专题53导数的应用

专题5.3导数的应用1．导数与函数的单调性一般地，在某个区间(a,b)内：（1）如果，函数f(x)在这个区间内单调递增;（2）如果，函数f(x)在这个区间内单调递减;（3）如果，函数f(x)在这个区间内是常数函数．注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.（3）函数f(x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a,b)内恒成立，且在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有,不影响函数f(x)在区间内的单调性.2．函数的极值一般地，对于函数y=f(x)，（1）若在点x=a处有f′(a)=0，且在点x=a附近的左侧，右侧，则称x=a为f(x)的极小值点，叫做函数f(x)的极小值.（2）若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x=b为f(x)的极大值点，叫做函数f(x)的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.3．函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.4．函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.（5）导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.（6）导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.5．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：（1）求f′(x)；（2）确认f′(x)在(a,b)内的符号；（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．6．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.7．由函数的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.8．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数极值的方法：①确定函数的定义域．②求导函数．③求方程的根．④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.9．求函数f(x)在[a,b]上最值的方法（1）若函数f(x)在[a,b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f(x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a,b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.重点一利用导数的研究函数单调性一般地，从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)正负f(x)单调性f′(x)＞0单调递增f′(x)＜0单调递减类型一：求函数单调区间例题1．函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，令，得，所以函数的单调递减区间是，故选：A.例题2．已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（

）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(0，1)(2，3)【答案】B【解析】由图象知在上是减函数，所以的解集是．故选：B．例题3．函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】的解集即为单调递增区间结合图像可得单调递增区间为则的解集为故选：C．例题4．的单调递减区间为__________．【答案】【解析】解：因为，所以，令，即，解得，所以函数的单调递减区间为；故答案为：类型二：含参函数的单调性例题1．若函数在是增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】问题转化为在上恒成立，分离数数后转化为求新函数的最值可得．【详解】∵在上是增函数，故在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，，则为减函数.∴，故.故选：D.例题2．若函数在定义域内有两个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数定义域为.，若，则，故在上为减函数，故在上至多一个零点，与题设不合，舍.故，则当时，；当时，；故在上为减函数，在上为增函数，故，因为函数在上有两个零点，故，所以，故.此时，而，，在上有一个零点；又由可得，故，而，设，则，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，故，所以在上有一个零点；综上，当时，在上有两个不同的零点，故选：D.例题3．已知，若成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：函数的定义域为，关于原点对称，，函数为偶函数，当时，，，则函数在上为增函数，由得，由偶函数的性质得，由于函数在上为增函数，则，即，整理得，解得，因此，实数的取值范围是.故选：B.例题4．函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以.因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即，即可令，则由函数单调性的性质知，在上减函数，，即.所以实数的取值范围为。故选：A.例题5．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得：，，，令，易得在上单调递增，，记，则,故当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故，故只需故实数的取值范围为．故选：A例题6．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_____________．【答案】【解析】【分析】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，然后利用分离参数法即可得出答案.【详解】解：，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，又在上递减，所以，所以的取值范围是.故答案为：.例题7．已知，若在区间上存在，使得成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】由题可得，因为在区间上存在，使得成立，所以函数在区间不是单调函数，所以在上有解，所以在上有解，所以.所以，实数a的取值范围是.故答案为：.类型三：利用导数求函数极值与最值例题1．设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（

）A．函数在上单调递增B．函数在上单调递增C．函数在处取得极小值D．函数在处取得极大值【答案】B【解析】由图象可知，函数在上单调递减，A错误；函数在上单调递增，B正确，C错误；函数在处取得极小值，D错误.故选：B.例题2．已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据极大值点的定义结合导函数的图象分析判断即可【详解】由函数极值的定义和导函数的图象可知，在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点．其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．故选：B例题3．导函数的图象如图所示，下列说法正确的个数是（

