重点01平面向量最值（范围）问题及“四心”问题

重点01平面向量最值（范围）问题及“四心”问题题型一 最值（范围问题）1.定义法例1．设非零向量若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量模的性质和数量积公式，分析余弦的范围，即可得的取值范围.【详解】解：由题意，，，，故选：B.例2．已知平面非零向量满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根据向量数量积的定义和关系，把的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可．【详解】设非零向量，的夹角为.，所以，由两边平方得：，，，即，即，，，即当时，取得最小值，最小值为8.故选：C．练习1．已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分析取最小值的状态，结合数量积的意义和二次函数可求答案.【详解】由题意，为钝角时，取到最小值；如图，为的中点，在上的投影向量为；由可知当在上的投影长最长时，即与圆相切时，可取到最小值；，当时，，所以的最小值为.故选：B.练习2．如图，设圆M的半径为2，点C是圆M上的定点，A，B是圆M上的两个动点，则的最小值是________.【答案】【分析】延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，在上的投影最小，设，将结果表示为关于的二次函数，求出最值即可.【详解】如图，延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，等于在上的投影与之积，当点A运动到A1时，在上的投影最小；设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；设CP=x，则CD=2，CB=2，=，，所以当时，最小，最小值为，故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.练习3．在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．【答案】【分析】根据平面向量运算法则得到，利用数量积公式得到，设，从而得到，结合求出取值范围.【详解】因为是的中线，所以，故，因为，设，则，所以，故当时，取得最小值，最小值为，当或3时，.故答案为：.练习4．若，且，则向量与的夹角为________，的最大值为________．【答案】/【分析】由即可求，结合已知条件可得在过点垂直于的直线上，而在以为圆心，1为半径的圆周上，应用数形结合法判断的最大时的位置，即可确定最大值.【详解】由，可得，所以由可得,所以在过点垂直于的直线上，故向量与的夹角为；而在以为圆心，1为半径的圆周上，若，如下图示，∴，要使的最大，只需共线，在上的投影最大，由图知：共线且P在线段AB上时，的值最大为.故答案为：，.练习5．已知是边长为1的正六边形内的一点，则的取值范围是__________.【答案】【分析】画出图形,结合图形，利用平面向量的几何意义判断求解即可.【详解】画出图形如图，，它的几何意义是的长度与在向量上的投影的乘积，由图可知，在处时，取得最大值，，此时，可得，即最大值为.在处取得最小值，此时，最小值为，因为是边长为1的正六边形内的一点，取不到临界值，所以的取值范围是.故答案为：.2.基底法例3．如图，在菱形ABCD中，，.(1)若，，求；(2)若菱形的边长为6，求的取值范围.【答案】(1)16(2)【分析】（1）利用已知向量，表示要求数量积的两个向量，然后求解即可；（2）利用向量的数量积，结合三角函数的有界性，求解即可.【详解】（1）在菱形中，有，且，，又∵，∴，∴.（2）∵菱形，∴，，则，∵，∴，∵，∴，∴的取值范围是：.例4．已知是边长为2的等边三角形，D为边的中点，E为边上任一点（包括端点），F在线段延长线上，且．(1)当最小时，求的值；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，把转化为，由求出，从而可知当时，最小，把转化为用表示，再把代入即可求出的值；（2）把转化为用表示，化简为只含变量的二次函数，用二次函数求最值的方法即可求得的取值范围．【详解】（1）如图，设因为，所以当时，最小，此时.（2）由（1）知，故，因为，因为，所以.练习6．已知正方形的边长为，为该正方形内切圆的直径，在的四边上运动，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出，求得的最大值，由此可求得的最大值.【详解】如下图所示：由题可知正方形的内切圆的半径为，设该内切圆的圆心为，，由图象可知，当点为的顶点时，取得最大值，所以的最大值为.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.练习7．菱形中，，点是线段上的动点（包括端点），则的最小值为__________.【答案】/【分析】设，运用向量的线性运算和数量积运算得，设，利用二次函数的性质可求得的最小值.【详解】解：不妨设，则，所以，因为，所以，设，则，对称轴为，所以，所以的最小值为.故答案为：.练习8．如图，在中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足．（1）若，用向量，表示；（2）若，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据向量的线性运算法则即可求出．（2）根据向量的加减的几何意义，得到，即可求出范围．【详解】（1）若，则，，，则．（2），，，，，且，．，，的取值范围为．练习9．梯形中，，，，，点在线段上运动.(1)当点是线段的中点时，求；(2)求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据题意求得，将目标向量表达为，结合向量的数量积运算即可求得结果；（2）选定，为基底，表达目标向量，再根据平面向量共线定理，设，将数量积表达为的函数，再求函数最大值即可.【详解】（1）根据题意，作图如下：由题意，，.（2）设，，所以时，的最大值是．练习10．已知中，，，点为线段上的动点，动点满足，则的最小值等于_____．【答案】．【详解】令，，设（），∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是，故填：．3.坐标法例5．已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的中点，则的值为__________，若点E是AB边上的动点，则的最大值为__________．【答案】11【分析】分别以为轴建立平面直角坐标系，得出向量，，的坐标，利用向量数量积的坐标运算得出答案.【详解】如图分别以为轴建立平面直角坐标系.

