数学达标训练：任意角的三角函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础·巩固1。sin（-）的值为（)A。B.—C。D.—思路解析：利用诱导公式化负角为正角，化大角为小角，最后化为锐角再求值。sin(-)=-sin=-sin(+2π)=-sin=-sin（π—)=—sin=-.答案：B2.若三角形的两内角α、β满足sinαcosβ＜0，则此三角形必为（）A。锐角三角形B。钝角三角形C。直角三角形D.以上三种情况都可能思路解析：由于α、β为三角形内角，则它们的终边应在第一、二象限或y轴的正半轴上，若sinαcosβ＜0，则只能有cosβ＜0,则角β应为第二象限角，即为钝角。答案：B3。角α的终边过点P(a，0)（a≠0),则sinα等于（）A。0B.1C.-1思路解析:由已知角的终边在x轴上,利用三角函数的定义求值。答案：A4.若sinα+cosα=,且0＜α＜π，则cotα的值为（）A.-B。C.-D.思路解析：利用sinα±cosα与sinαcosα的关系解题.由于sinα+cosα=＜1，则sinαcosα=-。再由(sinα—cosα）2=1-2sinαcosα=1+=和角的范围即可求出sinα-cosα的值进而求出sinα、cosα的值.答案:A5.已知tanx＞0，且sinx+cosx＜0，那么x是(）A.第一象限角B。第二象限角C。第三象限角D.第四象限角思路解析:由于tanx＞0知x位于第一、三象限.而当x位于第三象限时，sinx＜0,cosx＜0，即sinx+cosx＜0,故x位于第一象限.答案：C6.已知sinα=，cotα＞0，则cosα=____________。思路解析:利用已知条件找出角α的终边位置，再利用同角三角函数基本关系式求值.由已知α是第一象限的角，所以cosα=.答案:7.若tanα=cosα，则sinα=______________.思路解析：利用同角三角函数基本关系式和已知条件，将已知条件化为关于sinα的一个一元二次方程，解方程即可。答案：8。化简：。思路分析：利用sin2α+cos2α=1降幂，从而达到化简的目的.解法一：原式===.解法二：原式====。9。sin2α＞0且cosα＜0，试确定α所在的象限．思路分析：由sin2α＞0得出α的范围，再由cosα＜0得出α的范围，两者取交集即可．解:∵sin2α＞0,∴2kπ＜2α＜2kπ+π(k∈Z).∴kπ＜α＜kπ+（k∈Z）．当k=2n（n∈Z)时,有2nπ＜α＜2nπ+（n∈Z）,∴α在第一象限．当k=2n+1（n∈Z)时,有2nπ+π＜α＜2nπ+(n∈Z)，∴α在第三象限．∴α在第一或第三象限．由cosα＜0可知α在第二或第三象限或α终边在x轴的负半轴上．综上所述,α在第三象限．综合·应用10.若tanα=m，且＜α＜2π，则cosα等于(）A。B.±C。—D.思路解析:利用同角三角函数基本关系式。由于cos2α=，且＜α＜2π，则cosα为正值。答案：A11.如果f(x＋π）=f（—x)，且f（-x）=f（x)，则f（x）可以是（)A。sin2xB.cosxC.sin｜x｜D.|sinx|思路解析：利用诱导公式反代排除.∵f(-x）=f(x），∴A不成立。假设选B,∵f(x+π）=cos（π+x）=-cosx，而f(—x）=cos（-x)=cosx，∴B不成立.假设选C，∵f（x+π）=sin｜x+π｜，f(—x）=sin|-x|=sinx，显然也不成立.∴选D.答案：D12。当α≠（k∈Z）时,M=的取值为(）A。M≥0B。M＞0C。M＜0思路解析：因为α≠，k∈Z，所以角α的终边不落在坐标轴上。由任意角的三角函数的定义知sinα=，cosα=，tanα=，cotα=。代入原式即可求解。因为α≠，k∈Z,所以角α的终边不落在坐标轴上.由任意角的三角函数的定义知sinα=，cosα=,tanα=，cotα=，则原式=＞0.答案:B13。已知sinα是方程6x=的根，那么的值等于()A.±B.±C。-D.思路解析：将方程视为的一元二次方程，即可求出sinα的值,然后再化简所求的式子,结合同角三角函数的基本关系式求值。∵6x=1—，∴=或=-（舍去）。∴x=。又∵sinα是方程6x=1-的根,∴sinα=.∴cosα=±=±.=—tanα=-=±。答案：A14。=，则cos(3π—θ)=________________。思路解析：利用诱导公式将条件与结论均化简成最简式，再求值。∵==,∴cosθ=-。∴cos（3π-θ)=cos（π—θ）=-cosθ=。答案：15.已知cos(11π-3)=p，则p表示tan（—3）=_______________。