）①导函数在处有极小值②函数在处有极大值③函数在上是减函数④函数在是增函数A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由的图象可知，故①正确；在两边，所以在无极值，②错误；由图象可知，在上先大于0，后小于0，故在上先增后减，③错误；在上，所以函数在上单调递增，④正确.故选：B例题4．已知函数有极值，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求导，由题设得必有两个不等的实根，再利用判别式求解即可.【详解】由题意知，定义域为R，，要使函数有极值，则必有两个不等的实根，则，解得.故选：D.例题5．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，取得极小值1 B．当时，取得极大值1C．当时，取得极大值33 D．当时，取得极大值【答案】B【解析】【分析】求导可得解析式，令，可得极值点，利用表格法，可得的单调区间，代入数据，可得的极值，分析即可得答案.【详解】由题意得，令，解得或，当x变化时，、变化如下x1+00+极大值极小值所以当时，取得极大值1，故B正确、C、D错误，当时，取得极小值，故A错误，故选：B例题6．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求导，求得其最小值点，再根据在区间上有最小值，由最小值点在区间内求解可得.【详解】因为函数，所以，当或时，，当时，，所以当时，取得最小值，因为在区间上有最小值，且所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C例题7．已知函数在处取得极小值，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．5 D．9【答案】D【解析】，则，即，所以，当且仅当时，等号成立．故选：D．例题8．已知函数有两个不同极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，函数有两个不同极值点有两个不同解有两个不同交点.如图所示，与切于点，故，又，综上可解得，故当时有两个不同交点，故选：C例题9．若函数有两个极值点，则常数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：因为定义域为，，令，函数有两个极值点，则在区间上有两个不相等的实数根，，当时，，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个不相等的实数根，应舍去；当时，令，解得，令，解得，即在上单调递增；令，解得，即在上单调递减．当时，函数取得极大值即最大值．要使在区间上有两个不相等实数根，则，解得，实数的取值范围是，故选：A．类型四：利用导数解决函数不等式问题例题1．若函数在R上可导，且满足，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，函数在上可导，且满足，，时，函数单调递增，（3）（2），即，即，故选：A例题2．设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则，时，，递增，又是奇函数，所以，从而，由得，，，所以是奇函数，所以在时也是增函数，，所以由得，综上，不等式的解为．故选：D．例题3．已知是定义在上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，构造函数，则因为不等式恒成立，所以，即在上单调递增，对于A选项，因为，即，即，故A选项错误对于B选项，因为，即，即，故B选项正确对于C选项，因为，即，即，故C选项错误对于D选项，因为，即，即，故D选项错误故选：B例题4．已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在上的最大值是．，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在上的最小值是，若，，恒成立，则，即，所以，所以实数k的取值范围是．故选:D．例题5．已知不等式恒成立，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设，可知：，问题转化为在上恒成立，令，则，当时，即递增；当时，即递减；所以，故.故选：B例题6．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】由得，令，因为都是单调递增函数，所以为单调递增函数，所以，即对任意时恒成立，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，即.故选：A.例题7．若函数对任意的都有恒成立，则（

）A． B．C． D．与的大小关系不确定【答案】B【解析】：由可得对任意的都成立，设，则对任意的都成立，所以在上单调递增，因为，所以，所以，即，所以.故选：B.例题8．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足，，则不等式的解集为（

