数学-浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试试卷和解析

第1页/共22页镇海中学2024学年第一学期期中考试高二数学试题卷2.若椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则m的值为()A.1B.33.若点P到直线x=-1和它到点(1,0)的距离相等，则点P的轨迹方程为()A.x2=yB.y2=xC.x2=4yD.y2=4x4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”A.4720B.4722C.4723D.47255.已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，且当x>0时，f,(x)>0，g,(x)>0，则x<0时，以下说法正确的是()6.若函数在[2,+∞)上单调递增，则k的取值范围为()7.已知a=log20232024，b=log20242025，c=log20252026，则()第2页/共22页8.已知椭圆左焦点为F，在椭圆C上取三个不同点P、Q、R，且3FPFQFR3FPFQFRB.C.D.9.下列选项正确的是()10.已知抛物线C:y2=4x，F为其焦点，直线l与抛物线交C于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，则下列说法正确的是()A.若点A为抛物线上的一点，点B坐标为(3,1)，则AF+AB的最小值为3B.若直线l过焦点F，则以MN为直径的圆与x=—1相切C.若直线l过焦点F，当MN丄OF时，则OM.ON=5D.设直线MN的中点坐标为(x0,y0)(y0≠0)，则该直线的斜率与x0无关，与y0有关n，则下列结论中一定正确的是()A.a10102013.已知双曲线与直线y=x—1相交于A，B两点，其中AB中点的横坐标为—，则该双曲线的离心率为.(a+5)x5，若f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范第3页/共22页15已知函数f(x)=xex..（1）求f(x)的最小值；（2）求f(x)在点(1,e)处的切线方程.（1）求数列{an}的通项公式.（2）求数列的前n项和.17.已知双曲线C:x2（1）求双曲线C的渐近线方程；18.已知函数=mx2+lnx=xexx2其中f(x)在x=1处取得极值（1）求m的值；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若nx≤g(x)—f(x)恒成立，求实数n的取值范围.19.在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（IssacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r是函数y=fx的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，曲线y=fx在点x0,fx0))处的切线为l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；曲线y=fx在点x1,fx1))处的切线为l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，称x2为r的2次近似值.一般地，曲线y=fx在点(xn,f(xn))(n∈N)处的切线为ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称xn+1为r的n+1次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取xn为方程f(x)=0的近似解.现在用这种方法求函数f(x)=x2—2的大于零的零点r的近似值，取x0=2.第4页/共22页（1）求x1和x2；（2）求xn和xn-1的关系并证明(n∈N*)；第5页/共22页镇海中学2024学年第一学期期中考试高二数学试题卷【答案】A【解析】【分析】根据等差数列通项公式和前n项和表达式即可得到方程，解出即可.【详解】设等差数列的公差为d，则S34故选：A.2.若椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则m的值为()A.1B.3【答案】B【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出关于m的等式，即可得解.【详解】对于抛物线y2=4x，2p=4，可得p=2，故该抛物线的焦点为F(1,0)，故选：B.3.若点P到直线x=-1和它到点(1,0)的距离相等，则点P的轨迹方程为()A.x2=yB.y2=xC.x2=4yD.y2=4x【答案】D【解析】【分析】分析可知点P的轨迹是以点(1,0)为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，即可得解.第6页/共22页【详解】因为点P到直线x=-1和它到点(1,0)的距离相等，所以，点P的轨迹是以点(1,0)为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，故点P的轨迹方程为y2=4x.