山东省烟台市2025届高三上学期期中学业水平诊断数学试题 含解析

2024～2025学年度第一学期期中学业水平诊断高三数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】由可得，所以，所以，或，所以.故选：B.2.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】主要利用正切函数的性质，即可解答本题.【详解】当时，；反之，当时，.则“”是“”的充要条件.故选：C.3.已知，，，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件求出的值，然后投影向量的计算公式为，再计算向量在上的投影向量.【详解】，可得.展开得到.，则；，则.将和代入中，得到，移项可得，解得.根据投影向量公式，得到.故选：B4.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用抽象函数求定义域的相关概念，即可求解.【详解】由x<2，得，且，所以，因此，故函数的定义域为.故选：D.5.已知，则（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】根据两角差的正切公式可求出，利用齐次式即可得到结果.【详解】由得，，∴.故选：A.6.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，求导，得到函数单调性，结合函数为奇函数且，得到在区间上上单调递减，从而得到，求出答案.【详解】时，，显然，令得，当得，故在上单调递减，在上单调递增，又是定义在R上的奇函数，故在上单调递减，在上单调递增，又，故在R上为连续函数，故在区间上单调递减，又在区间上单调递减，所以，解得.故选：C7.已知定义在R上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知关于对称，且在上单调递减，在1,+∞上单调递增，根据的对称性和单调性解不等式即可得出答案.【详解】因为定义在R上的函数满足，所以关于对称，当时，，所以f′x<0所以在上单调递减，因为关于对称，所以在1,+∞上单调递增，由，则，可得：，即或，所以不等式的解集为.故选：D.8.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，若，，，，则海岛的高为（）A.16 B.24 C.32 D.40【答案】C【解析】【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．【详解】由平面相似可知，，而，所以，而，即．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用作差法结合平方差公式判断A正确；利用不等式的性质可知选项B错误；通分之后判断分子和分母的符号可得选项C正确；举反例说明选项D错误.【详解】A.，由，得，因，所以，即，选项A正确.B.由，，，即，选项B错误.C.由，得，因为，所以，选项C正确.D.令，则不成立，选项D错误.故选：AC.10.已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，则（）A.函数的图象关于点对称B.是函数图象的一条对称轴C.若，则D.将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象【答案】ABD【解析】【分析】利用辅助角公式和正弦函数的最小正周期可得，利用代入法验证对称轴及对称中心可判断，利用和差公式及同角关系式计算判断；利用图象平移变换可判断.【详解】，又相邻两条对称轴之间的距离为，所以，所以，所以，，所以函数的图象关于点对称，故正确；，所以是函数图象的一条对称轴，故正确；若，所以，，由，可得，所以，所以或，故错误；将图象上所有的点向右平移个单位长度，得，故正确；故选：.11.设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（）A.任何一个三次函数均有“拐点”B.函数为区间上的“上凸函数”C.若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减D.若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项：运用拐点概念计算即可；对于B选项：对求导，，借助导数研究函数在区间上单调性可判断；对于C选项，求导得到，再求导令，得拐点，因为“拐点”在轴右侧，得到.进而得到递减区间判断即可；对于D选项：根据拐点概念，结合“上凸函数”概念，求出,可判断.【详解】对于A选项：对于三次函数，，再求导得到.令，则，解得，所以任何一个三次函数均有“拐点”，A选项正确.对于B选项：，，.当时，，，得出函数在区间上单调递减，所以函数是区间上的“上凸函数”，B选项正确.对于C选项：，，.令，得，因为“拐点”在轴右侧，所以，即.令可得，所以，的递减区间是，C选项错误.对于D选项：，，.令，即在有解.即则有正解.则Δ=a2并且因为函数为定义域上的“上凸函数”，所以在定义域上单调递减.恒成立.恒成立，,即，即，解得，由于保证拐点，则.D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】先求出的值，再将这个值作为自变量代入函数求出的值.【详解】对于，因为，所以，根据对数运算法则.因为，所以.根据对数运算法则.故答案为：.13.已知平行四边形ABCD中，，，，P是BC边上的动点，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】以B为坐标原点，BC所在直线为轴建立平面直角坐标系，写出坐标，利用向量数量积坐标运算转化为函数，再求函数的值域解即可.