）A．（－∞，0） B．（－∞，1）C．（0，+∞） D．（1，+∞）【答案】C【解析】设，则，所以在上单调递减，因为，所以，且，所以由得：结合单调性可得：，解得：，故选：C例题9．已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为当时，，所以．令，则，所以在上单调递减，因为是定义在上的偶函数，所以是上的奇函数，又因为是的导函数，所以的图象连续，故在上单调递减．因为，所以，所以当时，等价于解得；当时，等价于，解得．综上可知，不等式的解集为．故选A．类型五：利用导数比较大小例题1．，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】：由题可知，所以只需比较，，的大小．设，因为，所以，记，∴，∴，∴当时，，所以在上单调递减，故.故选：C．例题2．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则，时，，是减函数，又，所以，即，故选：D．例题3．已知，，，设曲线在处的切线斜率为，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据导数几何意义可得，利用导数可求得在上单调递减；根据大小关系可得结论.【详解】当时，，，，，在上单调递减；，即，.故选：C.例题4．已知函数，设，，，则a，b，c的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：因为，则，所以又时，，所以恒成立所以在上单调递增；又，，所以，则.故选：A.例题5．设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，当时，，则为单调递增函数，当时，，则为单调递减函数，所以，又，，，又，，且在上单调递减，所以，所以.故选：D例题6．设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，，，令，则，所以在为减函数，所以，即，所以，则，即.故选：D例题7．设，，，其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，，，令，，，，故在，上是减函数，故，即，故，即，故选：D．例题8．已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，当，，故在上单调递减，且易知为奇函数，故在上单调递减，由，所以.故选：B.例题9．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：设，，令，解得.，，单调递减，，，单调递增.所以，即，当且仅当时取等号.所以.又，，故，所以；设，，令，解得.，，单调递增，，，单调递减.所以，即，当且仅当时取等号.所以，故，又，所以，故.故选：B.类型六：函数导数的综合应用二热点题型归纳【题型一】利用导数研究函数的零点【题型二】利用导数证明不等式【题型三】利用导数解决不等式恒成立、存在性问题例题1已知函数的定义域为．（1）求的单调区间；（2）讨论函数在上的零点个数【解析】（1），因为，所以的零点为0和1.令，得；令，得或.所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（2）由（1）知，在上的极大值为，极小值为，因为，，所以.，由，得.当或时，的零点个数为0；当或时，的零点个数为1；当或时，的零点个数为2；当时，的零点个数为3.例题2已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）已知，若方程在有且只有两个解，求实数的取值范围.【解析】（1）依题可得，函数的定义域为，所以.当时，由，得，则的减区间为；由，得，则的增区间为.当时，由，得，则的减区间为；由，得或，则的增区间为和.当时，，则的增区间为.当时，由，得，则的减区间为；由，得或，则的增区间为和.（2）.在上有两个零点，即关于方程在上有两个不相等的实数根.令，，则.令，，则，显然在上恒成立，故在上单调递增.因为，所以当时，有，即，所以单调递减；当时，有，即，所以单调递增.因为，，，所以的取值范围是.☆技巧点拨☆1.判断函数零点个数的思路判断函数在某区间[a,b]((a,b))内的零点的个数时,主要思路为:一是由f(a)·f(b)<0及零点存在性定理,说明在此区间上至少有一个零点;二是求导,判断函数在区间(a,b)上的单调性,若函数在该区间上单调递增或递减,则说明至多只有一个零点;若函数在区间[a,b]((a,b))上不单调,则要求其最大值或最小值,借用图象法等判断零点个数.2.利用函数零点情况求参数范围的方法(1)分离参数(a=g(x))后,将问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离,次选分类)求解.(2)利用零点存在性定理构建不等式求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.【题型二】利用导数证明不等式例题3已知函数且.（1）求函数的单调区间；（2）证明：.【解析】（1），，即,解得或.，解得，∴,∴，令，得.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.（2）要证成立，只需证成立.令，则，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又由（1）可得在上，所以，所以，所以原不等式成立.例题4已知函数有两个零点，.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.【解析】（1）解：的定义域为，.①当时，，所以在上单调递增，故至多有一个零点，不符合题意；②当时，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增，所以（i）若，则，故至多有一个零点，不符合题意；（ii）若，则，，由（i）知，∴，∴，.又∵，，故存在两个零点，分别在，内.综上，实数的取值范围为.（2）证明：方法1：由题意得，令，两式相除得，变形得.欲证，即证，即证.记，，故在上单调递减，从而，即，所以得证.方法2：由题意得：由（1）可知，，令，则，则，两式相除得，，，欲证，即证，即证.记，，令，，故在上单调递减，则，即，∴在上单调递减，从面，∴得证，即得证.☆技巧点拨☆1.证明不等式的基本方法(1)利用单调性:若f(x)在[a,b]上是增函数,则①∀x∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b),②∀x1,x2∈[a,b],且x1<x2,有f(x1)<f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则∀x∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m).(3)构造法:如若证明f(x)<g(x),可构造函数F(x)=f(x)g(x),证明F(x)<0.2.证明含双变量不等式的常见思路(1)将双变量中的一个看作变量,另一个看作常数,构造一个含参数的辅助函数证明不等式.(2)整体换元.对于齐次式往往可将双变量整体换元,化为一元不等式.(3)若双变量的函数不等式具有对称性,并且可以将两个变量分离开,分离之后的函数结构具有相似性,从而构造函数利用单调性证明.