面积为，故D错误.故选：AC.三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上）12.已知直线与直线间的距离为，则_____【正确答案】或【分析】根据平行线间距离公式可得方程，解方程即可.【详解】直线与直线之间的距离，解得或，故或.13.若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是_______【正确答案】【分析】根据离心率公式，结合离心率与椭圆扁平程度的关系即可求解,即可根据长轴公式求解.【详解】的离心率为，由于比椭圆更扁，故的离心率满足，即，解得，故长轴长为，故14.已知双曲线的右顶点、右焦点为A、F，过点A的直线与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，，且，则双曲线的离心率为___________.【正确答案】【分析】写出点A，F坐标，双曲线C的渐近线方程，利用给定的向量关系，求出点B坐标，代入双曲线方程即可得解.【详解】双曲线中，A(a，0)，渐近线，设右焦点为F，由,即，直线l：x=a，由双曲线对称性知，不妨令Q(a，b)，设，则，，因，则，解得，即点，又点B在双曲线C上，则有，解得，因e>1，则.故方法点睛：求双曲线的离心率，常见有两种方法：(1)求出a，c，代入公式；(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=c2-a2转化为a，c的齐次式，然后将等式两边分别除以a或a2转化为关于e的方程，解方程即可得e．四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程）15.已知直线，圆．（1）求与垂直的的直径所在直线的一般式方程；（2）若圆与关于直线对称，求的标准方程．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解.（2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解.【小问1详解】将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4．因为，所以可设的一般式方程为，将代入，解得，故的一般式方程为．【小问2详解】设的圆心为，由与关于直线对称，可得，解得所以的标准方程为．16.（1）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离是到直线的距离的倍．求点的轨迹方程；（2）若动圆与圆､圆都外切.求动圆圆心的轨迹方程.【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）设点，分别表示两点间距离及点到直线的距离，化简可得解；（2）由外切可知，，即，根据双曲线的定义可轨迹方程.【详解】（1）设点，由题意得：，化简得：所以点的轨迹方程是；（2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，则圆与圆外离，设圆的半径为，由题意可得，所以，即圆心满足到定点、的距离之差为定值，所以，圆心的轨迹是以点、分别为左右焦点的双曲线的右支，设圆心的轨迹方程为，由题意可得，则，，因此，圆心轨迹方程为.17.已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，且，求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据椭圆的定义表示焦点三角形周长，再结合离心率可得椭圆方程；（2）由椭圆定义可知，结合，可得，，根据余弦定理可知，进而可得.【小问1详解】由已知椭圆离心率，则，又的周长为，解得，，所以，即椭圆方程为；【小问2详解】由已知点在椭圆上，则，又，解得，，又，则，所以.18.已知双曲线C:x2a2−y2b（1）求双曲线的标准方程；（2）设是双曲线与圆在第一象限的交点，求的面积.（3）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求PQ.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由已知，再将点代入双曲线方程可得解；（2）联立双曲线与圆可得点坐标，进而可得三角形面积；（3）由已知可得直线方程，联立直线与双曲线，结合韦达定理与弦长公式可得解.【小问1详解】由已知双曲线的实轴长为，即得，所以双曲线方程为，又双曲线过点，则，解得，则双曲线方程；【小问2详解】联立双曲线与圆的方程，即，解得，由点在第一象限，则，又，所以；【小问3详解】由已知直线，即，联立直线与双曲线，即，得，，且，，则弦长.19.已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等，（1）求椭圆C标准方程（2）点（）与上的点之间的距离的最大值为6．过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为．①证明：直线过定点；②已知为坐标原点，求面积的取值范围．【正确答案】（1）（2）①证明见解析；②【分析】（1）将点的