专题25不定方程（解析）

20222023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义专题25不定方程知识精讲知识精讲当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：x＝2.4x＝2.7x＝3.06x＝3.6y＝1y＝1.5y＝2.1y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。典例分析典例分析【典例分析01】求3x+4y＝23的自然数解。先将原方程变形，y＝EQ\F(23－3x,4)。可列表试验求解：X1234567Y5×××2××所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1x=5Y=5y=2【典例分析02】求下列方程组的正整数解5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。5x+7y+3z＝25=1\*GB3①3x－y－6z＝2=2\*GB3②由=1\*GB3①×2+=2\*GB3②，得13x+13y＝52X+y＝4=3\*GB3③把=3\*GB3③式变形，得y＝4－x。因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入=1\*GB3①或=2\*GB3②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。x＝2，y＝2时，z也无正整数解。x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为x＝1y＝1z＝1【典例分析03】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。设大盒子有x个，小盒子有y个，则12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）y＝（99－12y）÷5经检验，符合条件的解有：x＝2x＝7y＝15y＝3所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。【典例分析04】买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得：4x+3y+2×（30－x－y）＝82x＝10－EQ\F(y,2)由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：苹果987654321橘子24681012141618梨191817161514131211【典例分析05】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。则6x+3y+2z＝22=1\*GB3①9x+4y+z＝22=2\*GB3②由=2\*GB3②×2－=1\*GB3①，得12x+5y＝22y＝EQ\F(22－12x,5)x＝1x只能取1。Y＝2，代入=1\*GB3①得z＝5，原方程的解为y＝2z＝5所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。真题演练真题演练一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2022•永济市）有一些6厘米和7厘米长的小棒，从中取出一些接在一起不能得到的长度（）A．29厘米 B．30厘米 C．31厘米【思路点拨】由于小棒的长为6厘米和7厘米两种，则共4根时，长度在24厘米和28厘米之间；共5根时，长度在30厘米和35厘米之间，依此即可求解。【规范解答】解：30＝6+6+6+6+631＝6+6+6+6+732＝6+6+6+7+7只有29不行。故选：A。【考点评析】本题主要考查了数字和问题，注意本题小棒的根数为整数，依此可得小棒接起来长度的区间。2．（2分）（2020秋•乌兰察布期末）一个28人的旅游团到租车公司租车。小汽车限坐4人，商务车限坐6人，如果每辆车都坐满，那么旅游团要租（）A．5辆小汽车和2辆商务车 B．4辆小汽车和2辆商务车 C．3辆小汽车和3辆商务车【思路点拨】根据题意，利用“小汽车限坐4人，商务车限坐6人”，而且“每辆车都坐满”，根据总人数及选项租车方案，利用尝试法找到符合题意的答案即可。