【题型三】利用导数解决不等式恒成立、存在性问题例题5已知函数f(x)＝eq\f(sinx,x)(x≠0).(1)判断函数f(x)在区间上的单调性；(2)若f(x)<a在区间上恒成立，求实数a的最小值.【解析】(1)f′(x)＝eq\f(xcosx－sinx,x2)，令g(x)＝xcosx－sinx，x∈，则g′(x)＝－xsinx，显然，当x∈时，g′(x)＝－xsinx<0，即函数g(x)在区间上单调递减，且g(0)＝0.从而g(x)在区间上恒小于零，所以f′(x)在区间上恒小于零，所以函数f(x)在区间上单调递减.(2)不等式f(x)<a，x∈恒成立，即sinx－ax<0恒成立.令φ(x)＝sinx－ax，x∈，则φ′(x)＝cosx－a，且φ(0)＝0.当a≥1时，在区间上φ′(x)<0，即函数φ(x)单调递减，所以φ(x)<φ(0)＝0，故sinx－ax<0恒成立.当0<a<1时，φ′(x)＝cosx－a＝0在区间上存在唯一解x0，当x∈(0，x0)时，φ′(x)>0，故φ(x)在区间(0，x0)上单调递增，且φ(0)＝0，从而φ(x)在区间(0，x0)上大于零，这与sinx－ax<0恒成立相矛盾.当a≤0时，在区间上φ′(x)>0，即函数φ(x)单调递增，且φ(0)＝0，得sinx－ax>0恒成立，这与sinx－ax<0恒成立相矛盾.故实数a的最小值为1.例题6已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【解析】（1）函数，定义域为，，当时，令，解得：或，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减；函数的极小值为，函数的极大值为.（2）令，在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零.由得：，，，又，，当时，；当时，，①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，，，，此时不成立，②当，即时，在上单调递减，；由可得：，，；综上所述：实数的取值范围为.【提分秘籍】1.分离参数法解含参不等式恒成立的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下,可以根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量表达式的不等式,只要研究变量表达式的最值就可以解决问题.2.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法(1)a≥f(x)在x∈D上能成立,则a≥f(x)min;(2)a≤f(x)在x∈D上能成立,则a≤f(x)max.3.含全称、存在量词不等式能成立问题(1)存在x1∈A,任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max;(2)任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min.一、单选题1．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【来源】安徽省黄山市20212022学年高二下学期期末数学试题【答案】B【解析】因为函数在上单调递增，所以，则，令，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以，即，所以实数的取值范围为故选：B.2．若过点可以作曲线的三条切线，则（）A． B．C． D．【来源】安徽省安庆市第二中学20212022学年高二下学期期末数学试题【答案】D【解析】由题可得，设切点，则，整理得，由题意知关于的方程有三个不同的解，设，，由，得或，又，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增，当时，当时，，且，，函数的大致图像如图所示，因为的图像与直线有三个交点，所以，即.故选：D.【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.3．已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校20212022学年高二下学期期末考试数学试题【答案】A【解析】【详解】，使得成立，等价为使得成立，由得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，，故在成立，当时，，设，，则，由，得，所以在递减，所以，则在递减，所以，则，所以．故选：A4．定义域为R的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【来源】四川省遂宁市20212022学年高二下学期期末数学文科试题【答案】C【解析】令，则，∴在R上单调递减，又∵，∴，即，∴.故选：C.5．已知函数在处取得极小值，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．5 D．9【来源】河南省商丘市名校20212022学年高二下学期期末数学理科试题【答案】D【解析】，则，即，所以，当且仅当时，等号成立．故选：D．6．已知函数，过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．【来源】山东省枣庄市20212022学年高二下学期期末数学试题【答案】D【解析】设切点为，由，得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，因为点M（1，t）在切线上，所以，化简整理得，令，则，所以当或时，，当时，，所以在和上递减，在上递增，所以的极小值为，极大值为，当时，，所以的图象如图所示，因为过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，所以的图象与直线有三个不同的交点，所以由图象可得，故选：D7．已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【来源】安徽名校20212022学年高二下学期期末联考数学试题【答案】C【解析】：因为，所以，令，则，所以为偶函数，当时，，所以，所以函数在上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，因为，所以，所以，即，解得或.故选：C.8．已知函数的极值点为，若有且只有一个，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【来源】陕西省商洛市20212022学年高二下学期期末理科数学试题【答案】B【解析】因为函数在上有且只有一个极值点，所以在上有且只有一个变号零点，由，得，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，．由，解得．故选：B.9．若函数在上为增函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【来源】安徽名校20212022学年高二下学期期末联考数学试题【答案】A【解析】，因为函数在[2，4]上为增函数，所以在上恒成立，故在上恒成立，故在上恒成立，所以.故选：A10．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（

