第4讲比例（教师版）（知识梳理典例分析举一反三巩固提升）人教版

第4讲比例知识点一：比例的意义和基本性质1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。

2.判断两个比能否组成比例的方法：根据比例的意义，看两个比的比值是否相等，相等就能组成比例。3.组成比例的四个数，叫做比例的项。在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。

4.在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。用字母表示为：如果a∶b=c∶d（b，d均不为0），那么ad=bc。5.解比例的意义：求比例中的未知项，叫做解比例。

6.解比例的方法：根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为外项之积与内项之积相等的等式，再通过解方程求出未知项的值。

7.解分数形式的比例的方法：先交叉相乘把比例式改写成等积式，再通过解方程求出未知项的值。

知识点二：正比例和反比例1.像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。2.判断两个量是否成正比例关系的基本步骤：首先判断两个量是不是相关联的量。然后再看两个量的商是否为定值。

3.正比例图象的特点：正比例关系的图象是一条直的线。从图象中可以直观地看到相对应两种量的变化情况。不用计算，由一种量的值可以直接找到相对应的另一种量的值。4.反比例的意义：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。5.判断两个量是否成反比例关系的基本步骤：①首先判断两个量是不是相关联的量。②然后再看两个量的积是否为定值。知识点三：比例的应用1.比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

2.比例尺的分类：比例尺按表现形式分为数值比例尺和线段比例尺，按作用的不同分为缩小比例尺和放大比例尺。3.根据图上距离和实际距离求比例尺：已知图上距离和实际距离，求比例尺，先统一单位，再写出图上距离与实际距离的比，然后化简。

4.已知比例尺和图上距离，求实际距离的常用方法：

①可以根据“图上距离∶实际距离=比例尺”列比例解答。

②利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。5.应用比例尺画平面图时，先要根据比例尺和实际距离求出图上距离，再根据图上距离画出相应的位置，并标明比例尺。6.图形的放大与缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得的图形与原来的图形相比，形状相同，大小不同。7.在方格纸上画出按一定的比将图形放大或缩小后的图形的方法：

