2024-2025学年高中数学第四章定积分4.1定积分的概念学案含解析北师大版选修2-2

PAGE§1定积分的概念授课提示：对应学生用书第37页[自主梳理]一、定积分的概念一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，其图像如图所示．将[a，b]区间分成n份，分点为：a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b.第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]的值最小，设s＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.假如每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，我们就称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作eq\i\in(a,b,)f(x)dx，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝A.其中∫叫作__________，a叫作________，b叫作________，f(x)叫作________．二、定积分的几何、物理意义1．当f(x)≥0时，eq\i\in(a,b,)f(x)dx表示的是______与________所围曲边梯形的面积；2．当f(x)表示速度关于时间x的函数时，eq\i\in(a,b,)f(x)dx表示的是运动物体从x＝a到x＝b时所走过的________．三、定积分的性质性质1：eq\i\in(a,b,)1dx＝________；性质2：eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝____________；性质3：eq\i\in(a,b,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fx±gx))dx＝________；性质4：eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝________.[双基自测]1．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝2t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间所走的路程为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．1 D．22．下列式子中不成立的是()A．∫eq\o\al(2π＋a,a)sinxdx＝∫eq\o\al(2π＋a,a)cosxdxB．＝C.eq\i\in(0,π,)sinxdx＝eq\i\in(0,π,)cosxdxD.eq\i\in(0,π,)|sinx|dx＝eq\i\in(0,π,)|cosx|dx3．若eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝3，eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝2，则eq\i\in(a,b,)[f(x)＋g(x)]dx＝________.[自主梳理]一、积分号积分的下限积分的上限被积函数二、1.y＝f(x)x＝a，x＝b和x轴2.路程三、b－akeq\i\in(a,b,)f(x)dxeq\i\in(a,b,)f(x)dx±eq\i\in(a,b,)g(x)dxeq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx[双基自测]1．C所走的路程为eq\i\in(0,1,)2tdt，由定积分的几何意义作图(图略)求得eq\i\in(0,1,)2tdt＝1.2．C分别作出被积函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx在各区间上的图像，由定积分的几何意义，易得只有C选项不成立．3．5由定积分的性质易得eq\i\in(a,b,)[f(x)＋g(x)]dx＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝3＋2＝5.授课提示：对应学生用书第38页探究一对定积分定义的理解(曲边梯形的面积)[例1]求抛物线y＝x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.[解析](1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：[0，eq\f(1,n)]，[eq\f(1,n)，eq\f(2,n)]，…，[eq\f(n－1,n)，1]．记第i个区间为[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)](i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝eq\f(i,n)－eq\f(i－1,n)＝eq\f(1,n).分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则S＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si.(2)近似代替：记f(x)＝x2.当n很大，即Δx很小时，在区间[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)]上，可以认为f(x)＝x2的值改变很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点eq\f(i－1,n)处的函数值f(eq\f(i－1,n))．就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)]上，用小矩形的面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝f(eq\f(i－1,n))Δx＝(eq\f(i－1,n))2·Δx＝(eq\f(i－1,n))2·eq\f(1,n)(i＝1,2，…，n)． ①(3)求和：由①，得Sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si′＝eq\i\su(i＝1,n,f)(eq\f(i－1,n))Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(i－1,n))2·eq\f(1,n)＝[0·eq\f(1,n)＋(eq\f(1,n))2·eq\f(1,n)＋…＋(eq\f(n－1,n))2·eq\f(1,n)]＝eq\f(1,n3)[12＋22＋…＋(n－1)2]＝eq\f(1,n3)·eq\f(nn－12n－1,6)＝eq\f(1,3)(1－eq\f(1,n))(1－eq\f(1,2n))．从而得到S的近似值S≈Sn＝eq\f(1,3)(1－eq\f(1,n))(1－eq\f(1,2n))． ②(4)取极限：分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，可以看到随着n的不断增大，即Δx越来越小时，Sn＝eq\f(1,3)(1－eq\f(1,n))(1－eq\f(1,2n))越来越趋近于S，而当n趋向于＋∞时，②式无限趋近于eq\f(1,3)，即所求面积为eq\f(1,3).用分割，近似代替，求和，取极限这四个步骤可以求曲边多边形的面积，它体现了一种化整为零(分割)，积零为整(取极限)的思想方法．1．求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线y＝eq\f(1,x2)围成的图形的面积S.解析：(1)分割：在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：[1，eq\f(n＋1,n)]，[eq\f(n＋1,n)，eq\f(n＋2,n)]，…，[eq\f(n＋n－1,n)，2]，记第i个区间为[eq\f(n＋i－1,n)，eq\f(n＋i,n)](i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝eq\f(n＋i,n)－eq\f(n＋i－1,n)＝eq\f(1,n).