思路解析：首先利用诱导公式化简已知条件和结论,再利用同角三角函数的基本关系式求解。∵cos(11π—3)=cos（π—3）=—cos3=p，∴cos3=—p.又∵＜3＜π，∴sin3=∴tan(-3）=—tan3=-=—=。答案：16.设f(x）=asin(πx+α)+bcos（πx+β），其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2002）=—1,则f（2003)=_________________．思路解析：用诱导公式寻求f(2002)和f（2003)的关系．法一：∵f（2002）=asin(2002π+α）+bcos(2002π+β)=asinα+bcosβ=—1，∴f(2003)=asin(2003π+α）+bcos（2003π+β）=asin（2002π+π+α）+bcos(2002π+π+β）=asin（π+α）+bcos(π+β）=-(asinα+bcosβ）=1.法二:f(2003)=asin（2003π+α）+bcos(2003π+β)=asin［π+（2002π+α）］+bcos［π+（2002π+β)］=-asin(2002π+α)—bcos（2002π+β)=-f（2002）=1。答案：117.已知sinθ+cosθ=(0＜θ＜π),求sinθ、cosθ.思路分析:若已知sinθ与cosθ的和与差，联系到sin2θ+cos2θ=1,可以求出sinθ、cosθ的值.若直接消元,难免山重水复；若求出sinθcosθ,把sinθ+cosθ与sinθcosθ看成关于x的某一元二次方程的根，构造方程求解，则柳暗花明;若依据（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ，构造sinθ-cosθ的值求解,更是独具匠心.解法一：由sinθ+cosθ=(0＜θ＜π).两边平方得sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=(）2，则sinθcosθ=-，故有,则sinθ、cosθ可看作方程x2—x-=0的两根。∵0＜θ＜π，sinθcosθ=-，∴sinθ＞0,cosθ＜0.解方程可得sinθ=,cosθ=—。解法二：由sinθ+cosθ=（0＜θ＜π).两边平方得sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=（)2,则sinθcosθ=—，又0＜θ＜π，则sinθ＞0，cosθ＜0,∴sinθ—cosθ=，与sinθ+cosθ=（0＜θ＜π)联立解得sinθ=，cosθ=—.回顾·展望18。(2006全国高考）若f（sinx)=3—cos2x,则f(cosx）等于()A。3-cos2xB.3—sin2xC。3+cos2xD。3+sin2x思路解析：f（cosx）=f[sin（-x)］=3—cos2（—x）=3—cos（π-2x)=3+cos2x。答案：C19.（2006安徽高考）如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2CA。△A1B1C1和△A2B2CB。△A1B1C1和△A2B2CC。△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2CD.△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C思路解析：利用△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，若△A2B2C2得,那么，A2+B2+C2=，所以△A2B2C2是钝角三角形。故选D.答案:D20。(2005山东高考)函数f（x）=若f（1)+f（a)=2，则a的所有可能值为（）A。1B.1,-C.—D.1,思路解析：由已知可得f(1）=e1-1=1，则f(a）=1。当-1＜a＜0时,有f（a）=sin(πa2）=1,此时a=-;当a≥0时,由已知f（1）=1。所以a的所有可能值为1，-.答案：B21.(2005湖南高考)tan600°的值是（）A.-B。C。—D.思路解析：由于tan600°=tan（360°+240°)=tan（180°+60°）=tan60°=.答案：D22.（2006上海高考)如果cosα=，且α是第四象限角，则cos（α+）=____________.思路解析：利用诱导公式将cos（α+)化为角α的三角函数值，再利用同角基本关系式及角的范围求解.答案：23.(2006全国高考）△ABC的三个内角分别为A、B、C，求当A为何值