一看：看原图各边占几格；

二算：计算按一定的比把图形放大或缩小后得到的新图形的各边占几格。

三画：按计算后得到的新图形的边长画出新图形。8.用正比例知识解决问题的步骤：

①根据不变量判断题中哪两种相关联的量成正比例。

②找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例。

③解比例。

④检验并写出答语。

9.用反比例知识解决问题的步骤：

①根据不变量判断题中哪两种相关联的量成反比例关系。

②找出两组相对应的数，并设出未知数，列出方程。

③解方程。

④检验并写出答语。考点一：比例的意义和基本性质例1．在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。例如：在比例2.4：1.6＝6：4里，2.4×4＝9.6，1.6×6＝9.6，即：2.4×4＝1.6×6。（1）再例如：在比例4：12＝5：15里，4×15＝60，12×5＝60，即：4×15＝12×5。（2）应用比例的基本性质，还可以判断两个比能否组成比例。下面的两个比可以组成比例的在横线上打“√”，不可以的打“×”。6：3和8：5×；：和：√。（3）根据比例的基本性质，还可以解比例。请你解比例。0.4：x＝1.2：2＝【分析】（1）根据比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。据此解答。（2）应用比例的基本性质，还可以判断两个比能否组成比例。分别计算求出两内项的积和两外项的积，如果相等，就说明两个比能组成比例，否则就不能组成比例。（3）根据解比例的方法，未知内项＝，未知外项＝，据此解答。【解答】解：（1）在比例4：12＝5：15里，4×15＝6012×5＝60即4×15＝12×5（2）①因为6×5≠3×8，所以6：3号8：5不能组成比例。②因为＝，所以：和：能组成比例，即：＝：。（3）0.4：x＝1.2：21.2x＝0.4×2x＝x＝＝12x＝2.4×3x＝x＝0.6故答案为：4、5、60，12、5、60，4、15、12、5。×，√；【点评】此题考查的目的是理解掌握比例的基本性质、解比例的方法及应用。1．如果5a＝7b，那么a：b＝7：5；＝。【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积列出比例式，即可进行解答。【解答】解：5a＝7b，所以可把a、5当成两个外项，b、7当成两个内项构成比例a：b＝7：5；则＝。故答案为：7，5；5，7。【点评】此题主要考查了学生根据比例的基本性质构成比例的能力。2．（1）如果a：b＝4：9，那么9×a＝4×b．如果＝，那么7×x＝5×y．（2）4：3＝8：6；＝（3）在比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是0.5，另一个内项是2．【分析】（1）根据比例的基本性质，a：b＝4：9可以变形为：9a＝4b，＝可以变形为7x＝5y；（2）根据比例的基本性质，外项的积是24，内项可以是1和24或2和12或3和8，可得4：3＝8：6（答案不唯一）；外项的积是72，内项可以是1和72或2和36或3和24或4和18或6和12，可得＝（答案不唯一）；（3）根据比例的基本性质，两个外项互为倒数，就是两个外项的积是1，其中一个内项是0.5，因为2×0.5＝1，所以另一个内项是2．【解答】解：（1）如果a：b＝4：9，那么9×a＝4×b．如果＝，那么7×x＝5×y．（2）4：3＝8：6（答案不唯一），＝（答案不唯一）；（3）根据比例的性质可知两个内项互为倒数，那么两个外项也互为倒数，两个外项的积是1，其中一个内项是0.5，因为2×0.5＝1，所以另一个内项是2．故答案为：9，a，4，b，7，x，5，y，3，8，4，18，2．【点评】此题主要考查比例的基本性质及倒数的意义．解题的关键是掌握把给出的比例式改写成等式的方法，在改写时，要熟记比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积．3．根据下面的条件列出比例，并且解比例．（1）18与x的比等于6与5的比．（2）x与10的比等于6与的比．（3）最大的一位数与最小的质数的比等于x与的比．【分析】（1）根据比例的意义即可列出比例18：x＝6：5．根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程6x＝18×5，再根据等式的性质，方程两边都除以6即可得到这个比例的解．（2）同理可列出比例x：10＝6：．同理化成一般方程x＝10×6，再根据等式的性质，方程两边都除以即可得到这个比例的解．（3）最大的一位数是9，最小的质数是2，根据比例的意义即可列出比例9：2＝x：．同理化成一般方程2x＝9×，再根据等式的性质，方程两边都除以2即可得到这个比例的解．【解答】解：（1）18：x＝6：56x＝18×56x÷6＝18×5÷6x＝15．（2）x：10＝6：x＝10×6x÷＝10×6÷x＝90．（3）9：2＝x：2x＝9×2x÷2＝9×÷2x＝．【点评】解比例时，先根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程，然后再根据解方程的方法解答．考点二：正比例和反比例例2．同学们探究“杠杆原理”背后隐藏的数学原理，做了如下实验：左边在刻度4上放3个砝码并保持不变，右边刻度及放砝码数如图所示，此时两边保持平衡。思考：右边分别在其余刻度上放几个砝码才能保证平衡呢？请你把表格补充完整。右刻度1234所放砝码数63乘积从表中你发现刻度数和所放砝码数成什么比例关系？为什么？【分析】由图可知：左边在刻度4上放3个砝码；右边6个砝码，2个刻度，右边4个砝码，3个刻度；此时天平平衡；3×4＝6×2＝4×3＝12；即当天平的左右的乘积都是12时，天平会平衡，由此求解。【解答】解：天平左边：3×4＝12这样右边的砝码数和刻度数的乘积是12时天平平衡；表格如下：右刻度1234所放砝码数12643乘积12121212答：反比例。因为刻度数和所放法码数的乘积一定，都是12，积一定，所以两个因数成反比例。【点评】解决本题关键是找出天平平衡时，天平左右两边刻度数和所放法码数之间的关系，再根据这个关系求解。1．一列动车匀速行驶时，经过时间与所行路程的情况如下表：时间/分钟246810…路程/千米1020304050…（1）这列车匀速行驶时，速度为每分5千米，行驶的路程和时间成正比例。