分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si.(2)近似代替：记f(x)＝eq\f(1,x2).当n很大，即Δx很小时，在区间[eq\f(n＋i－1,n)，eq\f(n＋i,n)]上，可以认为f(x)＝eq\f(1,x2)的值改变很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f(eq\r(\f(n＋i－1,n)·\f(n＋i,n)))．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间[eq\f(n＋i－1,n)，eq\f(n＋i,n)]上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝f(eq\r(\f(n＋i－1,n)·\f(n＋i,n)))Δx＝eq\f(n2,n＋i－1n＋i)·eq\f(1,n)＝eq\f(n,n＋i－1n＋i)(i＝1,2，…，n)．(3)求和：小曲边梯形的面积和Sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si≈eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si′＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(n,n＋i－1n＋i)＝eq\f(n,nn＋1)＋eq\f(n,n＋1n＋2)＋…＋eq\f(n,n＋n－1n＋n)＝n(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n－1)－eq\f(1,n＋n))＝n(eq\f(1,n)－eq\f(1,2n))＝eq\f(1,2).从而得到S的近似值S≈Sn＝eq\f(1,2).(4)取极限：分别将区间[1,2]等分成8,16,20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝eq\f(1,2).∴由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝eq\f(1,x2)围成的图形的面积S为eq\f(1,2).探究二用定积分的几何意义求定积分[例2]用定积分的几何意义求eq\i\in(a,b,)eq\r(x－ab－x)dx(b＞0)的值．[解析]令y＝f(x)＝eq\r(x－ab－x)，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋b,2)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b－a,2)))2，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))为圆心，半径为eq\f(b－a,2)的上半圆，而这个上半圆的面积为S＝eq\f(1,2)πr2＝eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b－a,2)))2＝eq\f(πb－a2,8)，由定积分的几何意义可知，eq\i\in(a,b,)eq\r(x－ab－x)dx＝eq\f(πb－a2,8).由定积分的几何意义求定积分的步骤(1)当f(x)≥0时，eq\i\in(a,b,)f(x)dx等于由直线x＝a，x＝b，y＝0与曲线y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．(2)计算eq\i\in(a,b,)f(x)dx时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲边梯形的三条直边，x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S而得到定积分的值：当f(x)≥0时，eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝S；当f(x)＜0时，eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝－S.2．用定积分的几何意义求下列各式的值：(1)(2)(3)解析：(1)由y＝eq\r(4－x2)可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图像如图．等于圆心角为eq\f(π,3)的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22－eq\f(1,2)×2×2sineq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)－eq\r(3)，S矩形＝AB·BC＝2eq\r(3)，∴＝2eq\r(3)＋eq\f(2π,3)－eq\r(3)＝eq\f(2π,3)＋eq\r(3).(2)∵函数y＝sinx在x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上是奇函数，∴＝0.(3)函数y＝1＋sinx的图像如图所示，＝S矩形ABCD＝2π.探究三定积分性质的应用[例3]已知eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4)，eq\i\in(1,2,)x3dx＝eq\f(15,4)，eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(7,3)，eq\i\in(2,4,)x2dx＝eq\f(56,3)，求：(1)eq\i\in(0,2,)(3x3)dx；(2)eq\i\in(1,4,)(6x2)dx.[解析](1)eq\i\in(0,2,)(3x3)dx＝3eq\i\in(0,2,)x3dx＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\in(0,1,)x3dx＋\i\in(1,2,)x3dx))＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(15,4)))＝12.(2)eq\i\in(1,4,)(6x2)dx＝6eq\i\in(1,4,)x2dx＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\in(1,2,)x2dx＋\i\in(2,4,)x2dx))＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)＋\f(56,3)))＝126.利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)假如被积函数是几个简洁函数的和的形式，利用定积分的运算性质进行计算，可以简化计算．(2)假如被积函数含有肯定值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算．3．已知eq\i\in(0,e,)xdx＝eq\f(e2,2)，eq\i\in(0,e,)x2dx＝eq\f(e3,3)，求下列定积分的值：(1)eq\i\in(0,e,)(2x＋x2)dx；(2)eq\i\in(0,e,)(2x2－x＋1)dx.解析：(1)eq\i\in(0,e,)(2x＋x2)dx＝2eq\i\in(0,e,)xdx＋eq\i\in(0,e,)x2dx＝2×eq\f(e2,2)＋eq\f(e3,3)＝e2＋eq\f(e3,3).(2)eq\i\in(0,e,)(2x2－x＋1)dx＝2eq\i\in(0,e,)x2dx－eq\i\in(0,e,)xdx＋eq\i\in(0,e,)1dx，因为eq\i\in(0,e,)xdx＝eq\f(e2,2)，eq\i\in(0,e,)x2dx＝eq\f(e3,3)，又由定积分的几何意义知：eq\i\in(0,e,)1dx等于直线x＝0