【详解】以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，如图，则，，，，因为点P在边AB上，所以设点P的坐标为，，则当时，，即的取值范围为，故答案为：14.函数，，.若时，函数为偶函数，试写出满足条件的b的一个值为_____；若当时，对，，，则a的取值范围为___________.【答案】①.1（答案不唯一）②.【解析】【分析】利用偶函数的定义可写出的值，由题意得，，结合函数单调性求最值及绝对值不等式即可求解.【详解】若时，为偶函数，则，即，所以或0，对，，，所以，因为时，在上单调递增，所以，所以，又，当时，在上单调递增，所以，即，解得，当时，在上单调递减，所以，所以，解得，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，无解，所以a的取值范围为.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立、存在性问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，，（1）若，有成立，则；（2）若，有成立，则；（3）若，有成立，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用向量数量积运算法则和三角恒等变换得到，整体法求出函数单调递增区间；（2）求出，数形结合得到，，故，得到答案【小问1详解】，令，，解得，，故的单调递增区间为，；【小问2详解】，故，则，因为当时，，所以，实数的取值范围为.16.已知函数.（1）当时，求过点且与函数图象相切的直线方程；（2）当时，讨论函数的单调性.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设函数在点的切线过点，可得切线方程为，可得，求解可得切线方程；（2）求导得，分，，三种情况讨论可得单调区间.【小问1详解】当时，，求导可得，设函数在点的切线过点，所以，又，所以，又因为切线过点，所以，所以，解得，所以切线方程为，即.【小问2详解】由，可得，当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增，由，可得，所以函数在上单调递减，当时，由，可得，所以函数在上单调递增，当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增，由，可得，所以函数在上单调递减，综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.17.如图，某地一公园ABCD为等腰梯形，其中，，，（单位：百米），公园出入口分别为C，D和AB中点Q，公园管理部门准备在公园内部（不含边界）距离C，D两点相等的一点P处修建连接三个出口的道路PQ，PC，PD.设，，道路总长度为y.（单位：百米）（1）分别求y关于x和y关于θ的函数关系式；（2）请选用（1）中的一个关系式，求：当点P在何位置时三条道路的总长度最小.【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）借助等腰梯形的性质和勾股定理，以及锐角三角函数求出关系式即可；（2）运用三角关系式，借助导数研究单调性，进而来求最值即可.【小问1详解】如图，过A作于E,过B作于F,延长交于G.由于距离C，D两点相等的一点P，则.根据题意，，，由等腰梯形性质，知道,,在中,求得,且，则.在中,求得.故y关于x的关系式为：，即.在中，，且，则.并且,则.则y关于θ的关系式为：，即.【小问2详解】用,求导得到.令，则，，则.当,,单调递减；当,,单调递增；故当，y取得最小值.且综上所得，当时,三条道路的总长度最小.18.在中，角所对的边分别为，满足，是边上的点，.（1）求；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，进而可求；（2）由已知可得，计算可得，利用基本不等式可求面积的最大值.【小问1详解】由，可得，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以；【小问2详解】因为，所以，两边平方可得，又因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以所以面积的最大值为.19.已知函数，，.（1）证明：当时，曲线与有且只有两条公切线；（2）若函数与的图象有两个交点，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）直线与相切于点，直线与相切于点，进而可得，利用换元法得，构建，利用导数证明在上有且只有两个零点即可.（2）由函数与的图象有两个交点，则有两个不等的实根，可得有两个大于2且不等的实根，变形为，利用函数的单调性可得有两个实根，再换元利用方程有解可求的取值范围.【小问1详解】当时，，，求导得，，设直线与相切于点，则切线斜率，直线与相切于点，则切线斜率，则，整理得，由题意可得：，消去可得：，令，则，则，可得，令，要证曲线与有且只有两条公切线，即证在上有且只有两个零点，求导可得，可得在定义域内单调递增，且，，故在上有唯一零点，且，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，可知的最小值为，又因为，则，注意到趋近0时，趋近，趋近时，趋近，所以在和上分别存在一个零点，故在上有且只有两个零点，故原命题得证.【小问2详解】由函数与的图象有两个交点，则有两个不等的实根，因为，所以，所以，所以，即有两个大于2且不等的实根，由，可得，所以，令，求导可