【规范解答】解：A、5×4+2×6＝32（人），不符合题意；B、4×4+2×6＝28（人），符合题意；C、3×5+3×6＝33（人），不符合题意。故选：B。【考点评析】本题关键利用尝试法解答，找到符合题意的租车方案。解答本题也可列方程。3．（2分）（2020秋•雨花区校级期中）用一辆载质量2吨和一辆质量3吨的卡车运沙石，如果每次每辆车都装满，怎样可以恰好运完8吨？（）A．载质量2吨的车运4次 B．载质量2吨的车运1次，载质量3吨的车运2次 C．A或B都行【思路点拨】根据A、B选项中的运法，分别计算出可以运多少吨的沙石，刚好等于8吨的，即为符合题意的运法，据此求解即可。【规范解答】解：A、载质量2吨的车运4次，可以运的沙石的质量是：4×2＝8（吨），所以A的方法可以；B、载质量2吨的车运1次，载质量3吨的车运2次，可以运的沙石的质量是：2×1+3×2＝8（吨），所以B的方法也可以；所以A或B都行。故选：C。【考点评析】解决本题的关键是根据沙石的总吨数和每辆卡车的载质量之间的关系做题。4．（2分）（2013•宝山区模拟）已知与都是方程y＝kx+b的解，则k与b的值为（）A．，b＝﹣4 B．，b＝4 C．，b＝4 D．，b＝﹣4【思路点拨】把已知的这两组解分别代入方程y＝kx+b中，即可得出一个关于k和b的二元一次方程组，据此解这个方程组即可．【规范解答】解：把与分别代入方程y＝kx+b中，可得：，由①﹣②，可得：6k＝3，所以k＝，把k＝代入方程①可得：4×+b＝﹣2，所以b＝﹣4，故：k＝，b＝﹣4．故选：A．【考点评析】此题主要考查利用加减消元法解方程组的方法，关键是把x、y的值代入原方程中，得出关于k和b的方程组．5．（2分）（2021秋•莱阳市期末）超市有4支装和6支装不同包装的碳素笔，小明想买36支，有（）种不同的买法。A．3 B．4 C．5【思路点拨】把36分成4的倍数与6的倍数的和，找出正好是36支的全部可能，从而解决问题。【规范解答】解：36＝4×9＝4×6+6×2＝4×3+6×4＝6×6所以买9盒4支装或6盒4支装和2盒6支装或3盒4支装和4盒6支装或6盒6支装。答：有4种不同的买法。故选：B。【考点评析】本题主要考查了整数的拆分，把36分成4的倍数和6的倍数相加的和是解答的关键。二．填空题（共7小题，满分14分，每小题2分）6．（2分）（2021秋•即墨区期末）学校组织学生去实践基地。五年级有360人，大客车每辆坐45人，小客车每辆坐30人，恰好没有空位，有5种不同的安排方法。【思路点拨】根据总人数以及大客车和小客车每辆车坐的人数，将360拆分成含有45和30的乘加算式，据此解答即可。【规范解答】解：360＝45×8，即租8辆大客车；360＝45×6+30×3，即租6辆大客车3辆小客车；360＝45×4+30×6，即租4辆大客车6辆小客车；360＝45×2+30×9，即租2辆大客车9辆小客车；360＝30×12，即租12辆小客车；综上，一共有5种不同的安排方法。故答案为：5。【考点评析】本题主要考查了用列举法解答租车优化问题的灵活应用。7．（2分）（2022秋•莱山区期末）31人住旅馆，有3人间和2人间若干。如果每间房都要住满，有5种不同的安排方案。【思路点拨】根据题意，将31拆分成含有数字3和2的乘加算式，据此即可得出有几种不同的安排方案。【规范解答】解：31＝3×9+2×2，即9间3人间2间2人间；31＝3×7+2×5，即7间3人间5间2人间；31＝3×5+2×8，即5间3人间8间2人间；31＝3×3+2×11，即3间3人间11间2人间；31＝3×1+2×14，即1间3人间14间2人间；共有5种不同的安排方案。故答案为：5。【考点评析】本题考查了解决实际问题的灵活应用，关键是把31拆分成含有数字3和2的乘加算式。8．（2分）（2022•高淳区）某蛋糕店采用发放号牌的方式销售蛋糕，同一批次只发放4个号牌（每人限领1个号牌），每个号牌最多购买3盒蛋糕、最少购买1盒蛋糕（每盒里有3个蛋糕）。要保证同一批次的人都能买到所需要的蛋糕，蛋糕店每批次至少要准备21个蛋糕。【思路点拨】要求每批次至少要准备的蛋糕数，其中有1人买3盒，1人买2盒，2人各买1盒。【规范解答】解：3+3+3×2+3×3＝6+6+9＝21（个）答：蛋糕店每批次至少要准备21个蛋糕。故答案为：21。【考点评析】求出不定方程的特殊解是解决本题的关键。9．（2分）（2022秋•潍坊期末）一种巧克力有4块装和6块装两种包装方式，要购买这种巧克力26块，有2种不同的买法。【思路点拨】假设6块装的买x包，4块装的买y包，则根据题意，得到不定方程6x+4y＝26，然后根据数的奇偶性讨论，只要x、y是自然数，即可得解。