（2）把表中路程和时间所对应的点描在如图方格纸上，再顺次连接起来。（3）观察图像，列车行驶到14分时可以行驶70千米。（4）某两站相距约60千米，根据图像估计这列车需要行驶12分钟。【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”10÷2＝5（千米/分）、20÷4＝5（千米/分）、30÷6＝5（千米/分），即速度一定，根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，由此即可判定路程和时间成正比例；（2）根据统计表所提供的数据，在图中描出表示时间及所对应的路程的点，依次连接即可；（3）过横轴上表示14分钟的点，用横轴的垂线，垂线与表示距离的横线的交点即表示路程或可根据“路程＝速度×时间”计算出路程；（4）根据列车行驶的速度，即可估计列车行驶需要几分钟。【解答】解：（1）10÷2＝5（千米/分）、20÷4＝5（千米/分）、30÷6＝5（千米/分），即速度为每分5千米，速度一定，这两种量中相对应的两个数的比值一定，所以路程和时间成正比例；（2）在图中画出各点并连接，如图：（3）从图中可得出，列车行驶到14分时可以行驶70千米；（4）根据图像估计这列车行驶60千米需要行驶12分钟。故答案为：（1）5，正；（2）；（3）70；（4）12。【点评】此题考查的知点有：根据统计表示所提供的数据完善统计表；根据统计表示所提供的数据绘制折线统计图；正、反比例的判定；根据统计表（图）提供的数据解决实际问题。2．笑笑和小力借助表格和画图的方法探究，当梯形的上底和下底长度不变，梯形的面积和高之间的关系。梯形的上底和下底长度不变，也就是上底、下底长度的和不变，那么梯形的面积和高之间的关系如下表。梯形的面积（m2）0246810……梯形的高（m）012345……（1）在图中描出梯形面积与对应高的点，并连线。（2）当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积与梯形的高成正比例关系，理由是根据梯形面积公式“梯形面积＝（上底+下底）×高÷2”可得：梯形面积÷高＝（上底+下底）÷2，上底和下底长度不变时，（上底+下底）÷2的值不变，梯形面积和高成正比例关系。（3）根据表格呈现的数据，这个梯形的上底与下底的和是4m。（4）梯形的上、下底之和不变，当梯形的高是7m时，对应的梯形的面积应该是14m2。【分析】（1）根据统计表中数据描点连线，填补图形；（2）根据比值一定的两个量成正比例关系判定即可；（3）根据梯形面积公式的变化形式计算；（4）可以统计图中对应位置寻找答案。【解答】（1）根据题意作图如下：（2）当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积与梯形的高成正比例关系；理由是根据梯形面积公式“梯形面积＝（上底+下底）×高÷2”可得：梯形面积÷高＝（上底+下底）÷2，上底和下底长度不变时，（上底+下底）÷2的值不变，梯形面积和高成正比例关系。（3）当梯形的高是5m时，面积是10m²，10×2÷5＝4（m）答：根据表格呈现的数据，这个梯形的上底与下底的和是4m。（4）梯形高7m对应面积的点是14m2。故答案为：正，根据梯形面积公式“梯形面积＝（上底+下底）×高÷2”可得：梯形面积÷高＝（上底+下底）÷2，上底和下底长度不变时，（上底+下底）÷2的值不变，梯形面积和高成正比例关系；4；14。【点评】本题是一道综合性题目，融合了梯形面积公式、正比例关系、折线统计图知识点，重在培养学生综合运用所学知识解决问题能力。3．一列动车在高速铁路上行驶的时间和路程如图。（1）看图填写下表。时间/小时3路程/千米800（2）这列动车行驶的时间和路程成正比例。（3）照这样的速度，行1800千米需要9小时。【分析】（1）根据图象是一条过原点的直线，可知这列动车行驶的时间和路程成正比例，也就是它们的比值相等：然后根据图直接填表即可；（2）根据路程÷时间＝速度（一定），因此这列动车行驶的时间和路程成正比例；（3）进一步观察图象，可知这列动车行驶了1小时的路程是200千米，据此行驶了1800千米，就用路程除以速度列式解答即可。【解答】解：（1）时间/小时34路程/千米600800（2）这列动车行驶的时间和路程成正比例；（3）200÷1＝200（千米/时）1800÷200＝9（小时）答：行1800千米需要9小时。故答案为：（1）4，（2）正，（3）9。【点评】此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断。考点三：比例的应用例3．先按下面各点的位置在方格图上描出各点，再按A→B→C→D→A的顺序连起来，四边形ABCD是平行四边形，它的面积是6格。A（1，2），B（4，2），C（5，4），D（2，4）。（1）请画出图形ABCD关于l的对称图形。（2）请将图形ABCD按2：1放大画在右边。【分析】根据数对表示位置的方法先标出各个顶点的位置，再依次连接起来得出平行四边形ABCD，底是3，高是2，据此利用平行四边形的面积公式即可求出它的面积；（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出各关键点的对称点，然后连顺次连续各对称点，即可画出这个图形的关于直线l的轴对称图形1；（2）把平行四边形ABCD的底与高分别扩大2倍，即可画出放大后的图形3。【解答】解：画图如下：平行四边形ABCD的面积是3×2＝6（格）故答案为：平行四边，6。【点评】此题主要考查利用轴对称、旋转、放大与缩小进行图形变换的方法。1．方格纸上细操作。①以直线L为对称轴，画出图形A的对称图形B。②画出图形B按2：1放大得到的图形C。③图形B和图形C的面积比是1：4。【分析】①根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，据此画图即可；②按2：1的比例画出三角形放大后的图形，就是把原三角形的底和高分别扩大到原来的2倍，原三角形的底和高分别是2格、3格，扩大后的三角形的底和高分别是4格、6格，据此画图；③按2：1的比例画出三角形放大后的图形，底和高扩大2倍，面积就扩大原来的4倍，因此图形B和图形C的面积比是1：4。【解答】解：①和②如图：③从图中可知图形B和图形C的面积比是1：4。故答案为：1：4。【点评】本题考查了轴对称图形和放大图形的画法及图形的变化情况。2．照片的规格，是按“宽高比”进行分类的（横的边为宽，竖的边为高）。