96三定问题及最值问题（基础）

9.6三定及最值问题（基础）一、解答题1．（2021·黑龙江大庆中学高三月考（文））已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）椭圆过点，即，；，又，，椭圆的方程为：.（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，则，，解得：，直线方程为；当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组得：，设，则，（*），则，将*式代入化简可得：，即，整理得：，代入直线方程得：，即，联立方程组，解得：，，直线恒过定点；综上所述：直线恒过定点.2．（2021·黑龙江哈尔滨·哈师大附中高三月考（理））已知，分别是椭圆的左，右焦点，，当在上且垂直轴时，.（Ⅰ）求的标准方程；（Ⅱ）A为的左顶点，为的上顶点，是上第四象限内一点，与轴交于点，与轴交于点.求证：四边形的面积是定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）由题意知，，，则，得，又，，解得，所以E的标准方程是；（Ⅱ）由题意知，，设，，，因为A，，M三点共线，则，解得，B，，M三点共线，则，解得，，，，.所以四边形的面积.所以四边形的面积是定值.3．（2021·南京市中华中学高三月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，右顶点A(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P(4，0)，连接PM交椭圆C于另一点E.求证：直线NE过定点B，并求出点B的坐标.【答案】(1)；(2)证明见解析，定点B(1，0).【解析】(1)设椭圆C的标准方程为：(a>b>0)，焦距为2c，由题意得，a=2，由=，可得c=1，则b2=a2c2=3，所以椭圆C的标准方程为；(2)证明：根据对称性，直线NE过的定点B一定在x轴上，由题意可知，直线PM的斜率存在，设直线PM的方程为:y=k(x+4)，联立，消去y得到，设点M(x1，y1)，E(x2，y2)，则N(x1，y1)，所以x1+x2=，x1x2=，所以NE的方程为yy2=(xx2)，令y=0，得，将，代上式并整理，得，整理得，x=，所以直线NE与x轴相交于定点B(1，0).4．（2021·黑龙江大庆中学高三月考（理））已知曲线C的极坐标方程为.（1）若直线过原点，且被曲线C截得弦长最短，求此时直线的标准形式的参数方程；（2）是曲线C上的动点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为曲线C的极坐标方程为，所以，因为，所以，即；当直线过原点，且被曲线C截得弦长最短时，则，则，直线的普通方程为，则其参数方程为；（2）设，当圆心到直线的距离等于半径时，即，解得，所以的最大值是.5．（2021·大埔县虎山中学高三月考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右焦点分别为，直线交双曲线C于M，N两点.（1）若M（2，3），四边形的面积为12，求双曲线C的方程；（2）若，且四边形是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)因为直线y=kx交双曲线C于M，N两点，所以M，N两点关于原点对称，从而四边形是平行四边形.设双曲线C的焦距为2c，则四边形的面积，解得c=2，从而F1(2，0)，F2(2，0)，所以于是，解得所以双曲线C的方程为(2)设，则由得因为所以，化简得因为，所以由，得，解得由得，解得.因此，e的取值范围为6．（2021·江苏省如皋中学高三月考）己知抛物线，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于两点，交抛物线于两点，当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为.（1）求抛物线的标准方程；（2）已知为坐标原点，线段的中点为，线段的中点为，求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由可化为，则.当A的横坐标为1时，抛物线C在A处的切线斜率为，∴，即，∴抛物线C的标准方程为.（2）由（1）知：点T坐标为(0,2)，由题意知，直线和斜率都存在且均不为0，设直线为，由，联立消去y并整理得，，设，，则，，∴，又M为AB中点，则，∵，N为EF中点，则直线为，联立抛物线可得，∴，，则∴，∴直线MN为，整理得，∴直线MN恒过定点(0,4).7．（2021·郸城县第一高级中学高三一模（文））在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）设直线与圆交于，两点，为圆上不同于，的动点，若满足面积为的点恰有两个，求的取值范围．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由（为参数）得，故直线的普通方程为；由及公式得，即圆的直角坐标方程为．（2）圆化为标准方程是，圆心为，半径．因为圆心到直线：的距离，，因为满足面积为的点恰有两个，所以，解得的取值范围为．8．