湖南省长沙市2022届高三数学模拟考试（二）试卷-附答案

湖南省长沙市2022届高三数学模拟考试（二）试卷

注意事项：

1.本试卷分和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号

填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4={目/一％一2<0},则«A=（）

A.1x|-1<x<2jB.1jr|-l<x<2|

C.{小<-1或x>2}D.{小〈-1或xN2}

2.已知复数z=-2+3i,则在复平面内I对应的点位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.下列函数中，在R上为增函数的是（）

cx2f2v,x>0

A.y=2B.y=x2C.y=<D.y=\gx

x,x<0

4.已知3cos2a—8cosa=5,贝ijcosa=（）

小

D.—

3

5.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已

知三个房间的粉刷面积分别为x,y,x（单位：rtf）,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用

分别为a,b,c（单位：元/n?）,且a<匕<c.在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）

是（）

A.ax-vby+czB.az+by+exC.ay+bz+cxD.ay+bx+cz

6.已知羽y是两个具有线性相关的两个变量，其取值如表:

X12345

y4m9n11

其回归直线y=%+a过点(3,7)的一个充要条件是()

A.m=n=5B.m=n=6C.m+n=11D.m=5,n=6

7.已知函数〃x)=Asin(a)x+0)(A>0,G>0,帆归］)的图象如图所示.则/(0)=

8.函数/(x)的定义域为R,若〃x+l)是奇函数，/(x—1)是偶函数，贝！I()

A.”X)是奇函数B./(x+3)是偶函数

C.43)=0D./(x)=/(x+3)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知圆C：x2+y2=\,则下列曲线一定与圆C有公共点的是()

A.过原点的任意直线B.x+y+2022=0

C.(%-1)2+/=1D.以(2,0)为圆心且半径超过3的圆

10.某市教育局为了解“双减”政策的落实情况，随机在本市内抽取了A,B两所初级中学，

在每一所学校中各随机抽取了200名学生，调查了他们课后做作业的时间，并根据调查结果

绘制了如下频率分布直方图：

频率频率

由直方图判断，以下说法正确的是(

A.总体看，A校学生做作业平均时长小于B校学生做作业平均时长

B.B校所有学生做作业时长都要大于A校学生做作业时长

C.A校学生做作业时长的中位数大于B校学生做作业时长的中位数

D.B校学生做作业时长分布更接近正态分布

11.在平面直角坐标系M))，中，点M(4,4)在抛物线V=2px(/?>0)上，抛物线的焦

点为F,延长MF与抛物线相交于点N,则下列结论正确的是(

17

A.抛物线的准线方程为x=—1B.

7

C.AOMN的面积为eD.\MF\+\NF\^\MF\-\NF\

12.著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着”

个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较

大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将〃个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱

子的最少操作数为4,则()

A.%=3

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a=(M,1),b=(2,A/3),若a〃b,则a-b=.

14.将4名志愿者全部分配到3个核酸检测点，每个检测点至少分配1名志愿者，则不同的

分配方案有种.

X2y2

2

15.已知双曲线T=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,点B(0,b),双

a"b~

曲线的渐近线上存在一点P,使得A,B,F,P顺次连接构成平行四边形，则双曲线C的离心

率6=.

16.已知菱形ABCD的各边长为2,ND=60。.如图所示，将△ACD沿AC折起，使得点D

到达点S的位置，连接SB,得到三棱锥S幺BC,此时SB=3.则三棱锥S乂BC的体积为

;E是线段SA的中点，点F在三棱锥SfiBC的外接球上运动，且始终保持EF1AC,

则点F的轨迹的周长为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知公差不为零的等差数列｛4｝中，4=2,且%，%，做成等比数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

（2）若2=牝+2"”（〃eN*）求数列也｝的前n项和7；.

18.（本小题满分12分）

设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,且COSC="加8

b

（1）求角B的大小;

（2）若边AB上的高为一，求COSC.

4

19.(本小题满分12分)

如图，在正方体ABCD乂BCD中，点E在线段CD」-,CE=2EDi，点F为线段AB

上的动点.

(1)若EF〃平面ADDiA”求——的值；

FB

(2)当F为AB中点时，求二面角E~DFt的正切值.