常见的规格有16：9、4：3和3：4等。（1）现在有这三种规格的照片各一张（如图），请你观察和思考，在照片下面的括号里填上它的规格。（2）下面这张照片左下角被损坏，如果要裁剪这张照片，将照片的规格变为4：3，而且尽可能保留照片图像。你打算怎么裁剪？①请在图上画出裁剪的标记线，并标明裁剪后照片的宽和高。②通过计算说明理由。【分析】（1）根据所给的比进行分析，宽：高＝16：9，16与9的差距较大，因此图二合适；4：3宽与高的比相差不大，且宽＞高，所以图一合适；3：4宽＜高，所以图三合适；（2）4：3，宽要长一些，高要小一些，据此裁剪。【解答】解：如图：（1）（2），宽要长一些，高要小一些，据此裁剪。【点评】本题是考查图形的放大与缩小．使学生在观察、比较、思考和交流等活动中，感受图形放大、缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。3．按比例缩放。（1）将三角形A按3：1放大，得到三角形B；（2）再将三角形B按1：2缩小，得到三角形C。【分析】（1）将三角形A按3：1放大，即把两条直角边分别扩大到原来的3倍。（2）将三角形B按1：2缩小，即把两条直角边分别缩小到原来的。【解答】解：【点评】图形的放大与缩小，只改变图形的大小，不改变形状。一．选择题（共6小题）1．下面四幅地图的图幅大小相同，其中表示内容最详细的是（）A．滨州市地图 B．山东省地图 C．中国地图 D．阳信县地图【分析】比例尺是表示图上距离比实地距离缩小的程度，在图幅相同的条件下，比例尺越大，表示的范围越小，内容越详细；比例尺越小，表示的范围越大，内容越简略。【解答】解：相同图幅，范围越大比例尺越小，内容越简略；范围越小比例尺越大，内容越详细。选项中的四幅地图按照范围从大到小排列为：中国地图＞中山东省地图＞滨州市地图＞阳信县地图；因此表示的内容详细的是阳信县地图。故选：D。【点评】本题考查比例尺大小与内容和范围的关系，理解解答即可。2．如果甲、乙是两个成反比例的量，那么当甲增加50%时，乙一定会（）A．增加50% B．减少 C．减少 D．减少50%【分析】如果甲、乙是两个成反比例的量，那么甲×乙的积是一定的，甲增加50%就是甲×（1+50%）将选项中的描述代入，运算之后依然是甲×乙即可。【解答】解：A.增加50%，甲×（1+50%）×乙×（1+50%）＝甲×乙×1.5×1.5＝甲×乙×2.25，选项错误；B.减少，甲×（1+50%）×乙×（1﹣）＝甲×乙×1.5×＝甲×乙，选项正确；C.减少，甲×（1+50%）×乙×（1﹣）＝甲×乙×1.5×＝甲×乙×0.5，选项错误；D.减少50%，甲×（1+50%）×乙×（1﹣50%）＝甲×乙×1.5×0.5＝甲×乙×0.75，选项错误。故选：B。【点评】此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断。3．（）能与：组成比例。A．3：5 B．5：3 C．3： D．：【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，据此可先求出：的比值，再逐项求出每个比的比值，进而根据两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例。【解答】解：：＝A、3：5＝，所以能组成比例；B、5：3＝，因为≠，所以不能组成比例；C、3：＝15，因为≠15，，所以不能组成比例D、：＝，因为≠，所以不能组成比例。故选：A。【点评】解决此题也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，分别计算求出两内项的积和两外项的积等于能组成比例，不等于就不能组成比例。4．下面表格中，x和y成反比例，方格中的字母a表示的数是（）x610y15aA．4 B．9 C．12 D．25【分析】根据反比例的意义：如果相关联的两个量的乘积一定，这两个量成反比例关系，解答此题。【解答】解：由x和y成反比例，可知：10a＝6×1510a＝90a＝9答：方格中的字母a表示的数是9。故选：B。【点评】本题主要考查了反比例的意义的灵活运用。5．小芳身高1.5米，在与妹妹的合影中她的高度是5厘米。妹妹在这张照片中的高度是3厘米。在求“妹妹实际身高是多少米”时用比例的知识解决，设妹妹身高x米后可列式（）A．x：1.5＝5：3 B．x：3＝1.5：5 C．3x＝1.5×5 D．x：3＝150：5【分析】根据题意可知：小芳的实际身高：小芳在照片中的身高＝妹妹的实际身高：妹妹在照片中的身高，设妹妹身高x米，据此代入数值，列比例即可解答。【解答】解：设妹妹身高x米。1.5：5＝x：35x＝4.5x＝0.9答：妹妹身高0.9米。故选：B。【点评】解答此题的关键是：先判断题中的两种相关联的量成什么比例，并找准对应量。6．下列各比中，能和组成比例的是（）A． B．6：50 C．0.9：0.6【分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫做比例，根据求比值的方法，分别求出各比的比值，如果比值相等就能组成比例。据此解答。【解答】解：：＝＝A、：＝＝＝B、6：50＝6÷50＝C、0.9：0.6＝0.9÷0.6＝1.5所以，能和组成比例的是：。故选：A。【点评】此题考查的目的是理解掌握比例的意义，求比值的方法及应用。二．填空题（共6小题）7．在一幅地图上用4厘米长的线段表示80千米的实际距离，这幅地图的比例尺是1：2000000。【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，代入数据解答即可。【解答】解：4厘米：80千米＝4厘米：8000000厘米＝1：2000000答：这幅地图的比例尺是1：2000000。故答案为：1：2000000。【点评】解答此题的关键是掌握比例尺＝图上距离：实际距离这个公式。8．在下边的表中A与B成正比例，那么“？”是50；如果A与B成反比例，那么“？”是128。A80？B240150【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【解答】解：在表中A与B成正比例，即比值一定，240÷80＝3那么“？”是150÷3＝50；如果A与B成反比例，即乘积一定，那么“？”是240×80÷150＝128。故答案为：50，128.。【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。