专题24 轴对称变换（含折叠）问题（解析板）

一、选择题1.（黔东南）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为【】A．6B．12C．D．故选D．考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.翻折对称的性质；3.矩形的判定和性质；4.勾股定理；5.方程思想的应用．2.（襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是【】A．①②B．②③C．①③D．①④故选D．考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质；3.含30度角直角三角形的判定和性质；4.等边三角形的判定.3.（新疆、兵团）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=3，BC=5，则EF的值是【】A．B．C．D．∴．故选A．考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.折叠对称的性质；3.矩形的判定和性质；4.勾股定理.4.（舟山）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，点E，F分别是CD和AB的中点．现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH．若HG的延长线恰好经过点D，则CD的长为【】(A)2cm(B)cm(C)4cm(D)cm考点：1.折叠问题；2.矩形的判定和性质；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.方程思想的应用.二、填空题1.（毕节）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为▲．【答案】．【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴.由折叠的性质得：BE=BE′，AB=AB′，设BE=x，则B′E=x，CE=4﹣x，B′C=AC﹣AB′=AC﹣AB=2，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+22=（4﹣x）2，解得：x=．∴BE的长为．考点：1.折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用.2.（黔东南）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为▲．【答案】.【解析】考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.勾股定理.3.（河南）如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为▲.【答案】或.【解析】当BN=D'N=3时，，∴；当BN=D'N=4时，，∴.∵DE=D'E，∴DE的长为或.考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.角平分线的性质；4.正方形和等腰直角三角形的判定和性质；5.勾股定理；6.相似三角形的判定和性质；7.方程思想和分类思想的应用.4.（孝感）如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若△ABE是等边三角形，则＝▲．∴，.∴.考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.折叠的性质；4.矩形的性质；5.等边三角形的性质．5.（张家界）已知点关于y轴对称，则=▲．【答案】0.【解析】试题分析：关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此，∵点关于y轴对称，∴.考点：1.关于y轴对称的点的坐标特征；2.二元一次方程组的应用；3.求代数式的值.6.（张家界）如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于E,CD⊥MN于点F,P为EF上任意一点,，则PA+PC的最小值为▲．【答案】.【解析】考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.勾股定理；3.垂径定理．7.（扬州）如图，的中位线，把沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是，则的面积为_______.考点：1.折叠问题；2.三角形中位线性质.8.（赤峰）如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=550，则∠DAF的度数为▲．【答案】20°．【解析】考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质；3.直角三角形两锐角的关系．9.（上海）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）．【答案】【解析】考点：1.折叠问题；2.矩形的判定和性质；3.含30度直角三角形的判定和性质；4.等边三角形的判定和性质.10.（成都）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C.则A′C长度的最小值是▲.【答案】.【解析】考点：1.单动点和折叠问题；2.菱形的性质；3.锐角三角函数定义；4.特殊角的三角函数值；5.三角形边角关系；6.勾股定理；7.折叠对称的性质.11.（舟山）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则AD＝；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是．其中正确结论的序号是▲．【答案】①③⑤.【解析】∴线段EF的最小值为.结论②错误.③如图，连接CD，CO，∵∠CAB＝90°，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°.∴△AOB是等边三角形，∴AO=4，∠OCA＝60°.∴当AD＝2时，CD⊥AD，∠OCD＝∠DOA＝30°.∵根据轴对称的性质，∠EOA＝∠DOA＝30°，∴∠ECO＝90°.∴EF与半圆相切.结论③正确.④若点F恰好落在BC上，则点D，F重合于点B，AD=AB=8.结论④错误.⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫学科网过的面积是△ABC面积的2倍，为.结论⑤正确.综上所述，结论正确的是①③⑤.考点：1.单动点和轴对称问题；2.轴对称的性质；3.垂直线段的性质；4.圆周角定理；5.含30度角直角三角形的性质；6.等边三角形的性质；7.切线的判定.三、解答题1.