【规范解答】解：假设6块装的买x包，4块装的买y包，根据题意可得，6x+4y＝26    y＝要使y的值为自然数，13﹣3x为偶数，即x的值必须是奇数，当x＝1时，y＝（13﹣3×1）÷2＝5；当x＝3时，y＝（13﹣3×3）÷2＝2；当x＝5时，y＝（13﹣3×5）÷2为负数（不符合要求）；答：共有2种不同的买法。故答案为：2。【考点评析】此题考查了学生用解方程的方法解决问题的能力。10．（2分）（2021秋•滨城区期末）元旦联欢会需要购买48米长的彩带装饰教室。现有4米一根和6米一根的彩带两种，共有5种不同的买法。如果4米的买3根，6米的就应该买6根。【思路点拨】设4米的x根和6米y根，根据总长等于48，列出方程分析；再把x＝3代入求出y即可。【规范解答】解：（1）设4米的x根和6米y根，4x+6y＝48y＝当x＝0时，y＝8，符合题意；当x＝1时，y＝，不符合题意；当x＝2时，y＝，不符合题意；当x＝3时，y＝6，符合题意；当x＝4时，y＝，不符合题意；当x＝5时，y＝，不符合题意；当x＝6时，y＝4，符合题意；当x＝7时，y＝，不符合题意；当x＝8时，y＝，不符合题意；当x＝9时，y＝2，符合题意；当x＝10时，y＝，不符合题意；当x＝11时，y＝，不符合题意；当x＝12时，y＝0，符合题意；所以有5种买法符合题意。答：共有5种不同的买法。（2）（48﹣4×3）÷6＝36÷6＝6（根）答：如果4米的买3根，6米的就应该买6根。故答案为：5；6。【考点评析】本题主要考查了不定方程的分析求解，解题的关键是根据题意列出方程，注意根数为整数。11．（2分）（2021秋•涿鹿县校级期末）王老师要买56支钢笔做奖品，同样的钢笔有4支装和6只装两种不同的包装，王老师共有5种不同买法。【思路点拨】根据题干分析可得，可设4支装的买了x盒，6支装的买了y盒，根据题意可得方程4x+6y＝56，因为要整包装的买，所以x、y都是整数，据此分析即可解答。【规范解答】解：设4支装的买了x盒，6支装的买了y盒，根据题意可得方程：4x+6y＝56方程可以变形为：y＝因为要整包装的买，所以x、y都是整数，所以56﹣4x必须是6倍数，则x可以是2、5、8、11、14，当x＝2时，y＝8，当x＝5时，y＝6，当x＝8时，y＝4，当x＝11时，y＝2，当x＝14时，y＝0。答：王老师共有5种不同买法。故答案为：5。【考点评析】解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系列出方程，根据x、y都是整数进行合理分析得出结论。12．（2分）（2021秋•栖霞市期末）29人住旅馆，有3人间和2人间若干，每间房住满，有5种不同的安排。【思路点拨】设住x个3人间，y个2人间，因为每间房住满，所以可得：3x+2y＝29，由此求出这个方程有几组整数解就有几种不同的安排方法。【规范解答】解：设住x个3人间，y个2人间，根据题意可得方程：3x+2y＝29，方程可以变形为：y＝因为x、y都是整数，29﹣3x必须是偶数，根据奇数﹣奇数＝偶数的性质可知：3x应是奇数，且3x≤29，又因为奇数×奇数＝奇数，所以x的值应是奇数，所以当x＝1时，y＝13；当x＝3时，y＝10；当x＝5时，y＝7；当x＝7时，y＝4；当x＝9时，y＝1；综上所述符合题意的x、y的整数解共有5组，所以共有5种不同的安排方法。答：有5种不同的安排。故答案为：5。【考点评析】本题主要考查了利用不定方程的整数解，解决实际问题的灵活应用，这里要注意讨论x、y的取值。三．应用题（共7小题，满分31分）13．（4分）（2021•和平区）用载重5吨和3吨的大小卡车往城市运39吨蔬菜。大卡车和小卡车各用几辆正好一次运完？【思路点拨】用要运的蔬菜的重量除以大卡车每辆每次运的重量，求出大卡车的最多的辆数，然后列表列举即可。【规范解答】解：39÷5＝7（辆）……4（吨）大卡车（辆）小卡车（辆）总吨数72416339554047413839210401124101339答：大卡车6辆和小卡车3辆，或大卡车3辆和小卡车8辆，或小卡车13辆都能正好一次运完。【考点评析】本题考查了利用列表法解决不定方程问题，关键是求出大卡车辆数的范围。14．（4分）（2019秋•顺庆区期末）学校有26位老师周末开轿车下乡扶贫，轿车准载人数有7座和5座两款．如果每辆车都坐满，7座和5座的车各需要几辆？【思路点拨】学校有26位老师，乘坐7座的最多有3辆，然后按7座的有3、2、1、0辆，在确定5座的辆数即可解决问题。【规范解答】解：方案7座5座人数①3126②2329③1427④0630答：7座需要3辆；5座的车需要1辆。