9．李师傅加工一批零件，工作时间与加工零件总数的关系如图。（1）工作时间与加工零件总数成正比例。（2）照这样计算，加工270个零件需要9小时。【分析】（1）根据图像判断，正比例图像是一条从原点出发的一条射线，据此判断工作时间与加工零件总数成正比例；（2）首先用工作总量÷工作时间＝工作效率，工作效率不变，再利用工作总量÷工作效率＝工作时间。【解答】解：（1）工作时间与加工零件总数成正比例；（2）30÷1＝30（个）270÷30＝9（小时）答：加工270个零件需要9小时。故答案为：正，9。【点评】此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，有图像时根据图像特点判断。10．已知a×＝b÷2＝c，并且a、b、c都不等于0，则a：b：c＝3：8：4。【分析】运用赋值法解答，令a×＝b÷2＝c＝1，分别求出a、b、c的值，再求它们的比。【解答】解：令a×＝b÷2＝c＝1，则a＝1÷＝b＝1×2＝2c＝1a：b：c＝：2：1＝3：8：4故答案为：3：8：4。【点评】运用赋值法解答此题，可以直接求出a、b、c的值，具有直观的效果。11．在一幅地图上，用3厘米的线段表示地面上实际距离240千米，这幅地图的比例尺是1：8000000，如果在这幅地图上量得广州到北京的距离是24.5厘米，那么广州到北京的距离是1960千米。【分析】根据公式：比例尺＝图上距离：实际距离，先求出比例尺，求两地的实际距离是多少千米，根据“实际距离＝图上距离：比例尺”代入数值，计算即可。【解答】解：比例尺：3厘米：240千米＝3：24000000＝1：8000000实际距离：24.5＝196000000（厘米）196000000厘米＝1960千米答：这幅地图的比例尺是1：8000000，如果在这幅地图上量得广州到北京的距离是24.5厘米，那么广州到北京的距离是1960千米。故答案为：1：8000000，1960。【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者的关系式：比例尺＝图上距离：实际距离，灵活变形列式解决问题。12．如果a和b都是非零自然数，并且满足+＝，那么ab＝2。【分析】根据等式的性质化简等式，再用含b的式子表示出a，由a和b都是非零自然数，可确定a、b的值，进而求出ab的值。【解答】解：因为+＝，所以7a+5b＝17，可得：a＝，因为a和b都是非零自然数，所以b＝2，a＝1。可得：ab＝2故答案为：2。【点评】本题解题的关键是用含b的式子表示出a，由a和b都是非零自然数，可确定a、b的值。三．判断题（共5小题）13．成反比例的两个量，一个量随着另一个量的增加而减少。√（判断对错）【分析】根据反比例的意义：在两个变量中，一个量随着另一个量的变化而变化，但它们的乘积不变。【解答】解：成反比例的两个量，一个量随着另一个量的增加而减少的说法是正确的。故答案为：√。【点评】熟练掌握反比例的意义是解决此题的关键。14．在一幅地图上，用5分米的线段表示实际长度250厘米，这幅地图的比例尺是1：50。×（判断对错）【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。【解答】解：5分米＝50厘米50：250＝（50÷50）：（250÷50）＝1：5这幅地图的比例尺是1：5，所以原题解答错误。故选：×。【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一。15．边长3米的正方形按2：1的比放大后，它的周长与原来的周长的比是2：1．√。（判断对错）【分析】根据正方形的周长公式：C＝4a，可知正方形的周长比等于边长比，据此解答。【解答】解：根据正方形的周长公式：C＝4a，可知正方形的周长比等于边长比，所以放大后的周长比等于边长比。原题说法正确。故答案为：√。【点评】本题主要考查了图形的放大与缩小，熟记正方形的周长公式是本题解题的关键。16．如果4a＝7b，那么a：b＝4：7。×（判断对错）【分析】根据4a＝7b和a：根据等式的性质及比与除法算式之间的关系可得答案，所以a：b＝7：4。【解答】解：4a＝7b，等式的两边同时除以4，再同时除以b，所以a：b＝7：4。所以题干说法错误。故答案为：×。【点评】本题主要考查等式的性质及比与除法算式之间的关系的应用。17．两种相关联的量，不一定成比例关系√．（判断对错）【分析】判断两种相关联的量之间成不成比例，成什么比例，就看这两个量是否是对应的比值一定，或者是否是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；如果是其它的量一定，或比值乘积不一定，则不成比例．【解答】解：根据正反比例的意义，可知：两种相关联的量，如果比值或乘积不一定，或者是其它的量一定，就不成比例关系；故判断为：√．【点评】此题属于考查辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．四．计算题（共1小题）18．解比例。x：8＝0.2：0.5＝x：＝：【分析】（1）根据比例的基本性质，把比例化为方程，两边再同时除以0.5；（2）根据比例的基本性质，把比例化为方程，两边再同时除以3；（3）根据比例的基本性质，把比例化为方程，两边再同时乘2。【解答】解：（1）x：8＝0.2：0.50.5x＝1.60.5x÷0.5＝1.6÷0.5x＝3.2（2）＝3x＝1203x÷3＝120÷3x＝40（3）x：＝：x＝2×x＝×2x＝1.2【点评】熟练掌握比例的基本性质和等式的基本性质是解题的关键。五．应用题（共5小题）19．小明有3张卡片，小华有6张卡片，小强有15张卡片，小军有多少张卡片，四个人的卡片数量能组成比例？请写在下面．【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，要使四个人的卡片数量能组成比例，可以根据比例的意义组成比例：小华张数：小明张数＝小军张数：小强张数，先求出小华张数与小明张数的比值，再求出小军的张数．（答案不唯一）【解答】解：6：3＝6÷3＝2；15×2＝30（张）；则组成比例为6：3＝30：15；答：小军有30张．（答案不唯一）【点评】此题考查了比例的意义，应熟练掌握．20．某物流公司将120t货物运往一加工厂，如果要一次把所有货物全部运出，车辆的载质量与所需车辆的数量如下表．载质量/t2.53510数量/辆48402412（1）请把上表填写完整．