（福州）（每小题7分，共14分）（1）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D.（2）如图，在边长为1个单位的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在网格上.①的值是▲；②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应），连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）①；②作图见解析，20.【解析】由轴对称的性质可得：AA1=2，BB1=8，高BC=4.∴.考点：1.全等三角形的判定和性质；2.网格问题；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义；5.作图-轴对称变换．2.（梅州）（本题满分11分）如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C.（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.试题解析：（1）A(4，0)、D(－2，0)、C(0，－3)（2）如图，连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求.设直线AC的解析式为，则，解得.（3）存在，分两种情况：①如图，当BC为梯形的底边时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(－2，0).②如图，当BC为梯形的腰时，过点C作CP//AB，与抛物线交于点P，∵点C，B关于抛物线对称，∴B(2，－3)设直线AB的解析式为，则，解得.∴直线AB的解析式为.∵CP//AB，∴可设直线CP的解析式为.∵点C在直线CP上，∴.∴直线CP的解析式为.联立，解得，∴P(6，6).综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，点P的坐标为(－2，0)或(6，6).考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点学科网的坐标与方程的关系；4.轴对称的应用（最短线路问题）；5.二次函数的性质；6.梯形存在性问题；7.分类思想的应用.3.（遵义）（14分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．【答案】（1），C（0，）；（2）存在满足条件的点E，点E的坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）；（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为．【解析】令x=0，得y=，∴C（0，）．（2）存在．如答图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），∴AB=4，OA=3，OC=4，∴AC=，AQ=4．∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，∴E（﹣1，0）．综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）．（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为．理由如下：如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，∴AP=AQ=QD=DP，∴四边形AQDP为菱形.∵FQ∥OC，∴△AFQ∽△AOC.∴，即.∴AF=，FQ=，∴Q.∵DQ=AP=t，∴D.∵D在二次函数上，∴，解得t=或t=0（与A重合，舍去）.∴D．考点：1.二次函数综合题；2.双动点和折叠问题；3.等腰三角形存在性问题；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.相似三角形的减少性质；7.分类思想和方程思想的应用．4.（河北）(本小题满分11分)如图，优弧所在⊙O的半径为2，AB=点P为优弧上一点（点P不与A,B重合）将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A'.（1）点O到弦AB的距离是▲；当BP经过点O时，∠ABA’=▲0；（2）当BA’与⊙O相切时，如图所示，求折痕BP的长；（3）若线段BA’与优弧只有一个公共点B，设∠ABP=α，确定α的取值范围.【答案】（1）1，60；（2）；（3）或.【解析】试题分析：（1）如答图，过点O作OH⊥AB于点H，则∵⊙O的半径为2，AB=，∴.∴根据勾股定理，得OH=1，即点O到弦AB的距离是1.∵当BP经过点O时，，∴∠ABP=300.∴根据折叠的性质，∠ABA’=600.（2）过点O作OC⊥AB于点C，过点O作OD⊥PB于点D，连接OB，则根据折叠的性质，切线的性质，（3）∵点P，A不重合，∴.由（1）得，当α增大到300时，点A'在优弧上，∴当时，点A'在⊙O内，线段BA’与优弧只有一个公共点B.由（2）知，当α增大到600时，BA’与⊙O相切，即线段BA’与优弧只有一个公共点B.当α继续增大时，点P逐渐靠近点P，但点P，B不重合，∴.∵，∴.∴当时，点A'在⊙O外，线段BA’与优弧只有一个公共点B.综上所述，α的取值范围是或.考点：1.折叠问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.勾股定理；5.切线的性质；6.垂径定理；7.直线与圆的位置关系；8.分类思想的应用.5.（武汉）如图，在直角坐标系中，A(0，4)、C(3，0)，（1）①画出线段AC关于y轴对称线段AB；②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请画出线段CD；（2）若直线y＝kx平分(1)中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值.【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）．【解析】（2）∵A（0，4），C（3，0），∴平行四边形ABCD的中心G坐标为（，2），代入直线得，，解得．考点：1.作图（旋转变换和轴对称变换）；2.平行四边形的性质；3.直线上点的坐标与方程的关系．6.（张家界）(本小题6分)利用对称变换可设计出美丽图案，在方格纸中有一个顶点都在格点上的四边形，且每个小正方形的边长都为1，完成下列问题：（1）图案设计：先作出该四边形关于直线L成轴对称的图形，再将你所作的图形和原四边形绕O点按顺时针旋转；（2）完成上述设计后，整个图案的面积等于▲.【答案】（1）作图见解析；（2）20.【解析】（2）20.考点：1.网格问题；2.利用旋转和轴对称设计图案；3.转换思想的应用．7.