20.(本小题满分12分)

某特种商品生产企业的甲、乙两个厂区共生产产品4a件，其中共有不合格产品。件，下

图为全部产品中甲、乙两厂区生产产品数的分布图(图1),以及不合格产品中甲、乙两厂区

生产产品数的分布图(图2)：

全部产品的分布图不合格产品的分布图

・甲厂区生产产品口乙厂区生产产品।■甲厂区生产产品口乙厂区生产产品

图1图2

(不合格不率合=格匕产器品数衿

(1)求甲、乙厂区各自生产产品的不合格率；

(2)用不合格率估计抽到不合格产品的概率，

(i)用分层抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记X为样本中不合格

品的件数，求X的分布列.

(ii)用简单随机抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记y为样本中不

合格品的件数.比较E(X),E(7)的大小，并说说你对这一大小关系实际含义的理解。

21.（本小题满分12分）

2

如图，已知椭圆C：，+>2=1其左、右焦点分别为F|,F2，过右焦点F2且

垂直于X轴的直线交椭圆于第一象限的点P,且sin/P6g=；

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点S（0,-g）且斜率为左的动直线/交椭圆于A,B两点，在y轴上是否存在定点

M,使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由.

22.(本小题满分12分)

2

已知/(x)=lnx-x——，0<x,<x2.

(1)求/(x)的最大值；

（2）求证：⑴存在天€（石,泡），使得/'（%）="'）二'"上）

玉一看

（ii）当存在玉使得‘时，有％+々>2%.

玉一马

数学参考答案

一、二、选择题

题号123156789101112

答案DCCABCABACADADAD

1.D［解析JA={N|一】《2}•则CRA={#|HC—1或42).

2.C【解析】之=一2一3入，在复平面内c对应的点为(一2・一3).在第三象限.

3.C【解析】A为减函数.B为先减后增函数.C两支均为增函数•且当了<0时/(h)Vf(O).则('为R上的增函数.D

定义域不是R.

4.A【解析】由条件得6cos2a_8cosa—8=0.解得cosa—2(舍去).或cosa=—1".

5.B【解析】•；/<丁0且aV4Vc・••.a.r+〃y+e=—(。之+力)+cr)=aQ—z)+(•(%—1)

——(.x-z)(a-c>>0・•,・aa'+〃y+cs>a£+Z\y+c/;

同理ay+Z^+cr-(ay+/u:+cs)=6(%—工)+，(1-s:)=(N-.r)(Zr-c)VO,

，”+辰+crV”+〃.r+cs；

同理以？+。1y+cr-(ay+〃z+cr)=a(z->»)+〃('-N)=(N-1y)(a-6)V0.

；・az++cx<Zay++ex.

，最低费用为1y+cr.

6.C【解析r.•回归直线经过样本中心(3.R^3)....其经过点(3.7)的充要条件为=7.即,"+”=11.

7.A【解析】由图象可得/⑺的最小正周期T=4情一号)=工..，.3=隼=2.

由2•警+2&jr.*ez,解得+2&"*eZ.由I《3彳导yh.

/(.r)=Asin(2i+.)t.\)=Asinn=0.

8.B【解析】由条件知/(i)的一个对称中心是(l・0),一条对称轴为才=-1,则z=3也是对称轴•即八1+3)是偶函

数.B正确.A、C不确定.对于D：仅可判断周期为T=2X4=8.即/Q)=/(.r+8).

［另解］由奇函数条件得〃。+1)=—/(一才+D.由偶函数条件得/(1-1)=/(一/-1)=>/1+1)=，(一工一3)・

・・・一/(-7+1)=/(一.丁一3)=>/(/)+人1+4)=0•则八7+8)=—/(/+4)=/(外・即周期为8.另一方面/(.r+5)

=-/(.r+l)=/(-r+l)=>f(x+3)=/(一.,+3)•即人/+3)是偶函数.

9.AC【解析】A选项：原点在圆('内部,相交；B选项：4=些>1.相离；

-J2

C选项：圜心距4=16(0.2),两圆相交；D选项：心>3时,圆心距，=2V=2一门,两圆为内含关系•无公共点.

1().AD【解析】由直方图可知.八校学生做作业时长大部分在1〜2小时.

而B校学生做作业时长大部分在2.5〜3.5小时,故A正确,C错误；

B校有学生做作业时长小于1小时的.而A校有学生做作业时长超过5小时的,故B错误；

B校学生做作业时长分布相对八校更对称•故D正确.