车辆的载质量和所需车辆的数量成什么比例关系？（2）如果用载质量为6t的卡车来运，一共需要多少辆？（3）如果用15辆卡车来运，每辆卡车运多少吨？【分析】2.5×48＝3×40＝120，得出：运用车辆的载重量×所需车辆的数量＝总重量，则用总重量分别除以5，10求出各用的辆数．填写统计表．（1）由统计表中的数量可以看出，车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定，所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例．（2）运用总重量除以6就是运用卡车的量数．（3）运用总重量除以卡车的量数15就是每辆卡车运多少吨．【解答】解：3×40÷5＝120÷5＝24（辆）3×40÷10＝120÷10＝12（辆）载质量/t2.53510数量/辆48402412（1）因为2.5×48＝120（吨）3×40＝120（吨）因为车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定，所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例．（2）120÷6＝20（辆）答：用载重量6吨的卡车来运，一共需要20辆．（3）120÷15＝8（吨）答：每辆卡车运8吨．故答案为：24；12．【点评】本题考查了学生正反比例的判断情况，能运用统计表提供的信息解决问题．同时考查了学生理解分析问题的能力．21．小明和一名职业篮球运动员合影（如图），小明的身高是1.4米，这名运动员身高是多少米？【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例，再根据图上距离÷比例尺＝实际距离解答即可。【解答】解：1.4m＝140cm2.8：140＝1：504.5÷＝225（cm）225cm＝2.25m答：这名运动员的身高是2.25米。【点评】考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一。22．科技的发展改善了我们的生活，也改变了人们的出行方式，人们可以选择的交通工具多种多样，如：地铁、汽车、高铁、火车、飞机等。据了解，从济南到郑州的公路长是440km。若一辆车2小时行了160km，照这样计算，从济南到郑州需要多少个小时？先说说路程和时间成什么比例，再用比例解。【分析】因为＝速度（一定），所以路程和时间成正比例，设从济南到郑州需要x个小时，据此列比例解答。【解答】解：速度一定，路程和时间成正比例。设从济南到郑州需要x个小时，160：2＝440：x106x＝2×440x＝x＝5.5答：从济南到郑州需要5.5小时。【点评】此题考查的目的是理解正比例的意义，掌握列比例解决问题的方法及应用。23．甲、乙两车同时从相距390千米的两地相对开出，3小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是6：7，甲、乙两车的速度各是多少？【分析】先根据速度＝路程÷时间，求出两车的速度和，再依据按比例分配方法即可解答。【解答】解：390÷3＝130（千米）6+7＝13130×＝60（千米）130×＝70（千米）答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是70千米/小时。【点评】求出两车的速度和，是解答本题的关键，考查的知识点是按比例分配方法解决问题。一．选择题（共5小题）1．下列各比中，能和组成比例的是（）A． B．6：50 C．0.9：0.6【分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫做比例，根据求比值的方法，分别求出各比的比值，如果比值相等就能组成比例。据此解答。【解答】解：：＝＝A、：＝＝＝B、6：50＝6÷50＝C、0.9：0.6＝0.9÷0.6＝1.5所以，能和组成比例的是：。故选：A。【点评】此题考查的目的是理解掌握比例的意义，求比值的方法及应用。2．当两个变量成反比例关系时，所绘成的图是一条（）A．直线 B．曲线 C．折线【分析】两种相关联的量中相对应的两个数的商一定，就成正比例关系，正比例的图象是一条过原点的直线；如果积一定，就成反比例关系，它的图象是一条曲线．【解答】解：正比例的图象是一条直线，反比例的图象是一条曲线．故选：B．【点评】本题考查正反比例的意义及图象的特点，属于基础题．3．如果x：3＝y：4，且x、y均不为零，那么x和y（）A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．【解答】解：如果x：3＝y：4，则x：y＝（一定），那么y和x成正比例；故选：A．【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．4．下面的图形是按一定比例缩小的，则x＝（）。A．10 B．8 C．7.5 D．7【分析】由于图形是按一定的比例缩小的，所以原来长比现在的长的比值和原来宽比现在的宽的比值相等，所以根据图中数据列比例解答即可。【解答】解：根据题意，5：4＝x：64x＝30x＝30÷4x＝7.5故选：C。【点评】本题主要是考查图形的放大和缩小的意义，根据图中数据列比例解答即可。5．把一张长方形的图按1：20的比例缩小后，长和宽的比（）A．不变 B．变了 C．无法确定【分析】把一张长方形的图按1：20的比例缩小后，就是把这个长方形的长和宽都缩小到原来的，也就是长和宽都除以20，也就相当于把原长方形的长和宽的比的前项和后项都除以20，根据比的基本性质，比的前项和后项都乘或者除以一个数（0除外），比值不变．因此，一个长方形放大或缩小后，长和宽的比不变．【解答】解：把一张长方形的图按1：20的比例缩小后，长和宽的比不变；故选：A．【点评】本题是考查图形的放大与缩小．一个长方形放大或缩小后，长和宽的比不变．二．填空题（共5小题）6．一个直角三角形，三条边的长度分别为10cm、8cm、6cm，把这个三角形按2：1放大后的面积是96cm2。【分析】直角三角形中，斜边最长，所以较短的两条边是这个三角形的两条直角边，把这两条直角边按照2：1放大后，直角边的长度就是原来的2倍，由此求出放大后两条直角边的长度，也就是三角形底和高的长度，再根据三角形的面积＝底×高÷2求解。【解答】解：8×2＝16（厘米）6×2＝12（厘米）16×12÷2＝192÷2＝96（平方厘米）答：把这个三角形按2：1放大后的面积是96cm2。