）A．在区间（－2，1）上，是增函数B．当时，取到极小值C．在区间（1，3）上，是减函数D．在区间（4，5）上，是增函数【来源】湖南省长沙市长郡中学20212022学年高二下学期期末数学试题【答案】D【解析】【分析】由导函数与单调性、极值的关系判断．【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．故选：D．11．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【来源】四川省成都市蓉城名校联盟20212022学年高二下学期期末联考理科数学试题【答案】A【解析】【分析】令，故，原不等式变为，进而令，利用最值分析法，通过对的导数进行讨论，即得.【详解】由题意得，，令，故，故.令，则.若，则，则在上单调递增，又，则当时，，不合题意，舍去；若，则当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增.因为，所以若，则当，，舍去；若，则当，，舍去；若，则，符合题意，故.故选：A【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.12．已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】原命题等价于，再求和解不等式即得解.【详解】，使得成立，则，由题得，当时，，当时，，所以函数在（∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，所以，由题得，∴故选：B.13．已知函数，若对任意的，，且，都有，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【来源】陕西省西安市雁塔区第二中学、渭北中学20212022学年高二下学期期末联考文科数学试题【答案】B【解析】【分析】根据题意可判断函数的单调性，然后转化成导函数的正负问题，参数分离后构造函数即可求解.【详解】由可知:在单调递增.故在上恒成立,记,当时,,则单调递减,当时,,则单调递增,所以在上有最小值为,所以,故选:B14．一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为（），且有三个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【来源】河南省邓州市第一高级中学20212022学年高二下学期期末考前拉练（二）数学（理）试题【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，用a表示，再求出的极大值与极小值，列式求解作答.【详解】由函数求导得：，则，由解得，则有，，当或时，，当时，，则在，上单调递增，在上单调递减，因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，于是得，解得，综上得：，实数a的取值范围是.故选：A.15．已知函数，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【来源】河南省洛阳市20212022学年高二下学期期中考试理科数学试题【答案】D【解析】【分析】分析函数的单调性，设，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得解.【详解】因为，则函数在上单调递减，在上单调递增，不妨设，有，可得，有，令，有，令，可得，由，可得，可得函数的增区间为，减区间为，可得，故的最大值为.故选：D.16．已知函数，（）．若在上恒成立，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【来源】河南省九师联盟20212022学年高二下学期4月联考文科数学试题【答案】D【解析】【分析】在上恒成立，即在上恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案.【详解】解：在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，所以.故选：D.17．已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【来源】福建省泉州市城东中学20212022学年高二下学期期中考试数学试题【答案】B【解析】【分析】先求导由，是极值点，得，进而将不等式恒成立转化为，构造函数求得最小值，即可求出实数的取值范围.【详解】由题意得，，，所以，是方程的两个正根，所以，不等式恒成立，即恒成立；又，则，又，可得，则.令，则，所以在上单调递减，所以，故.故选：B.【点睛】解决极值点问题，通常求导转化为导数根的问题，结合韦达定理可将双变量问题转化为单变量问题；而恒成立问题，通常采用参变分离，转化为函数最值问题，利用导数加以解决.18．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【来源】四川省南充市南部县第二中学20212022学年高二下学期5月月考数学（理）试题【答案】A【解析】【分析】根据给定的含导数的不等式，构造函数，再分段讨论求解不等式作答.【详解】依题意，令，则，即函数在R上单调递增，由知，，当时，不等式为成立，则，当时，，即，于是得，因此有，解得，即得，当时，，同理有，即有，解得或，因此得，综上得，所以不等式的解集为.故选：A19．已知实数，，满足，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【来源】黑龙江省大庆实验中学20212022学年高二实验一部下学期期末考试数学试题【答案】C【解析】由，得，设，则，当时，，单调递增，因为，所以，所以，故，则，即有，故.故选：C.20．已知是定义在的减函数.设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【来源】四川省成都市第七中学20212022学年高二下学期期中数学文科试题【答案】B【解析】令且，则，所以上，即递减，故，则，又，即，由在的减函数，则.故选：B二、多选题21．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．函数在上递减，在上递减B．函数在上递增，在上递增C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值【来源】福建省漳州市第一外国语学校（漳州八中）20212022学年高二下学期3月月考数学试题【答案】BD【解析】：由图可知：当时，，故在上单调递增；当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增；故函数在时取得极大值，在时取得极小值，即函数有极大值和极小值；故选：BD．22．已知函数，下列结论正确的是（