故选：D.4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”A.4720B.4722C.4723D.4725【答案】C【解析】【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可可知数列{an}是以3为周期的数列，故选：C5.已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，且当x>0时，f,(x)>0，g,(x)>0，则x<0时，以下说法正确的是()A.f,(x)+g,(x)>0B.f,(x)-g,(x)>0【答案】B【解析】【分析】通过函数的奇偶性与导函数的符号，判断当x<0时导函数的符号结合不等式性质即可判断各项.【详解】因为函数f(x)是奇函数，所以函数在对称区间上单调性相同，第7页/共22页因为函数g(x)是偶函数，所以函数在对称区间上单调性相反；g,(x)而当g,(x)而当由g,(x)<0，则-g,(x)>0，又f,(x)>0，所f,(x),g,(x)异号，所以f,<0，故CD错；故选：B6.若函数在[2,+∞)上单调递增，则k的取值范围为()A.k≥-B.k≤-1【答案】D【解析】【分析】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可由f，得f,又f(x)在[2,+∞)上单调递增，所以f′x)≥0在[2,+∞)上恒成立，即kx2+2x-k≤0在[2,+∞)上恒成立，)单调递减，所以t≤-，则-≤<0，故选：D7.已知a=log20232024，b=log20242025，c=log20252026，则().第8页/共22页【答案】A·【解析】【分析】构造函数，其中x>1，利用导数分析函数f(x)在(1,+∞)上的单调性，可得出a=f(2023)，b=f(2024)，c=f(2025)，结合函数f(x)的单调性可得出a、b、c的大小关系.所以，函数f(x)在(1,+∞)上为减函数，所以，f(2023)>f(2024)>f(2025)，即故选：A.8.已知椭圆C:+=1，左焦点为F，在椭圆C上取三个不同点P、Q、R，且3FPFQFR3FPFQFRB.-C.-D.-【答案】B【解析】【分析】以F为顶点，x轴的正方向为θ始边的方向，FP为角θ的终边，推导出同理可得出然后利用三角恒等变换化简可得出第9页/共22页的最小值.【详解】在椭圆C中，a=6c=3，如下图所示：椭圆的左准线为=-12，以F为顶点，x轴的正方向为θ始边的方向，FP为角θ的终边，当0<θ<时，过点P作PN丄l，过点F作FM^PN，垂足分别为点N、M，易知四边形EFMN为矩形，则-c=12-3=9，由椭圆第二定义可得，则iPNi=2iPFi，又因为PN//x轴，则上FPN=θ,所以，cosθ=，所以，iPMi=iPFicosθ,因为PNi=iPMi+iMN，即2PFi=PFicosθ+9，所以，同理可知，当θ为任意角时，等式仍然成立，同理可得第10页/共22页 FPFQFR39故选：B.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.9.下列选项正确的是()C.y=lnx，D.y=cos2x，y,=-sin2x【答案】ABC【解析】【分析】对于ABC，由基本初等函数的导数公式即可判断；对于D，由复合函数的求导法则即可求出函数y=cos2x的导函数，从而得解.【详解】对于A，则y,=-，故A正确；对于B，y=2x，则y,=2x对于D，y=cos2x，则y,=(-sin2x)×2=-2sin2x，故D错误.故选：ABC.第11页/共22页10.已知抛物线C:y2=4x，F为其焦点，直线l与抛物线交C于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，则下列说法正确的是()A.若点A为抛物线上的一点，点B坐标为(3,1)，则AF+AB的最小值为3B.若直线l过焦点F，则以MN为直径的圆与x=-1相切C.若直线l过焦点F，当MN丄OF时，则OM.ON=5D.设直线MN的中点坐标为(x0,y0)(y0≠0)，则该直线的斜率与x0无关，与y0有关【答案】BCD【解析】【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；求出M、N的坐标，利用两点间的距离公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项.【详解】对于A选项，如下图所示：抛物线的焦点为F(1,0)，准线为l:x=-1，设点A在直线l上的射影点为D，由抛物线的定义可得AD=AF，则AB+AF=AB+AD，当且仅当A、B、D三点共线时，即当BD丄l时，AB+AF取最小值3+1=4，A错；对于B选项，若直线l过焦点F，则MN=x1+x2+2，第12页/共22页线段MN的中点E到直线l的距离为所以，MN=2d，因此，以MN为直径的圆与x=-1相切，B对；对于C选项，当MN丄OF时，直线MN的方程为x=1，此时，OM.ON=5，C对；对于D选项，线段MN的中点坐标为(x0,y0)(y0≠0)，若MN丄x轴，则线段MN的中点在x轴上，不合乎题意，所以直线MN的斜率存在，由题意可得，所以，kMN=D对.