故答案为：96。【点评】解决本题要明确直角三角形的特点，以及图形放大后的特点。7．右边是一个零件的设计图，每个小格都是边长为1cm的正方形，这个零件的体积是25.12cm³。如果把设计图按2：1放大，那么这个零件的体积就是200.96cm³。【分析】根据题意可知，这是一个圆锥，底面半径是2厘米，高是6厘米，求这个圆锥的体积，根据圆锥的体积＝底面积×高×即可解答；如果把设计图按2：1放大，则这个圆锥的底面半径和高都分别扩大2倍，即底面半径是2×2＝4（厘米），高是6×2＝12（厘米），再根据圆锥的体积公式，即可求出放大后的体积。【解答】解：3.14×2×2×6×＝12.56×2＝25.12（立方厘米）2×2＝4（厘米），高是6×2＝12（厘米）3.14×4×4×12×＝3.14×16×4＝3.14×64＝200.96（立方厘米）答：这个零件的体积是25.12cm³。如果把设计图按2：1放大，那么这个零件的体积就是200.96cm³。故答案为：25.12，200.96。【点评】本题是考查图形的放大与缩小和圆柱的体积计算的应用。8．龙一鸣用一只蜡烛做实验（蜡烛每分钟燃烧的长度一定），情况如图，蜡烛原来的长度是16.5cm。【分析】蜡烛燃烧的速度一定，燃烧的长度与时间成正比例，5分钟燃烧的长度：5分钟时间＝11分钟燃烧的长度：11分钟时间，据此列比例解答即可。【解答】解：设蜡烛原来的长度是xcm，则5分钟燃烧的长度是（x﹣14）cm，11分钟燃烧的长度是（x﹣11）cm；（x﹣14）：5＝（x﹣11）：11（x﹣11）×5＝（x﹣14）×115x﹣11×5＝11x﹣14×115x﹣55＝11x﹣1545x﹣55+154＝11x﹣154+1545x+99﹣5x＝11x﹣5x6x＝996x÷6＝99÷6x＝16.5答：蜡烛原来的长度是16.5cm。故答案为：16.5cm。【点评】找出题中的数量之间比例关系，列出等量关系式，根据等量关系式列比例解答。9．如下表，如果x与y成正比例，那么“？”是8；如果x与y成反比例，那么“？”是。x5？y100160【分析】根据正、反比例的意义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（即两个数的商）一定，这两种就叫做成正比例的量，它们的关系就是正比例关系。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种就叫做成反比例的量，它们的关系就是反比例关系。据此解答即可。【解答】解：如果x与y成正比例，＝100？＝5×160？＝？＝8如果x与y成反比例160？＝100×5？＝？＝故答案为：8、。【点评】此题考查的目的是理解掌握正、反比例的意义及应用。10．18的因数中有2个质数，有3个合数，从18的因数中任选4个数组成的一个比例式是1：2＝9：18（答案不唯一）。【分析】18的因数有：1、2、3、6、9、18共6个；根据质数和合数的定义可知：在这几个因数中1既不是质数也不是合数，2、3是质数，6、9、18是合数；根据找一个数的因数的方法，可以一对一对的找，最小的是1，最大的是它本身；然后根据比例的意义，从中任选四个数，写出两个比值相等的比组成比例即可。【解答】解：18的因数有：1、2、3、6、9、18；在这几个因数中2、3是质数，6、9、18是合数，所以18的因数中有2个质数，3个合数；从中选择1、2、9、18四个数，可组成比例式：1：2＝9：18（答案不唯一）。故答案为：2，3，1：2＝9：18（答案不唯一）。【点评】此题主要考查质数（素数）、合数的定义以及求一个数的因数的方法和比例的意义。三．判断题（共4小题）11．如果3a＝4b（a≠0，b≠0），那么a：b＝3：4．×（判断对错）【分析】逆用比例的基本性质作答，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．【解答】解：如果3a＝4b（a≠0，b≠0），那么a：b＝4：3，所以原题说法错误．故答案为：×．【点评】本题主要是灵活利用比例的基本性质解决问题．12．在同一幅地图上，图上距离和实际距离成正比例．√．（判断对错）【分析】判断同一幅地图上，图上距离和实际距离成成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例．【解答】解：图上距离：实际距离＝比例尺（一定），是对应的比值一定，所以图上距离与实际距离成正比例关系；故答案为：√．【点评】此题属于根据正、反比例的意义，判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量中相对应的两个数是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例．13．正方形的面积与边长不成比例．√．（判断对错）【分析】根据正比例和反比例的意义，在成比例的数量关系中，都有一个一定的量，两个变化的量，如果三个量都是变化的，那么就不成比例关系．【解答】解：正方形的面积＝边长×边长，当正方形的边长发生变化时，它的另一条边也随着变化，面积也同时发生变化，这三个量都是变化的，所以正方形的面积与边长不成比例．故答案为：√．【点评】此题重点考查正比例和反比例的意义．14．一个正方形按4：1放大后，周长和面积都扩大到原来的4倍．×．（判断对错）【分析】设这个正方形原来的边长为1，根据图形放大与缩小的意义，按4：1放大后的正方形的边长为4，分别求出原正方形周长、面积和放大后的正方形周长、面积，再看放大后的正方形的周长、面积是否分别是原正方形周长、面积的4倍．【解答】解：设原正方形的边长为1其周长是1×4＝4面积是1×1＝1按4：1放大后的正方形的边长为4其周长是4×4＝16面积是4×4＝1616÷4＝416÷1＝16即周长放大到原来的4倍，面积放大到原来的16倍．故答案为：×．【点评】图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数，周长也放大或缩小这个倍数，面积放大或缩小这个倍数的平方倍．四．计算题（共1小题）15．解比例。（1）＝（2）＝0.5÷4（3）：x＝：0.6【分析】解比例的依据是比例的基本性质，解比例的方法是：未知外项＝，未知内项＝，据此解答即可。【解答】解：（1）＝3.6x＝4.8×4x＝x＝（2）＝0.5÷44x＝12×0.5x＝x＝1.5（3）：x＝：0.6x＝×0.6x＝x＝0.1×3x＝0.3【点评】此题考查的目的是理解比例的基本性质，掌握及比例的方法及应用。