）A．当时，的图像关于y轴对称B．当时，的图像关于点中心对称C．，使得为上的增函数D．当时，若在上单调递增，则的最小值为【来源】江苏省无锡市普通高中20212022学年高二下学期期末数学试题【答案】BCD【解析】【分析】时，，，是奇函数，A错；时，，，所以的图象关于点对称，B正确；，，当时，恒成立，在上递增，C正确；，，，所以有两个不等的实根，设，在或时，，时，，即在上单调递增，，，，所以时，取得最小值，即取得最小值，D正确．故选：BCD．23．定义在R上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论错误的是（

）A．是的一个极小值点 B．的单调递增区间是C．的单调减区间是 D．和都是的极值点【来源】四川省盐亭中学20212022学年高二下学期第四学月教学质量测试数学（理）试题【答案】ABC【解析】，且在的左侧，，右侧，是极小值点，A正确；虽然，但在的两侧，都有，因此不是极值点，，也不是极值点，D错误；在上，恒成立，的解只有一个，因此此时递增，B正确；时，，是的减区间，C正确．故选：ABC．24．对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（

）A．使的一定是函数的极值点B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调【来源】重庆市三峡名校联盟20212022学年高二下学期联考数学试题【答案】ABC【解析】A选项，的不一定是函数的极值点，比如在处导函数的值为0，但不是的极值点，A说法错误；在R上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如为单调递增函数，在处导函数值为0，故在R上单调递增不是在R上恒成立的充要条件，B说法错误；若函数既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如，在处取得极大值2，在处取得极小值2，极小值大于极大值，故C说法错误；根据极值点和极值的定义可以判断，若在R上存在极值，则它在R一定不单调，D说法正确.故选：ABC三、填空题25．已知偶函数若方程有且只有6个不相等的实数根，则实数m的取值范围为_______．【来源】陕西省渭南市富平县20212022学年高二下学期期末理科数学试题【答案】【解析】(1)当时，由得；由得.所以在上单调递增，在上单调递减.，.(2)当时，，于是可画出右边的函数图象，又因为为偶函数，其图象关于y轴对称，从而可画出左边的图象.由图象知：.故答案为：.26．已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为___________．【来源】福建省厦门外国语学校20212022学年高二下学期数学期末模拟试题（2）【答案】1【解析】先证明：，证明：设，故，当时，，当时，，故在为减函数，在上为增函数，故，故.设，则且即，故，由的性质可得，当且仅当时等号成立，故，故答案为：1.27．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是______．①，，，；②，，，；③，，，；④，，，．【来源】人教A版（2019）选修第二册实战演练全册综合验收检测【答案】①【解析】由图知，由可得由图知当或时，单调递增，当时，单调递减，，的大致图象如图所示：所以，因为和是的两个极值点，即的两根为和，，，所以，可得，，综上所述：，，，，故答案为：①.28．已知函数，，若，则的最小值为______.【答案】【解析】设，即，，解得，，所以，令，则，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以的最小值为.故答案为：.29．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；②函数有2个零点；③的解集为；④，都有.其中正确的命题是___________.【来源】第08周周练（拓展三：利用导数研究函数的零点问题；拓展四：利用导数研究方程的根）【周测打卡】20212022学年高二数学同步好题好卷周周练（人教A版2019选择性必修第二册）【答案】①④【解析】①当，则，由，而，故正确；②时，，故在上递增，上递减且极大值为、有，值域为；由题设知：在上递增，上递减且极小值为、有，值域为，又，易知共有3个零点，故错误；③由②知：的解集为，故错误；④由②知：时有，即都有，故正确.故答案为：①④30．设函数，若，则函数有_____个零点；若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是________.【来源】北京市昌平区20212022学年高二下学期期末质量抽测数学试题【答案】