（扬州）（本题12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1:4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰巧是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，在（1）条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP.动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求线段EF的长度.【答案】（1）①证明见解析；②10；（2）30º；（3）不变，.【解析】∵AD=8，∴CP=4.设AB=AP=x，则.∵MP=MH，ME⊥PB，∴PE=EH.∵EF=EH+FH，∴EF=EP+FB=.由（1）得AB=10，AD=8，∴DP=6.∴PC=4.∴.∴.考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.含30度直角三角形的性质；6.全等三角形的判定和性质；7.方程思想的应用.8.（呼和浩特）（7分）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O,连接DE．（1）求证：∆ADE≌∆CED；（2）求证：DEAC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.折叠对称的性质；4.全等三角形的判定和性质；5.平行的判定.9.（呼和浩特）（12分）如图，已知直线l的解析式为，抛物线y=ax2＋bx＋2经过点A（m，0），B（2，0），D三点．（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E,延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．【答案】（1），（–4，0），作图见解析；（2），其中–4<x<0，12，（–2，2）；（3）证明见解析.【解析】∴抛物线的解析式为.∵A（m，0）在抛物线上，∴，解得.∴A（–4，0）.作抛物线的大致图象如下：（2）∵由题设知直线l的解析式为，∴.又∵AB=6，∴.∴将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数为，其中–4<x<0.∵，∴S最大=12，此时点P的坐标为（–2，2）.∴直线l上任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在的直线上 .考点：1.二次函数与一次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.由实际问题列函数关系式；5.二次函数最值的应用.10.（宁夏）（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为.（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2考点：作图（轴对称变换和中心对称变换）11.（宁夏）（6分）在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B'处，AB'‘和CD相交于点O．求证：OA=OC．考点：1.折叠问题；2.平行四边形的性质；3.等腰三角形的判定.12.（潍坊）（本小题满分12分）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．（1）求证：AE⊥BF；（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（3）∵正方形ABCD的面积为4，∴AB=2.由旋转的性质得：∠BAE=∠EAM，又由（1）AE⊥BF，∴△ABG≌△ANG（ASA）.∴AN=AB.=2.∵∠BAE=∠GAN，∠ABE=∠AGN=900，∴△ABE∽△AGN.∴.∵在Rt△ABE中，AB=2，BN=1，∴.∴.∴.∵由旋转的性质得：，∴.∴四边形GHMN的面积是.考点：1.折叠和旋转问题；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.勾股定理；7.转换思想的应用.13.（天津）（本小题10分）在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x＝1，点A（2，0），点E、点F、点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（1）若点M的坐标为（1，-1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（2）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．（2）同（1），易求．则由PQ⊥l于点Q，得点，则，，所以，化简得到：，通过解该方程②由已知可设点F的坐标是（1，t）．∴直线OF的解析式为y=tx．设直线EA的解析式为y=cx+dy（c、d是常数，且c≠0）．由点E和点F关于点M（1，-1）对称，得点E（1，-2-t）．又点A、E在直线EA上，∴，解得.∴直线EA的解析式为：．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴，即．∴∴y关于x的函数解析式为.（2）由（1）可得，直线OF的解析式为y=tx．直线EA的解析式为．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴，化简，得．考点：1.一次函数综合题；2.单动点和轴对称问题；3.待定系数法的应用；4.上点的坐标与方程的关系；5.代数式的变形．14.（金华）（本题6分）在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别是，（0，0），（1，0）.（1）如图2，添加棋C子，使四颗棋子A，O，B，C成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；（2）在其他格点位置添加一颗棋子P，使四颗棋子A，O，B，P成为轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标.（写出2个即可）【答案】（1）作图见解析（答案不唯一）；（2）（答案不唯一）.【解析】（2）如图②，P都能使四颗棋子A，O，B，P成为轴对称图形，故棋子P的位置的坐标可以为（答案不唯一）.考点：1.开放型；2.点的坐标；3.应用和设计作图（轴对称图形的构造）；4.分类思想的应用.15.（舟山）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为(O，2)，直线AB交轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．（1）当时，求S的值．（2）求S关于的函数解析式．（3）①若S＝时，求的值；②当m＞2时，设，猜想k与m的数