专题9立体几何中的表面积与侧面积问题-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题9：立体几何中的表面积与侧面积问题（解析版）⑴圆柱侧面积；⑵圆锥侧面积：⑶圆台侧面积：球的表面积和体积.正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。1．在底面半径为2，高为的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1：4，求圆柱的表面积.【答案】【分析】由圆柱、圆锥的底面面积比可得圆柱的底面半径和高分别为1、，进而求其表面积即可.【详解】由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1:4，知：底面半径比为1:2，即圆柱底面半径，若设圆柱的高为，则有，即，∴由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积，即：.【点睛】本题考查了圆柱的表面积计算，由圆锥内接圆柱及底面面积比求圆柱表面积，属于简单题.2．已知圆锥的底面半径为1，高为，求圆锥的表面积.【答案】.【分析】先求圆锥的侧面积，再求底面积，即可得答案；【详解】解：设圆锥的母线长为，则，所以圆锥的表面积为.【点睛】本题考查圆锥的表面积求解，考查运算求解能力，属于基础题.3．已知圆台的上、下底面半径分别是2，6，且侧面面积等于两底面面积之和.（1）求圆台的母线长.（2）求圆台的表面积.【答案】（1）5（2）80π【分析】（1）由圆台的侧面积公式与两底面圆的面积之和的关系构建方程，求得母线；（2）由（1）可得圆台的母线，再由圆台的表面积的公式求得答案.【详解】（1）设圆台的母线长为l，则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，∴8πl＝40π，∴l＝5，∴该圆台的母线长为5；（2）由（1）可得圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.【点睛】本题考查由圆台的性质求圆台的母线与表面积，属于基础题.4．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积.【答案】160【分析】由于该直四棱柱的底面是菱形，所以求其中一个侧面的面积乘以4即可，由菱形其对角线垂直于勾股定理求得底面边长，再由矩形面积公式求得答案.【详解】如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝＝＝＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.【点睛】本题考查求直四棱柱的侧面积，属于基础题.5．若长方体的三个面的面积分别是，求：（1）长方体的体对角线的长；（2）长方体的表面积.【答案】（1）.（2）【分析】（1）设长方体的长，宽，高分别为，根据已知条件列出方程，求出，即可求出对角线；（2）根据已知条件，即可求解.【详解】（1）设长方体的长，宽，高分别为，如图.可令解得，，∴该长方体的体对角线长为.（2）.【点睛】本题考查长方体面的面积与边长的关系，明确长方体的对角线与长、宽、高的关系，属于基础题.6．如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积.【答案】【解析】【分析】因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.【详解】解：因为是正三角形，其边长为，所以.因此，四面体的表面积.【点睛】本题考查锥体的表面积，是基础题.7．已知一个正三棱锥的侧面都是等边三角形，侧棱长为，求它的侧面积和全面积.【答案】，【分析】由题意可知，该几何体是边长为的正四面体，然后利用等边三角形的面积公式可计算出该几何体的侧面积和全面积.【详解】由于正三棱锥的侧面都是等边三角形，则该几何体为正四面体，所以，，.【点睛】本题考查正四面体侧面积和表面积的计算，考查计算能力，属于基础题.8．正四棱台两底面边长分别为和.（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设、分别为上、下底面的中心，过作于，过作于，连接，则为正四棱台的斜高，求出斜高即可求出侧面积；（2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.【详解】（1）如图，设、分别为上、下底面的中心，过作于，过作于，连接，则为正四棱台的斜高，由题意知，，又，∴斜高，∴；（2）由题意知，，∴，∴，又，.9．如图，四棱锥的底面是正方形，为的中点，，，，.（1）证明：平面.（2）求三棱锥的侧面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）要证明平面，只需证明，即可；（2）只需计算，，的面积，相加即可.【详解】（1）证明：因为为的中点，，所以，所以，从而.又，，所以底面，所以.因为四边形是正方形，所以.又，所以平面.（2）由（1）知平面，因为∥，所以平面，因为平面，所以，所以的面积为.易证，所以的面积为.故三棱锥的侧面积为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及三棱锥侧面积的计算问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题.10．如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，面平面ABCD．（1）证明：平面BDE；（2）若为等边三角形，，，三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积.【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）通过面面垂直，找出交线，通过证明垂直于交线即可证明线面垂直；（2）通过三棱锥的体积，求得四边形的边长，利用几何关系解得所有棱长，再计算棱锥的侧面积.【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以，因为面平面ABCD，面面，故平面BDE.