则，,，若点E是AB边上的中点，则，所以所以；若点E是AB边上的动点，设，所以，所以，由，可得，所以当时，的最大值为1故答案为：1；1例6．已知在中，为平面内一点，则的最小值是__________.【答案】【分析】先用余弦定理求出，建立坐标系，再用坐标的方法求解.【详解】

由余弦定理得：，以B点为原点，BC为x轴，建立直角坐标系如图，则A点的横坐标为，纵坐标为，即，设，则，，当时，上式最小=6；故答案为：.练习11．如图，在四边形中，，，，且，.

(1)求实数的值；(2)若，是线段上的动点，且，求的最小值.【答案】(1)(2)11【分析】（1）根据和向量的数量积定义求解即可；（2）方法1，以，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设，用表示出，根据二次函数的性质得出最小值；方法2：由向量的线性运算表示出，求出的最小值即可得出答案.【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，又，∴，∴.（2）如图，过点作，垂足为，

则，，，（方法1）以为原点，以，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则，设，，，∴，，∴，∴当时，取得最小值11.（方法2）设线段的中点为，则当于点时，，所以的最小值为.练习12．（多选）如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则（

）

A．B．实数的值为C．D．若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为【答案】BCD【分析】根据数量积的运算，结合已知条件，即可判断A、B；根据图形，表示出，然后根据数量积的运算律，即可得出C项；建立平面直角坐标系，得出的坐标，根据数量积的坐标表示，得出，配方根据二次函数的性质，即可得出最小值.【详解】对于A项，因为，故A项错误；对于B项，因为，所以，，所以，，所以，所以，，故B项正确；对于C项，，所以，，故C正确；对于D项，如图，建立平面直角坐标系，

由题意可知，，，，则，不妨设，，则，所以，，，所以，，所以，当时，有最小值为，故D正确.故选：BCD.练习13．在平面直角坐标系中，已知，，，为轴上两个动点，且，则的最小值为________.【答案】【分析】设，的坐标，利用向量的坐标运算求解.【详解】设，1.若，则，可得，当时，取到最小值；2.若，则，可得，当时，取到最小值；综上所述：取到最小值.故答案为：.练习14．在平面直角坐标系中，，，点在线段上运动，则的取值范围为___________.【答案】【分析】求出线段满足的方程，设出点的坐标，从而可表示出，化简后利用二次函数的性质可求出其范围.【详解】由题意可知线段满足的方程为，设，则，因为，所以，因为，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值4，所以的取值范围为，故答案为：练习15．在平面四边形中（如图所示），，若点为边上的动点，则的最小值为_____________；

【答案】/【分析】以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示建立函数关系求解作答.【详解】因，则以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，过点C作于G，作于F，因为，所以，即，于是有，，则，而，则有，设，所以，所以，当时，，所以的最小值为.故答案为：.题型二 “四心”问题1.内心例7．已知，是其内心，内角所对的边分别，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合平面向量线性运算以及正弦定理等知识求得正确答案.【详解】延长，分别交于.内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形和三角形中，由正弦定理得：，由于，所以，，同理可得，，.所以，则.故选：C例8．在△中，，，，O为△的内心，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的减法法则化简题中的等量关系，结合三角形内心的性质得到系数的关系求解.【详解】由得，则，因为O为△的内心，所以，从而，解得，，所以.故选：C.练习16．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.【详解】，令，则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在的平分线上，，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：B练习17．已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（

）A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心【答案】B【分析】利用平面向量基本定理及向量数量积的运算可求得，由此可得点I在的平分线上，同理可得，点I在的平分线上，由三角形内心的性质可得选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以在角A的平分线上，故点I在的平分线上，同理可得，点I在的平分线上，故点I在的内心，故选：B.练习18．在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，根据三点共线可得，结合图像分析运算．【详解】如图：圆O在边上的切点分别为，连接，延长交于点设，则，则设∵三点共线，则，即即故选：D．练习19．在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为______．【答案】【分析】设，根据共线向量的几何意义和二倍角公式解答．【详解】延长AO交BC于D，设BC与圆O相切于点E，AC与圆O相切于点F，则OE＝OF，则，设，因为B、C、D三点共线，所以，即，因为，，所以，所以．故答案是：练习20．已知点P为的内心，，若，则______．【答案】【分析】根据余弦定理可求,进而根据切线长定理可求，进而根据数量积的运算以及几何意义即可求解.【详解】在，由余弦定理得,设分别是边上的切点，设，则，所以，由得，，即，①同理由,②联立①②以及即可解得：，故答案为：2.外心例9．如图，O为的外心，，，为钝角，是边的中点，则_________.

【答案】10【分析】运用向量加法法则可得，再结合三角形外心性质、平面向量数量积定义及运算求解即可.【详解】取的中点，连接，取的中点，连接，如图所示，

因为为的外心，则，所以，因为为的外心，则，所以，又是边的中点，根据平行四边形法则有：，所以.故答案为：10.例10．在中，为的外心，则__________.若，则的值为__________.【答案】/【分析】由余弦定理求得，利用正弦定理求得外接圆的半径为，结合，再由外心是三边中垂线的交点，结合向量数量积的几何意义，列出方程组，求得，即可求解.【详解】在中，因为，由余弦定理得，所以，设的外接圆的半径为，可得，所以，如图所示，因为外心是三边中垂线的交点，则有，即，又因为，可得，所以，解得，所以.故答案为：，.