故选：BCD.n，则下列结论中一定正确的是()A.a101020【答案】AD【解析】【分析】根据数列的递推关系可判断各项的取值范围.【详解】由题意得，数列{an}为递增数列.*n+2n22第13页/共22页故选：AD.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用递推公式逐项求解各项的范围即可.【答案】##0.1【解析】【分析】把递推公式变形并判断数列是等差数列，然后求出通项即可求得所以数列首项为1，公差为1的等差数列，所以， 13.已知双曲线与直线y=x-1相交于A，B两点，其中AB中点的横坐标为-，则该双曲线的离心率为. 【答案】【解析】【分析】根据点差法可求a,b的关系，从而可求离心率.第14页/共22页【详解】设AX1,y1,BX2,y2，AB中点为M，则xM=-故yM=-，故答案为：14.已知函数f(x)=5ex+aln(x+1)-(a+5)x-5，若f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范【解析】【分析】就a>0、a≤0分类讨论，前者再就0≤a≤5,a>5分类后结合导数的符号讨论单调性后可得相应范围，后者结合常见的函数不等式可得恒成立，故可得参数的取值范围.因为a>0，故y=5ex,y=-均为上的增函数，故g,(x)在(0,+∞)上为增函数，(0,+∞)上恒成立，故g(x)在(0,+∞)上为增函数，故g(x)>g(0)=0恒成立，故f(x)为(0,+∞)上为增函数，故f(x)>f(0)=0恒成立，第15页/共22页存在x0存在x0(x)在(0,x0)上为减函数，故f(x)<f(0)=0，与题设矛盾，故sx-1>0，而a≤0，故5(ex-x-1)-ax-ln(x【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，注意验证区间的端点处的函数值，如果函数值为零，则往往需要讨论导数（或二阶导数）在端点处的函数值的符号，从而得到分类讨论的标准.15.已知函数f(x)=xex.（1）求f(x)的最小值；（2）求f(x)在点(1,e)处的切线方程.min（2）y=2ex-e【解析】【分析】（1）求出函数的导数后讨论其符号，结合单调性可求最小值；（2）求出函数在x=1处的导数后可求切线方程.【小问1详解】第16页/共22页故f(x)在(-∞,-1)上为减函数，在(-1,+∞)上为增函数，【小问2详解】即切线方程为：y=2ex-e.16.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=-1，2Sn=Sn+1（1）求数列{an}的通项公式.(-2)n-1n-1【解析】【分析】（1）根据题设的递归关系可得an+2=-2an+1，故可得公比，从而可求通项；（2）利用错位相减法可求Tn.【小问1详解】因为2Sn=Sn+1+Sn+2，所以2Sn-2Sn+1=Sn+2-Sn+1，所以an+2=-2an+1，而{an}为等比数列，故公比q=-2，故an=-(-2)n-1.【小问2详解】ann-1，第17页/共22页,n-1-n,)n17.已知双曲线C:x2-=1（1）求双曲线C的渐近线方程； （2）-【解析】【分析】（1）根据双曲线的方程可得出其渐近线方程；（2）设点A(X1,y1、BX2,y2)，将直线PQ的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的坐标运算结合韦达定理可求得λ1+λ2的值.【小问1详解】所以，该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.【小问2详解】)，设点A(X1,y1)、B(X2,y2)，第18页/共22页=λ218.已知函数=mx2+lnx-=xex-x2-其中f(x)在x=1处取得极值（1）求m的值；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若nx≤g(x)-f(x)恒成立，求实数n的取值范围.【解析】【分析】（1）由题意可得f,(1)=0，可求出m的值，然后检验即可；（2）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数f(x)的增区间和减区间；（3）由参变量分离法可得出n≤ex-利用导数求出函数=ex-在0,+∞上的最小第19页/共22页值，即可得出实数n的取值范围.·【小问1详解】因为函数f(x)在x=1处取得极值，则f,(1)=2m+2=0，解得m=-1，经检验，合乎题意.【小问2详解】由可知，f=-x2+lnx-，其中x>0，由f,(x)=0，可得x=1，列表如下：x1′f(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减所以，函数f(x)的增区间为0,1)，减区间为1,+∞.【小问3详解】(x)-f(x)=xex-lnx-1，可得n≤ex-，x-，其中x>0，所以，函数p(x)在区间0,+∞上单调递增，第20页/共22页由零点存在定理可知，存在唯一的，使得t2et+lnt=0，所以，函数q(x)在1,+∞上为增函数，所以，函数ℎ(x)的减区间为(0,t)，增区间为(t,+∞)，所以