11.AD【解析】将M(4.4)代入y2=2Ar得力=2,则./=41・准线为/=-LA正确；

IMF：_y=2(_r—1),与抛物线联立得4M—17i+4=O.解得工」=4=1~•

“34

数学参考答案(雅礼版)一1

则IMN|==x,+/2+Z>=苧.B错误；

S&MN=-1--|OFI•Iyi—yz\=yXIX|y（xi-x2）|=-|-.C错误；

|MF|=.n+《=5,|NF|=4+丹="■•故IMF|+|NF|=\MF\•\NF\=¥.D正确.

L444

12.AD【解析】将圆盘从小到大编为1・2,3•…号圆盘.则将第〃+1号圆盘移动到3号柱时•需先将第I〜〃号圆盘移

动到2号柱•需知次操作；将第〃+1号四盘移动到3号柱需1次操作；再将1〜〃号圆盘移动到3号柱需/次操

作•故a,i=2/+】.由此递推关系及川=1可求得通项为6=2"—1.则。2=3・%=7.

三、填空题

13.473【解析】Ta〃瓦・・・伍义悟=1乂入=>入=3・・・・。・6=（6・1）・（3.73）=473.

14.36【解析】1人中选出2人一组•另两人各一人一组•有亡=6种分组方法.再将3组分配到3个检测点•有N=6

种分配方法.故共有不同分配方案6X6=36种.

15,2【解析】由题已如4一。・0）,尸々・0）・凤0而，设「（劭小）.

•・・4・5¥./）顺次连接构成平行四边形.・・・对角线人5.3/）同中点・

:.—a+c=O+/u・0+0=。+»,•解得P（c—a.—〃）.

TP在渐近线上・，|=—=>c=2a=^e=2.

16.亨•亨八（第1空2分.第2分3分）【解析】取AC中点M,由菱形条件得SM=M8=6•且AC_L平面SMB.由

SB=3可得30°,则三棱锥的高a=sin/S/，M・■•体积为

作EH_\_AC于H,设点F就迹所在平面为a.则平面a经过点H且AC_La.

设三棱锥SABC外接球球心为O.Z\SAC・Z\3AC的中心分别为O,,（》.易知（XKJ_平面SAC・（X%_L平面BAC\

且O.g.Q.M四点共面.

由对称性得/OMa=4/。Ma=60°.解RWXRM得（X%=乃。M=1.则三棱锥S-ABC外接球半径r=

/OC¥+aS?=<4，易知O到平面a的距离（X）3=M〃；1•故平面a极外接球所得微面圆的半筱为，T=

/一—日片=皆.其周长为/=2几门=醇冗.即点F轨迹的周长为醇兀

06O

四、解答题

17.【解析】（1）设<%}公差为〃.由题意得（2+44尸=（2+24）（2+74）.

解得4=1,或者4=0（舍去）.........................................................（5分）

⑵7；=S©+{2"，=（2+%十1士十:"卢日）=2-2+当—4...............................................................（10分）

t»l4-1，1-44L

18.t解析】（1）由cosC=--户）3一i~~—=>1/=a2+c2—2tzrsinB.

bLab

*.*Ir=a:+r?—2a<cosB.sinB=cosB=>tanB—1.VB^（O.TC）«.............................................（6分）

4

教学参考答案（雅礼版）一2

［另解」由条件及正弦定理得sinBcos（,=sinA—sinCsinB,VAJ-BH-C=7t.sinA=sin（B4-C）•则条件式可化为

sinBcosCsin（BbO~■sinCsinB=>sinC'sinE=cosEsin

7sinC>°*AsinB=C0S2tanB=l=B=g.

22

（2）由S.A,A/K-=-^-c,-y=-^-acsinB=>a=^c.••!）=v/a4-c-2arcosB=-^^~c

（12分）

［另解］如图•作于H.

RtAHBC'中.B=^.CH=f.JHB=f,BC=詹・・・・AH=半.

44444

HB

RtAHAC中.AC=JAH：+CH'=24^.

4

.「ACTBG—AB，（半）+（华）T的

"m2AC-13CYiOe^e百

LAZ入一~~

\9.【解析】（1）过E作EGJ_nD于G.连接GA.

则EG〃C'D.而CD〃尸A.所以EG//FA.

