专题27-2022年江苏高考数学满分限时题集

专题27大题限时练271．在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目．设首项为2的数列的前项和为，前项积为，且_______．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】见解析【详解】（1）选①，（1）可得，则数列是首项为2，公差为1的等差数列，则，可得；选②，可得时，，成立；当时，，又，两式相减可得，化为，则；选③，可得，即有，即，则；（2），当为偶数时，数列的前项和为；当为奇数时，数列的前项和为．所以．2．如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面，，，为的中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：连接，，由题意得平面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，，，，0，，，，，，0，，，，，，，0，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，，平面，平面．（2），，，，，0，，，设平面的法向量，，，则，取，得，，，设平面的法向量，，，则，取，得，，，设二面角的平面角为，则，．二面角的正弦值为．3．已知函数同时满足下列3个条件中的2个个条件依次是：①的图象关于点，对称；②当时，取得最大值；③0是函数的一个零点．（1）试写出满足题意的2个条件的序号，并说明理由；（2）求函数的值域．【答案】见解析【详解】（1）满足条件为①③，由条件①，的图象关于点，对称；故，整理得，由于，故，由条件②，当时，取得最大值；故，整理得，由于，故，由条件③，0是函数的一个零点，故，由于，故．故满足条件的序号为①③．（2）由（1）得：，故函数．由于，故，．4．面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为（单位：．（1）现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于的有3个，若从中随机抽取4个，记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的概率分布及数学期望；（2）若新机床生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于的概率．参考数据：若，则，，，，．【答案】见解析【详解】（1）由题意可知：的可能取值为0，1，2，3，，3，，，，，．可得的分布列为：0123．或根据：，3，，．（2）设“至少有一个零件直径大于”为事件，，，，，，（A），答：至少有一个零件直径大于的概率为0.2056．5．在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比为定值．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作互相垂直的两条直线，，其中交动点的轨迹于，两点，交圆于，两点，点是线段的中点，求面积的最小值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）设，因为动点到定点的距离与到定直线的距离之比为定值，所以，即，整理可得，所以动点的轨迹的方程为；（2）①若直线的斜率不存在，则，，所以的面积为；②若直线的斜率存在，且不为0，设为，则，与双曲线方程联立，消去可得，，设，，，，则，则，直线，即，所以，且，解得，所以的面积为，令，则，所以的最小值为，即面积的最小值为．6．已知函数为自然对数的底数）．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）证明：对任意实数，函数有且只有一个零点．【答案】（1），；（2）见解析【详解】（1）解：，则，因为函数在上为增函数，所以在上恒成立，设，，当时，，在上单调递增，则，解得；当时，令，解得，则当，时，，单调递减，当，时，，单调递增，所以，解得，综上，实数的取值范围是，．（2）证明：，，①当时，时，，，，单调递减，又