3

【解析】解：当时，，时，令，即，解得或，时，，易知在上单调递减，又，所以由函数零点存在定理可得在上有且只有一个零点，综上，时，函数有3个零点；因为函数有且仅有两个零点，所以由第一空的解答可知，当时，方程，即无解，令，则，令，可得，令，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又时，；时，，且，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：3；.31．已知函数，则的极小值为___________；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是___________.【来源】天津市部分区20212022学年高二下学期期末数学试题【答案】

【解析】由，得，令，得，列表如下：递减极小值递增所以，函数的极小值为；（2），，使得，即，.①当时，函数单调递增，，，即；②当时，函数单调递减，，，即；③当时，，不符合题意.综上：.故答案为：；.五、解答题32．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的最大值和最小值.【来源】广东省广州市南沙区20212022学年高二下学期期末数学试题【答案】(1)(2)最大值为，最小值0【解析】（1）解：，则，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）解：，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，又，所以函数在上的最大值为，最小值0.33．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【来源】安徽省黄山市20212022学年高二下学期期末数学试题【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）解：由知定义域为，且①时，在上，故在上单调递增；②时，当时，时，故在上单调递增，在上单调递减.（2）解：由得，令①当时，在，恒成立，所以不可能；②当时在上单调递减且，当时，，故在上存在，使得时，，则在上单调递增，所以与题不符.

当时，，所以在上单调递减，所以，符合题意.综上所述，34．已知函数.(1)当时，求函数的单调区间：(2)若在恒成立，求实数的取值范围.【来源】江苏省南京市六校联合体20212022学年高二下学期5月联考数学试题【答案】(1)答案见解析(2)【解析】(1)当时设，则即在递减，在递增，当，当而当所以当递减；递增.故函数增区间为，减区间为(2)，令在递增，而，，使，即当时，在递减，当时，在递增因为可变形为又在递增，由（**）可得故取值范围为35．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个极值点，，且，当时，求的取值范围．【来源】安徽省滁州市20212022学年高二下学期期末数学试题【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）解：的定义域为，，令，当，即时，在上恒成立，故此时是增函数；当，即时，有两个正根，，或，显然，此时的单调递增区间为，，单调递减期间为；同理当时，在上恒成立，故此时是增函数；综上可知：当时，是增函数；时，的两根为，或，此时的单调递增区间为，，单调递减区间为.（2）解：由（1）知，，再令当，的两个极值点为的两个互异实根，，且，，则，即，显然，由整理得，所以，而，将代入上式整理得，再将代入上式得：，，令，，在上恒成立，故在上单调递减，，，且，即的取值范围为.36．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围.【来源】甘肃省金昌市永昌县第一高级中学20212022学年高二下学期期末数学（理）试题【答案】(1)当时函数，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增(2)【解析】(1)函数的定义域是且当时，，从而，函数在上单调递减；当时，若，则，从而；若，则，从而，所以函数在上单调递减，在上单调递增.(2)由（1）可知，函数的极值点是，若，则.若在上恒成立，即在上恒成立，只需在上恒成立.

令，则，易知为函数在内唯一的极小值点，也是最小值点，故，即=，故只要即可.所以b的取值范围是.37．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，若对任意恒成立，求整数的最大值.【来源】黑龙江省哈尔滨市第六中学校20212022学年高二下学期期末数学试题【答案】(1)答案见解析(2)3【解析】(1)解：∵,，所以，当时，，∴的单调递增区间为，当时，令，∴，当时，当时，∴的单调递增区间为，单调递减区间为当时，令，∴，当时，当时，∴的单调递增区间为，