第一次月考（范围第六章~第八章简单几何体的表面积与体积）

第一次月考（范围:第六章平面向量及其应用~第八章简单几何体的表面积体积）（考试时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·山西大同·高三阶段练习）若复数z满足，其中是虚数单位，则（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据，解得，再由复数模的定义得答案.【详解】由，得，所以.故选：D.2．（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）设向量，且，则（

）A．1 B．1 C． D．【答案】D【分析】利用向量数量积坐标公式列出方程，求出答案.【详解】，解得：.故选：D3．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）设平面向量，，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由两向量平行得出坐标中的，即可求出的值.【详解】由题意，∵，，，∴，解得，∴∴故选：A.4．（2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）的三内角所对边分别为，若，则角的大小（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据余弦定理直接求解即可.【详解】解：由余弦定理得，因为，所以.故选：B5．（2022·广东珠海·高一期末）正四棱台的上､下底面边长分别为，侧棱长为，则棱台的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求棱台的斜高，然后利用侧面积公式进行求解.【详解】由题意，正四棱台的侧面是等腰梯形，且其上､下底面边长分别为，腰长为，所以斜高为.所以侧面积为().故选：B.6．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.【详解】由题可知，∵点F在BE上，∴，∴．∴，．∴．故选：C．7．（2023·全国·高一专题练习）圆柱的高等于球的直径，圆柱的侧面积等于球的表面积，设球的体积为V，则圆柱的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合球与圆柱的体积和表面积公式计算即可求解.【详解】由题意知，设球的半径为R，圆柱底面圆的半径为r，对于球，表面积，对于圆柱，侧面积，因为圆柱的侧面积等于球的表面积，所以，得，则，又，所以.故选：A.8．（2023·全国·高一专题练习）已知A，B，C，D在球O的表面上，为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，计算，，根据勾股定理得到，计算表面积得到答案.【详解】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，是中点，连接，如图所示：，，则，四边形为矩形，，，故，.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022秋·浙江杭州·高一校联考期中）已知复数，则下列说法正确的是（

）A．复数的实部为 B．复数的虚部为 C．复数的共轭复数为 D．复数的模为1【答案】AC【分析】根据复数的定义、共轭复数的定义、复数的模的定义判断各选项．【详解】的实部是，虚部是，共轭复数是，，正确选项为AC．故选：AC．10．（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】直接利用正弦定理进行边换角即可求解.【详解】依题意，因为a＝2bsinA，由正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，所以sinA·(2sinB－)＝0，因为0<A<，0<B<，所以sinA≠0，所以2sinB－＝0，解得sinB＝，所以B＝或.故选：AC.11．（2021·江苏高一期末）已知圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为，，圆台的母线与下地面所成角的正切值为，为上一点，则（）A．圆台的母线长为B．当圆锥的圆锥的体积相等时，C．圆台的体积为D．当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为【答案】BCD【解析】转化求解圆台的母线长判断Q；利用比例关系判断B；求解体积判断C；取得球的表面积判断D．【详解】解：圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，为上一点，，母线，与圆台的母线长为6矛盾，所以A错误；，，B正确；，C正确；设球心到上底面的距离为，则，解得，，，D正确；故选：BCD．12．（2023·高一单元测试）已知向量，，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若在上的投影向量为，则向量与夹角为C．与共线的单位向量只有一个为D．存在，使得【答案】BD【分析】根据向量垂直、向量投影、向量夹角、共线向量、单位向量以及模的运算对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若，则，，A选项错误.B选项，在上的投影向量为，所以，，由于，所以，B选项正确.C选项，与共线的单位向量可以是，即和，所以C选项错误.D选项，若，则，，，，其中，所以，由于，，则当时，，所以存在，使得，D选项正确.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2023·全国·高一专题练习）与向量共线的单位向量是_________．【答案】或【分析】利用与共线的单位向量为或求解即可.【详解】因为，所以，所以与向量共线的单位向量为或，故答案为：或.14．（2022·上海普陀·二模）若复数在复平面内对应的点为，则________.【答案】##【解析】【分析】由复数对应点写出复数，再应用复数的除法化简即可.【详解】由题设，，故.故答案为：15．（2023·全国·高一专题练习）已知一个圆柱和一个圆锥同底等高，且圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为___________.【答案】【分析】利用勾股定理及圆的面积公式，结合圆柱圆锥的侧面积公式即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，所以圆柱的侧面积为.由题意可知，圆锥的底面周长为，母线长为，所以圆锥的侧面积为.所以圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为.故答案为：.16．（2021春·四川成都·高一统考期中）如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为______m【答案】【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】由题，作出空间图形如下，则有,因为到达B处仰角为45°，所以，在中，，由正弦定理可得解得m，所以m，故答案为:.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2023·高一课时练习）已知，且（i是虚数单位），求a，b的值．【答案】或.【分析】利用复数的乘法和复数相等的条件列方程组即可解得.【详解】因为，且，所以，所以，解得：或.18．（2023·高一课时练习）正三棱柱侧面展开图是边长为2和4的矩形，求它的表面积．【答案】或【分析】根据已知分两种情况来找三棱柱的底面积和高，再代入表面积计算公式即可.【详解】因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形,所以有以下两种情况：当2是下底面的周长，4是正三棱柱的高时，正三棱柱的表面积为；当4是下底面的周长，2是正三棱柱的高时，正三棱柱的表面积为；故答案为：或.19．（2018春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）在矩形中，，，于，，为中点.(1)求；(2)验证：、、是否三点共线.【答案】(1)(2)向量法可证：、、三点共线【分析】（1）利用已知条件，结合三角函数和勾股定理，可求；（2）利用向量共线，证明三点共线.【详解】（1）矩形中，，，则，和中，，，，，，（2），，则有，有公共点，所以、、三点共线.20．（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）如图，在中，BC、CA、AB的长分别为.（1）求证：；（2）若，试证明为直角三角形.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）用向量方法证明，由，两边同乘以，再利用向量数量积公式，即可得证；（1）证法一：，结合向量数量积公式即可得证；证法二：已知等式转化为三角形边角关系，再结合（1）的结论，即可得证.【详解】（1）∵，

∴

∴

∴

（2）,由得，，

∴△ABC为直角三角形.

证法二：由（1）类似可证得：（*）

由得，即：，∴，结合（*）式得，∴，∴△ABC为直角三角形.【点睛】本题考查向量在三角形中的应用，考查等价转换思想，属于中档题.21．（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）已知的坐标分别为.(1)若三点共线，求角的值；(2)若，且四边形为平行四边形，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三点共线可得，化简求得，结合即可求解；（2）由四边形为平行四边形，可得，采用坐标运算进行代换，可得关于的表达式，再结合辅助角公式和正弦函数的性质即可求解的范围【详解】（1）∵三点共线，∴，又，，∴，，又，∴.（2）∵四边形为平行四边形，∴，而，∴，，∴，，所以，因为，所以，则，所以，即的取值范围为.22．（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）的内角的对边分别为,已知．(1)求;(2)若为的中点,,求的面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定