【考点评析】此题考查了利用列举法解不定方程问题的方法的灵活应用。也可列不定方程解答：解：设7座的有x辆，5座的有y辆，7x+5y＝26y＝所以分子的末尾数字只能是5或0；x＝3，则y＝＝1答：7座需要3辆；5座的车需要1辆。15．（4分）（2022秋•长沙县期末）参加青少年冬令营的43名同学入住宾馆，宾馆有三人间和两人间（不能空床）。怎样给同学们安排房间最合适？请你写出至少两种方案。【思路点拨】方案一：三人间13间，二人间2间；方案二：三人间11间，二人间5间；方案三：三人间9间，二人间8间。【规范解答】解：方案一：三人间13间，二人间2间，能住同学：3×13+2×2＝43（名）方案二：三人间11间，二人间5间，能住同学：3×11+2×5＝43（名）方案三：三人间9间，二人间8，。能住同学：3×9+2×8＝43（名）【考点评析】明确各种方案是解决本题的关键。16．（4分）（2022秋•东城区期末）20人去公园划船。每条大船限坐5人，每条小船限坐3人。一共有几种租船方案？请你在表格中填一填、算一算。方案大船/条小船/条可坐人数①②③④⑤如果每条船都坐满，没有空位，有2种租船方案。【思路点拨】租船尽量满座或少空座，一般情况下多租大船。方案一租大船4条，坐20人；方案二租大船3条，小船2条，可坐21人；方案三租大船2条小船4条可坐33人；方案四租大船1条，小船5条可坐20人；方案五租小船7条可坐21人。【规范解答】解：填表如下：方案大船/条小船/条可坐人数①4020②3221③2422④1520⑤0721如果每条船都坐满，没有空位，有2种租船方案。故答案为：2。【考点评析】明确租船原则，合理搭配是解决本题的关键。17．（5分）（2021秋•萧山区期末）一堆重45吨的沙子，安排两种载质量的货车运送。大车每次运9吨，小车每次运6吨。如果每次运沙的车子都装满，怎样安排恰好运完？（写出所有符合条件的方案）【思路点拨】根据沙子的总吨数、大车每次运的吨数和小车每次运的吨数确定方案即可。【规范解答】解：方案一：45＝5×9，即用大车运5次；方案二：45＝1×9+6×6，即用大车运1次、小车运6次；方案三：45＝3×9+3×6，即用大车运3次、小车运3次。答：用大车运5次或大车运1次、小车运6次或大车运3次、小车运3次。【考点评析】根据沙子的总吨数、大车每次运的吨数和小车每次运的吨数确定方案是解答此题的关键。18．（5分）（2021•宁波模拟）学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，分别需要多少间大、小房间，才能正好将66名新生安排住下？【思路点拨】学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，经分析可知，设需要x间大的，y间小的房间。则得7x+4y＝66。因为4y为偶数，而66也是偶数，故7x也为偶数，所以当x＝2时，4y＝66﹣14，y＝13；当x＝4时，4y＝66﹣28，则y没有满足要求的解；当x＝6时，4y＝66﹣42，y＝6；当x＝8时，4y＝10，则y没有满足要求的解。进而总结获得最终的x和y即可。【规范解答】解：经分析可知：（1）当x＝2时，4y＝66﹣14，y＝13；（2）当x＝6时，4y＝66﹣42，y＝6。所以需要2大、13小个房间或者6大、6小个房间才能正好将66名新生安排住下。答：需要2大、13小个房间或者6大、6小个房间才能正好将66名新生安排住下。【考点评析】本题考查不定方程的分析求解。可以结合奇偶性，减少分类次数。19．（5分）（2019春•上海月考）单位职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带了一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工？【思路点拨】设出未知数；设有男职工x人，女职工y人，则孩子有人，根据共种了216棵树列方程解答即可．【规范解答】解：设有男职工x人，女职工y人，则孩子有人，依题意得：13x+10y+6×＝216即：5x+4y＝72所以5x＝4×（18﹣y）由上式可以看出5x是4的倍数，5与4的最大公约数是1，则x是4的倍数．当x＝4时，y＝13，不是整数，应舍去；当x＝8时，y＝8，不是整数，应舍去；当x＝12时，y＝3，＝5，即男职工12人，女职工3人，小孩5人．当x＞12时，y无解．可见，男职工有12人答：男职工有12人．【考点评析】此题有一定难度，考查了学生对含有两个未知数的方程进行分析与解答的能力．