（2021·上海普陀·曹杨二中）如图，已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A､B两点，与y轴交于点M.（1）若，求k的值；（2）求证：直线与直线的倾斜角互补.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设联立直线与抛物线可得由，可得由，又代入可得（2）由抛物线结合（1）中，所以直线与直线的倾斜角互补9．（2021·孟津县第一高级中学高三月考（理））已知椭圆过点，（1）求的方程；（2）记的左顶点为，上顶点为，点是上在第四象限的点，，分别与轴，轴交于，两点，试探究四边形的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值.【解析】（1）依题意，解得，故的方程为.（2）是定值.理由如下：依题意，，设，则，所以直线，令，则；直线，令.则，又易知，所以四边形的面积为，所以四边形的面积为.10．（2021·广东高三月考）双曲线的右焦点为F，以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切．（1）求C的离心率；（2）已知点，过F点的直线与C的右支交于M，N两点，证明：F点到的距离相等．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)双曲线的渐近线方程为，令点，则，因以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切，则，整理得，所以双曲线C的离心率为；(2)由(1)知，双曲线C的方程为：，点，显然直线MN不垂直于y轴，设直线MN：，因直线MN与双曲线右支交于两点，则直线MN与双曲线的两条渐近线在y轴右侧都相交，于是得，由消去x得：，设，则，直线AM的斜率，同理，直线AN的斜率，于是得，因此，直线AM与AN的倾斜角互补，则直线AM与AN关于x轴对称，而点F在x轴上，所以点F到直线AM与AN的距离相等.11．（2021·河南高三月考（文））已知过点的动圆与直线相切，该动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）过点的直线交于点，，过点且斜率为的直线与交于异于，的一点，证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】解：由题意可知，上的点到的距离与到直线的距离相等，根据抛物线定义，为焦点在轴上的抛物线，设的方程为，则，即，故的方程为.（2）证明：设，，，因为，，在抛物线上，所以，，，当时，，直线的斜率，直线的方程为，整理得，当时，，方程为，所以，也符合上式，故直线的方程为，①同理，直线的方程为，②直线的方程为.③因为直线过点，所以，因为，在抛物线上，所以，，④直线的斜率，所以，即，⑤由④⑤，得，得，⑥⑥代入③，得直线的方程为，即，该直线过定点.12．（2021·广东广州·高三月考）已知抛物线的焦点为．点在上，．（1）求;（2）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由．【答案】(1)；（2）是定值，.【解析】（1）因为点在上，所以①，因为，所以由焦半径公式得②，由①②解得所以.（2）由（1）知抛物线的方程为，焦点坐标为，当直线与轴平行时，此时的方程为，的方程为，，此时为等腰直角三角形且，故.当直线与轴不平行且斜率存在时，若为定值，则定值比为，下面证明.要证明，只需证明，只需证，即，设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，联立方程得，设，则，所以，，联立方程得，所以，所以，所以，即，所以.综上，为定值，.13．（2021·江苏高三月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点F的直线l交C于A，B两点，线段的中点为M，分别过A，B作C的切线，，且与交于点P，证明：O，P，M三点共线.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】l的方程为：，联立方程后结合根与系数的关系计算即可证明三点共线.【详解】（1），椭圆方程为.（2）由题意知斜率不为0，设直线l的方程为：，，，，，由，即.，，.直线的方程为：①，直线的方程为②，，，，，即O，P，M三点共线.14．（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）设椭圆：的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，两点，且，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设F(－c，0)，由，知．过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有，解得，于是，解得，又，从而，c＝1，所以椭圆的方程为．（2）设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0．求解可得x1＋x2＝，x1x2＝．因为A(，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝．由已知得，解得k＝．15．（20