练习21．已知O为的外心，，则（

）A．的最小值为，此时为直角三角形B．的最大值为，此时为直角三角形C．的最小值为，此时为等边三角形D．的最大值为，此时为等边三角形【答案】D【分析】将题设中向量式转化为，故可根据三点共线及的几何意义可得其取值范围，故可得正确的选项.【详解】若，则，此时为钝角三角形.当时，如图，设直线交直线于点D，不失一般性，记，则，故可得，若，则，而，故，若，此时，而，当且仅当为等边三角形时取最小值（此值为等边三角形的高），故此时，综上，的取值范围是．当为等边三角形时，以取得最大值为，故选：D.练习22．设点O是的外心（外接圆圆心），，求的值．【答案】【分析】可画出图形，并将O和AC中点D相连，O和AB的中点E相连，从而得到，根据数量积的计算公式及条件可得出，而，即可得出的值．【详解】如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则，，.练习23．在中，，O为三角形的外心，则为______．【答案】8【分析】作出图形，利用余弦定理求出角的余弦值，利用同角三角函数的关系求出，再利用正弦定理得到外接圆的半径，再次利用余弦定理求出与的夹角即可求解.【详解】如图，连接，在中，由余弦定理可得，，则，在中，由正弦定理可得，，则，所以，在中，由余弦定理可得，，所以，故答案为：.练习24．在中，，，O为的外心，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，且，则_______.【答案】【分析】先求出.设则.由，利用二倍角公式求出，根据数量积的定义直接求解.【详解】如图示，作出的外接圆O，设半径为R.由正弦定理得：,即，解得：，所以.设则.所以.因为O为的外心，所以,所以.同理：,.因为，所以，所以.由二倍角的余弦公式可得：.所以.故答案为：.【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．练习25．在中，，，，为的外心，若，，，则______.【答案】【分析】利用三角形外心的性质及数量积的几何意义计算即可.【详解】如图所示，取AB中点E，则由三角形的外心的性质及数量积的几何意义，可得：，同理可知：，故，，而，，，则，即，，则，，则，所以.故答案为：3.垂心例11．在中，若，则点H是的（

）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心【答案】A【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断.【详解】因为，则，所以，即点H在边的高线所在直线上，同理可得：，所以点H为的三条高线的交点，即点H是的垂心.故选：A.例12．已知H是的垂心，，则的最大内角的正弦值是_________．【答案】【分析】利用五心的向量表达式可求，结合三角形中的恒等式可求最大内角的正弦值.我们也可以利用求出内角的余弦值，从而可求最大角的正弦值.【详解】法1：根据三角形五心的向量表达，有，设分别为，根据三角恒等式，可得，因此的最大内角的正切值为，因此最大内角的正弦值为．法2：因为H是的垂心，故，设，则，故，同理，，，而，故，同理，，，因为，故最大，故.故答案为：练习26．是所在平面上一点，若，则是的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】D【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论.【详解】因为，则，所以，，同理可得，，故是的垂心.故选：D.练习27．已知在中，，点为的垂心，则=________．【答案】18【分析】延长交于点，根据及垂心的性质得到为的中点，，再根据数量积的运算性质即可得答案【详解】延长交于点，因为，点为的垂心，所以为的中点，，所以，故答案为：18练习28．奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得，再利用和可得，不妨设，利用可求出的值，从而可求出的值.【详解】延长交于点P，是的垂心，，．同理可得，．又，．又，．不妨设，其中．，，解得．当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．故，则，故C为锐角，∴，解得，故选：B．【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用垂心的性质得，再结合已知条件得，设，再利用两角和的正切公式可得，从而可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于较难题.练习29．设H是的垂心，且，则_____．【答案】【分析】由三角形垂心性质及已知条件可求得，，由向量的夹角公式即可求解．【详解】∵H是的垂心，∴，，∴，同理可得，，故，∵，∴，∴，同理可求得，∴，，∴，即.故答案为：．练习30．已知H为的垂心，若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】，，利用、得，，解得，再利用平方共线可得答案.【详解】依题意，，同理．由H为△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得，，又，所以．故选：C．4.重心例13．在中，为上的中线，G为的重心，分别为线段上的动点，且三点共线，若，，则的最小值为（

）A． B．3 C．2 D．【答案】B【分析】根据向量的线性运算表示出，利用三点共线可得，继而将化为，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意在中，为上的中线，G为的重心，且，，，

故,由于三点共线，故，故，当且仅当时，结合，即时等号成立，故的最小值为3，故选：B例14．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（

）A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2【答案】B【分析】利用三角形重心的性质及平面向量的线性运算，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】如图所示是的重心，,,,,，即，点为的中点，即点为边中线的两个三等分点，，，故选：B.练习31．已知点G为三角形ABC的重