因为EF〃平面ADD】Ai・EFU平面EFAG.

平面EGAFA平面ADD14=GA.所以EF//GA.

所以四边形EGAF是平行四边形.所以GE=AF.

因为CE=2ER.所以铝=贫.

的..AF_1缶.,AF_1

所以丽=w,所以而=三・.................................（5分）

（2）如图建立空间宜角坐标系•设正方体棱长为3a•则D（O.O.O）.

E（0.u.2a）.C（0.3tz.0）.F（3a.y.0）.易知平面DCF的一个法向量力=（0・0.1）・设平面

EDF的法向量为〃_—（.「・丁,之）・

因为茄=（%与.0）,徒=（0皿.勿）.

|w2•茄=3ar+竽=0,

则J1可取的=（1.-2・1）・

In>,DE=ay+2az=0.

由图知两平面所成角0为脱角.则其余弦值为cosd=

I〃J・I加I-而'

得3*7^=底..................................（12分）

［另解］过E作EH1,CD于D.过H作HM_LDF于连接EM.

因为平面CDDG_L平面ABC'D.EH±_CD,

所以EHJ_平面ABCD

因为D门U平面ABCD.所以EH±DF.

又〃M_LQF.所以DFJ_平面EMII.

因为EMC平面EMH.所以DF±EM

所以NEMH是二面角E—DF—C的平面角.

数学参考答案（雅礼版）一3

设正方体的棱长为3a•则EH-2.a.DH=a,

在RtAADF中.DF=，A£F+AF=等〃.

则SWF=±DF・MH=4DH•AgMH=/a・，ianNEMH一铝=夜

4475MH

20.【解析】(1)由图1知设甲厂区生产入件产品,乙厂区生产a件产品.由图2知甲、乙两厂各生产不合格产品要件.

aa

则甲厂区生产产品的不合格率为乙厂区生产产品的不合格率R—T...........................(3分)

(2)(i)根据分层抽样可知•样本中3件产品来自甲厂区・1件产品来自乙厂区.X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

p(x=o)=(f)3.i=ig,p(x=»=aI-(f)2-l+d-)1

p(x=21=c(V)‘.L+a卷•(得)’.+=余

P(X=3)=(V)，.十+0(小丁■•专=宓.P(X=4)=(V)，.母=症

则X的分布列为：

X01234

12525511

P

432542427432

(储全部产品的不合格率为片言=9•由简单随机抽样方法知丫〜B(4・9)・

由⑴知E(X)=0X掇+1X翁+2啮+30+4X忐=1.

：.E(X)=E(Y).

说明抽样方法不同,但都是等可能抽样且样本容量相同时，样本中不合格品件数的期望也相同...........(12分)

21.【解析】⑴VsinZPFiF2==y・IPF；|+|PF/=2”.

・•・|PEI=如IPEI=费・•・•IPFz1+|RFz产=IPB12,|EEI=2c、：.a=0.

•••一=—片1血=7%・・・椭圆方程为吃+-=1................................................................................(4分)

［另解］设P(C.M).代入椭圆方程,由/=/+1.解得|PF.|=M=—・

•••sin/PBB=4^4=y，，IPEITJ；IPF.|+|m|=2a・・入=伍

・•・椭圆方程为§+*=L

,1

y=kx--，

得（万+—竽

(2)动直线/的方程为：y—k.r--.由2D/r-¥=0.

5+y=L

伙16

设人（力・y）.3（.R）.则不+.r=3（*7）»n=

29（2万+1）'

A=y*2+y（l+2F）=16*24-y>0................................................................................................................（6分）

教学参考答案(雅礼版)一I

由对称性可设存在定点满足题设.则MA=（m,y—.y）—〃?）.

MA-

=>（1+公）力.诵一£（《+/〃）（.©+也）+（T+/〃）=0

芯+（3/+2加-5）=0,...................................................................................................................（9分）

由题意知上式对VAGR成立.

.,•“I2—1=0且3〃f+2〃i-5=0.解得帆=1....................................................................................................（11分）

・•・存在定点M.使得以AB为直径的圆恒过这个点•且点M的坐标为（0.1）.............................................（12分）

—2(1—1)(J*2)

.【解析】⑴/⑷=春一益+十

22（2分）

当0Vr<l时・/（i>>0./Cr）单调递增；当工>1时