五．应用题（共5小题）16．李叔叔家去年秋天有两块地种了白菜，面积分别为12.5m2和18m2，去年秋天两块地分别产白菜81.25kg和117kg．两块白菜地的白菜产量与面积之比是否能组成比例？【分析】分别求出两块白菜的产量和面积的比值，比较它们是否相等即可判断；据此进行解答．【解答】解：12.5：18＝125÷180＝81.25：117＝81.25÷117＝所以两块白菜地的白菜产量与面积之比能组成比例，答：两块白菜地的白菜产量与面积之比能组成比例．【点评】本题也可以利用比例的基本性质（即在比例里，两个内项的积等于两个外项的积）判断能否组成比例．17．食堂有一批大米．如表记录的是每天的用量和所用的天数．每天的用量/kg504025205所用的天数810162080（1）把上表填写完整．（2）每天的用量和所用的天数成反比例吗？为什么？（3）如果每天用8kg，那么可以用多少天？（4）如果计划用100天，那么每天应该用多少千克？【分析】（1）大米总量为40×10＝400（kg），分别用每天的用量×所用的天数＝大米总量的变形求出每天的用量或所用的天数，计算后填完整表格；（2）从上表发现每天的用量与所用的天数成反比例关系；因为每天的用量与所用的天数的乘积是一个定值；（3）因为400÷8＝50（天）．可以用50天；（4）因为400÷100＝4（kg）．每天应该用4千克．【解答】解：（1）每天的用量/kg504025205所用的天数810162080（2）每天的用量与所用的天数成反比例关系；因为每天的用量与所用的天数的乘积是一个定值；（3）400÷8＝50（天）；答：可以用50天；（4）400÷100＝4（kg）；答：每天应该用4千克．【点评】解答此题的关键是：弄清楚哪两种量成何比例，于是列比例即可求解．18．合肥到六安的实际距离大约是90km，在一幅地图上量得这两地间的距离是20cm．这幅地图的比例尺是多少？【分析】图上距离和实际距离已知，根据“图上距离：实际距离＝比例尺”求解即可．【解答】解：20厘米：90千米＝20厘米：9000000厘米＝1：450000答：这幅地图的比例尺是1：450000．【点评】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者之间的关系，进行分析解答即可得出结论．19．用一批纸装订同样大小的练习本，每本20页，可以装订180本，如果每本16页，可以装订多少本？（用比例解）【分析】根据题意知道一批纸的总数量一定，即每本的页数和装订的本数的乘积一定，所以每本的页数和装订的本数成反比例，由此列出比例解答即可．【解答】解：设可以装订x本，16x＝20×180，x＝，x＝225，答：可以装订225本．【点评】解答此题的关键是，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答．20．学校有一个长方形的操场，长是100米，宽是60米，而在平面图上，量得长只有20厘米，那么在平面图上操场的面积是多少平方米？【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，求出此幅平面图的比例尺，再根据图上距离＝比例尺×实际距离，即可求出操场的宽的图上的长度，再根据长方形的面积公式S＝ab，即可求出操场的面积应画多大．【解答】解：此幅平面图的比例尺是：20厘米：100米＝20厘米：10000厘米＝1：50060米＝6000厘米×6000＝12（厘米）操场的面积：20×12＝240（平方厘米）＝0.024（平方米）答：在平面图上操场的面积是0.024平方米．【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系：比例尺＝图上距离÷实际距离，灵活变形列式解决问题．1．如果a：5＝b：6，则a：b＝，如果7x＝8y，那么＝．【分析】（1）根据比例的性质，先把a：5＝b：6改写成等式6a＝5b，再逆用比例的性质，把等式6a＝5b改写成比例式为a：b＝5：6＝；（2）逆用比例的基本性质，把7x＝8y改写成比例的形式，使相乘的两个数x和7做比例的两个外项，则相乘的另两个数y和8就做比例的两个内项即可．【解答】解：（1）因为a：5＝b：6所以6a＝5b所以a：b＝5：6＝（2）因为7x＝8y，所以＝．故答案为：，．【点评】此题考查比例基本性质的灵活运用．2．解下列方程：（x+2.6）：70%＝2÷25%1﹣x＝4÷（x﹣）＝【分析】（1）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把原方程化简为：x+2.6＝2÷25%×70%，进而化简得x+2.6＝5.6，根据等式的性质，方程的两边同时减去2.6即可；（2）根据等式的性质，方程的两边同时加上x，再在方程的两边同时减去，再同乘以3即可；（3）根据等式的性质，方程的两边同时乘以（x﹣），再在方程的两边同时乘以2再加上即可．【解答】解：（1）（x+2.6）：70%＝2÷25%x+2.6＝2÷25%×70%x+2.6＝5.6x+2.6﹣2.6＝5.6﹣2.6x＝3；（2）1﹣x＝1﹣x+x＝+x+x＝1+x﹣＝1﹣x＝x×3＝×3x＝；（3）4÷（x﹣）＝4÷（x﹣）×（x﹣）＝×（x﹣）×（x﹣）＝4×（x﹣）×2＝4×2x﹣＝8x﹣+＝8+x＝8．【点评】考查了根据等式的基本性质解方程的能力，注意等号对齐即可．3．李丽家的用电情况如表：用电量/度10203040••••••电费/元5101520••••••①用电量与电费成什么比例？并说明理由。②在如图中描出用电量和电费相对应的点，按顺序连起来。③估计用45度电时，电费是22.5元。④如果王红家的用电量是李丽家的1.6倍，王红家应交电费是李丽家的1.6倍。【分析】①根据题意，用电量与电费成正比例，因为每度电的价格是一定的量，即电费÷用电量＝每度电的价格（一定），所以用电量与电费成正比例；②在图中描出用电量和电费所对应的点，然后再把描出的各点按顺序连起来即可；③根据题意，已知每度电价格求电费，根据关系式电费＝每度电价格×用电量，代入数据求解即可；④每度电的价格是一定的，王红家的用电量是李丽家的1.6倍，则王红家应交电费是李丽家的1.6倍。【解答】解：①根据题意，每度电的价格是一定的量，即电费÷用电量＝每度电的价格（一定），所以用电量与电费成正比例；②③5÷10×45＝22.5（元）答：估计用45度电时，电费是22.5元；④每度电的价格是一定