四．解答题（共9小题，满分45分，每小题5分）20．（5分）（2021秋•青云谱区期末）有50人去划船，大船每条可坐6人，小船每条可坐4人。如果每条船都坐满，可以怎样租船？（写出一种符合条件的方案即可）【思路点拨】由于50不是6、4的倍数，所以要想都坐满没有空座，不能只租大船或小船，要两种船都租，然后把50拆分几个6与几个4的和即可。【规范解答】解：答案不唯一因为50＝6×7+4×2，所以可以租7条大船和2条小船。【考点评析】根据需乘坐人数，两种船的限载人数两个方面进行分析是完成本题的关键。21．（5分）（2020秋•吴兴区期末）两种盒子都可以用来装牛奶。如果要把28瓶牛奶都装到盒子中，而且每盒都装满，可以怎样装？（写出所有符合要求的装法）【思路点拨】根据牛奶的总盒数，以及每盒装的瓶数，把28拆分成含有数字4和6的乘加算式即可解题。【规范解答】解：28＝4×7，即装7个小盒；28＝4×4+6×2，即装4个小盒2个大盒；28＝4×1+6×4，即装1个小盒4个大盒。答：可以装7个小盒、4个小盒2个大盒或1个小盒4个大盒。【考点评析】作答此题时要认真分析，理清数量之间的关系，进而进行计算，得出结论。22．（5分）（2021秋•合阳县期中）15名同学组织国庆节放假期间去游乐园划船。游乐园有大小两种船型，大船限坐5人，小船限坐3人。如果每条船都坐满，可以怎样租船？【思路点拨】每条船都坐满，即不能有空座，根据坐船的总人数与大船和小船可以乘坐的人数，确定坐船的方案即可。【规范解答】解：方案一：15＝5×3，即租3条大船。方案二：15＝3×5，即租5条小船。答：可以租3条大船或租5条小船。【考点评析】抓住题干中的大小两个船的人数不同，把总人数15进行拆分，即可解决此类问题。23．（5分）（2019秋•涧西区期末）你玩过抱团游戏吗？游戏规则：可6人抱一堆，也可4人抱一堆．如果有38人，怎样抱团刚好一人也不剩下．请用自己的方式找出所有可能的方案，做到不重复、不遗漏．【思路点拨】设6人的有x堆，4人的有y堆；根据共有38人，可得不定方程6x+4y＝38，然后求出不定方程的整数解即可．【规范解答】解：设6人的有x堆，4人的有y堆，可得不定方程，6x+4y＝38y＝x必须是奇数，如果x＝1，则y＝8；如果x＝3，则y＝5；如果x＝5，则y＝2；答：6人的有1堆，4人的有8堆；或6人的有3堆，4人的有5堆；或6人的有5堆，4人的有2堆．【考点评析】此题考查了利用不定方程的整数解解决实际问题的方法的灵活应用，这里要注意解方程时，要考虑x的取值情况，这是求不定方程的整数解常用的解题方法．24．（5分）（2022•沈阳模拟）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子。动点P、Q同时从点A出发，点P沿A～B～C～D方向以每秒2cm的速度运动，到点D停止；点Q沿A～D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止。P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2。（1）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x的值。（2）求当x＝时y的值。（3）在橡皮筋从触及钉子到运动停止的过程中，直接写出∠POQ为直角时x的数值。【思路点拨】（1）当橡皮筋刚好触及钉子时，橡皮筋在经过O点的直线上，P点在线段BC上，线段PC与线段AQ相等，据此列方程可求出x的值；（2）如图，延长线段QO与线段BC相交于Q′，则梯形ABQ′Q面积是正方形ABCD面积的一半，三角形OPQ′的底等于PQ′，高是正方形边长的一半，据此已知x＝，即能求出y的值；（3）P运动到C点，Q运动到D点，两点运动的时间相同，∠POQ也就是∠COD为直角。【规范解答】解：（1）2×2﹣2x＝x3x＝4x＝答：当橡皮筋刚好触及钉子，x＝。（2）2×2÷2+[×1﹣（2×2﹣2×）]×（2÷2）÷2＝2+[﹣]×0.5＝2+0.5＝2.5（平方厘米）答：当x＝时，y＝2.5。（3）∠POQ为直角时，x＝2。【考点评析】解答此题的关键在于掌握经过对称中心点的直线把正方形分成两个形状和大小都相同的梯形。25．（5分）（2021秋•威宁县期末）一次夏令营活动有21位学生参加，请你安排住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有多少种不同的安排？（填表并找出答案）3人间2人间答：