小升初数学专题4盈亏问题

小升初数学专题4：从课本到奥数盈亏问题（解析版）基本概念盈亏问题是把一定数量的物品平均分给一定数量的人，由于物品和人数都未知，仅仅已知在两次分配中一次是盈(有余)，一次是亏(不足)；或者两次都盈余，或者两次都亏的数量时，求参加分配的物品总量及人员总数。基本数量关系(盈+亏)÷(两次分得之差)=人数；(大盈小盈)÷(两次分得之差)=人数；(大亏小亏)÷(两次分得之差)=人数。主要类型基本的盈亏问题类型1：“盈+亏”型1.高新区小学六（2）班的同学集体买了一个足球，如果每人拿2.5元钱，则少4元钱；如果每人拿2.8元钱，则多8元钱。六（2）班一共有多少人？足球单价是多少元？解：六（2）班总人数：（8+4）÷（2.82.4）=40（人），足球单位：2.5×40+4=104（元）。答：六（2）班一共有40人，足球单价104元。点拨：先判断“盈+亏”型，再套用公式。2.幼儿园老师给小朋友分糖果，若每人分8块，还剩10块；若每人分9块，最后一人分不到9块，但至少可分到一块。那么糖果最多有多少块？解：（1）最后一人分不到9块，那么最多可以分到8块，即若每人分9块，还差1块。人数：（10+1）÷（98）=11（人），糖果：8×11+10=98（块），或9×111=98（块）；（2）最后一人分不到9块，但至少可以分到一块，即最少是最后一人差8块。人数：（10+8）÷（98）=18（人），糖果：8×18+10=154（块），或9×188=154（块）。98块＜154块答：这批糖果最多有154块。点拨：往最坏处打算，即按最多8块、至少1块，分别糖果块数，再进行比较，得到最多有几块。类型2：“盈+盈”型3.用一根绳子测量一口井的深度：若把绳子折成3折后垂到井底，则绳子的长度超过井口4米；若把绳子折成4折后垂到井底，则绳子的长度超过井口1米。求井的深度和绳子的长度各是多少米？解：井深：（3×41×4）÷（43）=8（米），绳长：3×8+3×4=36（米）。答：井深8米，绳长36米。点拨：先判断“盈+盈”型，再套用公式；由“折成3折后垂到井底，则绳子的长度超过井口4米”，得绳子超过井口总长度为3×4=12（米）。4.一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒；如果每人分5粒正好分完。有多少位学生？共多少粒糖果？解：学生：9÷（54）=9（人），糖果：5×9=45（粒）。答：有9位学生，共45粒糖果。点拨：条件“如果每人分5粒正好分完”，可能这样思考、运用：每人分5粒，亏0粒，从而“盈盈=90=9”。类型3：“亏+亏”型5.王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元。儿童小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱？解：一把儿童小提琴：（11030）÷（75）=40（元），王老师带的钱数：40×7110=170（元）。答：儿童小提琴40元一把，王老师带了170元。6.实验小学买来一批小足球分给各班：如果每班分4个，就差66个；如果每班分2个，则正好分完。实验小学一共有多少个班？买来多少个足球？解：学校共有：66÷（42）=33（个），买来足球：33×2=66（个）。答：实验小学一共有33个班，买来66个足球。点拨：条件“如果每班分2个，则正好分完”，可能这样思考、运用：每班分2个粒，亏0个，从而“亏亏=660=66”。拓展的盈亏问题类型4：盈亏问题在长方形面积中的拓展7.一个长方形菜园，如果把宽改成30米，长不变，那么它的面积减少500平方米；如果使宽为52米，长不变，那么它的面积比原来增加600平方米，原来的长是多少米？面积是多少平方米？解：原来的长：（600+500）÷（5230）=50（米），面积：50×30+500=2000（平方米）。答：原来的长50米，面积是2000平方米。类型5：盈亏问题在复杂分配中的拓展8.妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人各分4个，其余人每人分2个，则多4个；如果其中一人分6个，其余人每人分4个，则少12个，妈妈买来橘子多少个？全家共有多少人？解：全家：[4+2×（42）+12（64）]÷（42）=9（人），橘子：2×9+2×4=26（个）。答：妈妈买来26个橘子，全家共有9人。9.有若干个苹果和若干个梨，如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨。苹果和梨各有多少个?解：由题意，得：1个苹果搭配2个梨，缺2×2=4（个）梨；1个苹果搭配（5÷3=）个梨，多1个梨。苹果：（4+1）÷（2）=15（个），梨：2×154=26（个）。答：苹果15个，梨26个。类型6：转化法在盈亏问题中的应用10.幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个；如果全部分给小班的小朋友，每人分8个，则缺2个。已知大班比小班多3人。这筐苹果共有多少个？解：小朋友：（3×5+10+2）÷（85）=9（人），苹果：8×92=70（个）。答：这筐苹果共有70个。点拨：正确解答这道题的关键，在于正确使用条件“已知大班比小班多3人”；假设大班小班人数一样多，“如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个”，就转化成“每人分5个，则余下（3×5+10）个”，变成常规盈亏问题，进而解答。11.学校为新生分配宿舍，每个房间住3人，则多出22人；每个房间多住5人，则空1个房间。问宿舍有多少间？新生有多少人？解：房间总数：[22+（3+5）]÷[（5+3）3）]=6（间），新生：3×6+22=40（人）。答：宿舍有6间，新生40人。点拨：条件“每个房间多住5人，则空1个房间”，等同于每个房间住8（5+3=8）人，少8人；“每个房间多住5人”，即每个房间住5+3=8（人）。12.学校组织学生乘汽车外出春游，如果每车坐65人，则有15人乘不上车；如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。问一共有几辆汽车？有多少学生？解：共有车：[15+（65+5）]÷[（65+5）65]=17（辆），共有学生：65×17+15=1120（人）。答：一共有17辆车，有1120名学生。