2024-2025学年新教材高中数学第10章概率10.1.3古典概型课时分层作业含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时分层作业(四十二)古典概型(建议用时：40分钟)一、选择题1．一部三册的小说，随意排放在书架的同一层上，则第一册和其次册相邻的概率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)C[试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}，共6个样本点，事务“第一册和其次册相邻”包含4个样本点，故第一册和其次册相邻的概率为P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).]2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是()A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,5)D[设所取的数中b>a为事务A，假如把选出的数a，b写成一数对(a，b)的形式，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15个，事务A包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).]3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参与演讲竞赛，则甲、乙都当选的概率为()A．eq\f(2,5)B．eq\f(2,10)C．eq\f(3,10)D．eq\f(3,5)C[从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为eq\f(3,10).]4．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(－表示一根阳线，－－表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为()A．eq\f(1,8)B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,8)D．eq\f(1,2)C[从八卦中任取一卦，基本领件总数n＝8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本领件个数m＝3，∴所求概率为P＝eq\f(3,8).故选C．]5．投掷一枚质地匀称的骰子两次，若第一次向上的点数小于其次次向上的点数，则我们称其为正试验；若其次次向上的点数小于第一次向上的点数，则我们称其为负试验；若两次向上的点数相等，则我们称其为无效试验．则一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是()A．eq\f(1,36)B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,2)C[连续抛一枚骰子两次向上的点数记为(x，y)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36个基本领件，设“出现无效试验”为事务A，则事务A包含(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6个基本领件，则P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).]二、填空题6．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9，从中任取三根，能搭成三角形的概率是________．eq\f(3,10)[设取出的三根木棒能搭成三角形为事务A，试验的样本空间Ω＝{(1,3,5),(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)}，样本空间的总数为10，由于三角形两边之和大于第三边，构成三角形的样本点只有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)三种状况，故所求概率为P(A)＝eq\f(3,10).]7．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率为________．eq\f(1,2)[设3件正品为A，B，C,1件次品为D，从中不放回地任取2件，试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个．其中恰有1件是次品的样本点有：AD，BD，CD，共3个，故P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).]8．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按肯定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为________．eq\f(1,3)[用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则试验的样本空间Ω＝{(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，共6个样本点，其中事务B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2个样本点，故所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]三、解答题9．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩嬉戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此嬉戏是否公允？说明你的理由．[解](1)方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12.(2)不公允．甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，甲胜的概率为P1＝eq\f(5,12)，乙胜的概率为P2＝eq\f(7,12)，因为eq\f(5,12)<eq\f(7,12)，所以此嬉戏不公允．10．某学校有初级老师21人，中级老师14人，高级老师7人，现采纳分层随机抽样的方法从这些老师中抽取6人对绩效工资状况进行调查．(1)求应从初级老师、中级老师、高级老师中分别抽取的人数；(2)若从分层随机抽样抽取的6名老师中随机抽取2名老师做进一步数据分析，求抽取的2名老师均为初级老师的概率．[解](1)由分层随机抽样学问得应从初级老师、中级老师、高级老师中抽取的人数分别为3,2,1.(2)在分层随机抽样抽取的6名老师中，3名初级老师分别记为A1，A2，A3,2名中级老师分别记为A4，A5，高级老师记为A6，则从中抽取2名老师的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为15.抽取的2名老师均为初级老师(记为事务B)的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).11．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)D[设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列全部可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的状况)共有12种，故所求概率为eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).故选D．]12．生物试验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,5)B[设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的全部可能状况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的状况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故选B．]13．(一题两空)袋子中放有大小和形态相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)n＝________；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，其次次取出的小球标号为b.记事务A表示“a＋b＝2”，则事务A(1)2(2)eq\f(1,3)[(1)由题意可知：eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)}，共12个，事务A包含的样本点为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．∴P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).]14．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采纳分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②设M为事务“抽取的2名同学来自同一年级”，求事务M发生的概率．[解](1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由(1)知，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以事务M发生的概率P(M)＝eq\f(5,21).15．某探讨性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行探讨，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与试验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差x/℃101113128发芽数y/颗2325302616(1)求这5天发芽数的中位数；(2)求这5天的平均发芽率；(3)从3月1日至3月5日中任选2天，记前面一天发芽的种子数为m，后面一天发芽的种子数为n，用(m，n)的形式列出全部基本领件，并求满意“eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25≤m≤30，,25≤n≤30))”的概率．[解](1)由题意知，发芽数按从小到大的依次排列为16,23,25,26,30，所以这5天发芽数的中位数是25.(2)这5天的平均发芽率为eq\f(23＋25＋30＋26＋16,100＋100＋100＋100＋100)×100%＝24%.(3)用(x，y)表示所求基本领件，则