（2）设，在菱形ABCD中，由，可得，.因为，所以在中，可得.由，知为直角三角形.可得.又由（1）知，易得面ABCD所以三棱锥的体积：.故.从而可得.又在中，，，求得边上的高.的面积与的面积均为.的面积与的面积均为.故四棱锥的侧面积为.【点睛】本题考查由面面垂直，推证线面垂直，以及棱锥侧面积的求解，属垂直关系综合基础题.11．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA＝SB＝SC＝SD，点E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，点P是MN上的一点．（1）证明：EP∥平面SBD；（2）求四棱锥S﹣ABCD的表面积．【答案】（1）证明见解析（2）．【分析】（1）根据已知条件可证平面EMN∥平面SBD，即可证结论；（2）四棱锥的各侧面为全等的等腰三角形，只需求出底边的高，求出侧面积，即可求出全面积.【详解】（1）证明：连接BD，EM，EN，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，∵BD⊂平面SBD，EM⊄平面SBD，∴EM∥平面SBD，∵SD⊂平面SBD，MN⊄平面SBD，∴MN∥平面SBD，又EM⊂平面EMN，MN⊂平面EMN，MN∩EM＝M，∴平面EMN∥平面SBD，而EP⊂平面EMN，则EP∥平面SBD；（2）解：在四棱锥S﹣ABCD中，由底面ABCD是边长为2的正方形，SA＝SB＝SC＝SD，可知四棱锥S﹣ABCD是正四棱锥，又E为BC的中点，连接SE，则SE为四棱锥的斜高，可得，∴四棱锥S﹣ABCD的表面积S．【点睛】本题考查面面平行的判定以及性质，考查正四棱锥的表面积，属于基础题.12．如图，在三棱柱中，平面ABC.（1）证明：平面平面（2）求三棱锥的表面积.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）要证明面面垂直，关键是证明线面垂直，根据条件转化为证明平面，再转化为证明和；（2）根据（1）的垂直关系，计算各个棱长，分别求四个面的面积.【详解】（1）证明：因为平面ABC，所以因为.所以.即又.所以平面因为平面.所以平面平面（2）解：因为⊥平面ABC，所以则，又，所以是等边三角形，故又所以三棱锥的表面积为【点睛】本题考查面面垂直的证明和计算几何体表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是第一问，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.13．A、B、C是球O表面上三点，AB=6㎝，∠ACB=30°，点O到△ABC所在截面的距离为5㎝，求球O的表面积．【答案】【分析】根据正弦定理求出ABC截面圆的半径，再由距离求出球的半径，再求出其表面积。【详解】在中【点睛】根据正弦定理求出ABC截面圆的半径，再由距离求出球的半径，再求出其表面积。14．已知是球的球面上两点，，为球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36，求球的表面积.【答案】【分析】如图所示，当面时，三棱锥的体积最大，根据体积计算半径得到答案.【详解】如图所示：当面时，三棱锥的体积最大此时，设球的半径为，则，.【点睛】本题考查了球的表面积，确定垂直时体积最大是解题的关键.走进高考1．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）如图，在四棱锥中，，且.（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】试题分析：（1）由，得，．从而得，进而而平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）设，取中点，连结，则底面，且，由四棱锥的体积为，求出，由此能求出该四棱锥的侧面积.试题解析：（1）由已知，得，．由于，故，从而平面．又平面，所以平面平面．（2）在平面内作，垂足为．由（1）知，面，故，可得平面．设，则由已知可得，．故四棱锥的体积．由题设得，故．从而，，．可得四棱锥的侧面积为2．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，（I）证明：平面平面；（II）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.【答案】（1）见解析（2）3+2【分析】（1）由四边形ABCD为菱形知ACBD，由BE平面ABCD知ACBE，由线面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（2）设AB=，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在AEC中，用x表示EG，在EBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥的体积为求出x，即可求出三棱锥的侧面积.【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（2）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.因为AEEC，所以在AEC中，可得EG=.连接EG，由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.

由已知得，三棱锥EACD的体积.故=2从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为.【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力.3．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中，，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；（2）求图2中的四边形的面积.【答案】(1)见详解；(2)4.【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所以易证.(2)欲求四边形的面