点拨：条件“如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车”，处理方法同上题。13.解放军某部调动一批战士分乘一批车辆赶往汛地抗洪。原计划每辆汽车乘32人，则多出5人，他们被安排乘坐在其中的某辆车上；行进中由于紧急任务调走一辆车，这时只好重新安排每辆车乘35人，这样多出7人，他们被安排在其中某辆车上。问原来有多少辆车？共派出多少名战士？解：车辆：（357+5）÷（3532）=11（辆），人数：32×11+5=357（人）。答：原来有11辆车，共派出357名战士。点拨：条件“调走一辆车，这时只好重新安排每辆车乘35人，这样多出7人”，等同于“如果按原来车辆数，每辆乘35人，还缺357=28（人）”。类型7：盈亏问题在打折销售中的应用14.由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（D）A.230元B.250元C.270元D.300元解：原售价：（25+20）÷[（175%）（190%）]=300（元）。答：该商品的原售价为300元。点拨：分配差是[（175%）（190%）]，而不是（90%75%）。说明：该题为2020年毕节中考题。类型8：名著中的盈亏问题15.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元。问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题。解：人数：（4+3）÷（87）=7（人），价格：8×73=53（元）。答：共有7人，这个物品的价格是53元。巩固训练1.妈妈买回一些苹果，按计划天数吃，若每天吃6个，则少8个；若每天吃4个，则多4个。妈妈买回多少个苹果？解：计划吃：（8+4）÷（64）=6（天），买回：4×6+4=28（个）。答：妈妈买回28个苹果。2.妞妞由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。妞妞家到学校的路程是多少米？解：3×50=150（米），2×60=120（米），距离上课时间：（150+120）÷（6050）=27（分钟），家到学校路程：50×（27+3）=1500（米）。答：妞妞家到学校的路程是1500米。点拨：迟到3分钟、提前2分钟，要转化成走的路程；可以这样思考：迟到3分钟或提前2分钟，是多走150米或少走120米造成的，进而利用盈亏问题公式，解答问题。3.用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米。求绳子长度和井深。解：井深：（5×2+4×3）÷（32）=22（米），绳长：2×22+2×5=54（米）。答：绳子长54米，井深22米。点拨：此类问题，盈亏总长度为：折数×井外多的米数或折数×井外少的米数；计算绳子长时，也不要忘记乘折数。4.用一根绳子测量桥面到水面的距离，把绳子对折后垂到水面，绳子的长度超过桥面3米；把绳子折成三折后垂到水面，绳子的长度超过桥面0.2米。求绳子的长度和桥面到水面的距离。解：桥面到水面的距离：（2×33×0.2）÷（32）=5.4（米），绳子长：2×5.4+3×2=16.8（米）。答：绳子长16.8米，桥面到水面的距离为5.4米。5.幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？解：共有小朋友：（2412）÷（96）=4（人），粮：4×612=12（块）。答：共有12块糖。6.阳光小学三年级的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？解：同学：9÷（43）=9（人），玩具：3×9=27（个）。答：有9位同学，分27个玩具。7.学校为新生分配宿舍，每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间。问宿舍有多少间？新生有多少人？解：宿舍：（23+3×5）÷（53）=19（间），新生：3×19+23=80（人）。答：宿舍19间，新生80人。点拨：条件“每个房间住5人，则空出3个房间”，等同于“每个房间住5人，缺15人”。8.某小学学生乘汽车到香山春游，如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？解：汽车：[5+（65+5）]÷[（65+5）65]=15（辆），学生：65×15+5=980（人）。答：汽车15辆，学生980人。点拨：条件的处理技巧，同类型5。9.小朋友分苹果，每人分18个，还多出2个；每人分20个，就有一位小朋友分不到苹果。共有多少个小朋友？多少个苹果？解：小朋友：（20+2）÷（2018）=11（人），11×18+2=200（个）。答：共有11个小朋友，200个苹果。点拨：条件“每人分20个，就有一位小朋友分不到苹果”，等同于“每人分20个，缺20个”。10.东东从家去学校，如果每分走80米，结果比上课提前6分到校，如果每分走50米，则要迟到3分，那么东东家到学校的路程是多少米？解：6×80=480（米），3×50=150（米），距离上课时间：（480+150）÷（8050）=21（分钟），家到学校路程：80×（216）=1200（米）。答：东东家到学校的路程是1200米。11.大猴采到一堆桃子，分给一群小猴吃。如果其中两只小猴各分得4个桃，其余每只小猴各分得2个桃，则最后剩4个桃；如果其中一只小猴分得6个桃，其余每只小猴各分得4个桃，那么还差12个桃，大猴共采到多少个桃？这群小猴共多少只？解：由题意，得：如果每个小猴分2个桃子，最后会剩下2×2+4=8（个），如果每只小猴分4个，还差122=10（个）。小猴子：（8+10）÷（42）=9（只），桃子：4×910=26（个）。答：大猴共采到26个桃子，这群小猴共有9只。点拨：正确解答本题关键，在于两个转化，一是把条件“如果其中两只小猴各分得4个桃，其余每只小猴各分得2个桃，则最后剩4个桃”，转化成“如果每个小猴分2个桃子，最后会剩下2×2+4=8（个）”；二是把条件“如果其中一只小猴分得6个桃，其余每只小猴各分得4个桃，那么还差12个桃”，转化成“如果每只小猴分4个，还差122=10（个）”。12.用绳子测井深，把绳子折成三股来量，井外余米，把绳子折成四股来量，井外余米，井深多少米？绳子长多少米？解： 井深： （×3×4）÷（43）=（