2024年北京八十中高二（上）期中数学试题及答案

2024北京八十中高二（上）期中数学2024年10月（考试时间120分钟满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.a=(−),=(,)1,1b1,2-160a与b的夹角为（1.已知A.，则）150D.B.C.2.圆Ox2+y2=1与圆Ox2+y2−4x+1=0：：2的位置关系为（）1A.相交B.相离=1的焦点坐标是（C.外切D.内切x2−y23.双曲线）14,0)14)0)4)A.B.C.D.4.下列命题中，正确的是（）.A.若ab，则ab，则a=bB.D.若ab，则abC.若ab5.两平行直线=若a=b，则a=bl:3x+2y+1=0l:6x+4y+1=0与之间的距离为（）12A.B.+3yB.C.0D.D.2x22=1，则此椭圆的离心率为（）6.已知椭圆的方程为1312A.C.3223→→→7.若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（）{abc}→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→A.+++B.−−−C.+−D.+++ab,abc,2cac,ab,bcab,ab,aab,bc,ac(+)+−=+−(+)=，则a=1是//）8.设aR，直线l:a1xy1l:2xaya20“”“ll”的（2121A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件y=x+b9.已知直线A.|b=与曲线x=1y有且只有一个公共点，则实数的范围是（）−2b1b11b1或b=−22B.D.C.1b1或b=−2ABC−ABC中，11AC⊥AB,AC=AB=1=1，E是线段的中点，在10.如图，在直三棱柱1PA+PE内有一动点P的最小值是（）332233333A.B.C.D.36二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.)已知向量a=(−1,3，b=(x)，则x的值为___________.，且ax2+y2−2x+4y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是12.方程．2−2=13.双曲线y2x1的离心率为______，渐近线方程为____________．x2y214.已知椭圆C:+=1，则此椭圆的焦距长为__________1,F为的两个焦点，过的直线交F12259AB=，则,B+=椭圆于两点，若__________.22−+=，则(−)2+(+)b22+(−)2+(−2的最小值为a1b115.已知实数a，b满足4ab30a2___________.16.如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心足正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中.已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米秒的速度从C出发向B移动，则点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的育区中的时长约为________秒（精确到0.1）三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是正方形，侧棱⊥底面ABCD，=DC，E是的PD中点.（1）证明：PA//平面BDE；（2）求二面角B−DE−C的平面角的余弦值.x+y−3=0x+2y−4=0x+1=0相切，直线18.已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线l:(m+2)x+−2m)y−10=0，直线lC相交于P，Q两点．（1）求圆C的标准方程；（2）求直线l所过的定点；（3）当的面积最大时，求直线l的方程．ABCD−ABCD的中点.点M在上.119.如图，正方体的棱长为2，E为BC1111（1）求证：AC⊥平面BDM；（2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定.MCD所成角的大小，及点E到平面MCD的距离.求直线与平面条件①：=条件②：EMAD⊥条件③：//平面1注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.x22y2220.已知P(0,2)和Q(2为椭圆C:（1）求椭圆C的方程和离心率；+=ab0)上的两点.ab（2）设直线l:y=+1与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围.E=2,3,A，A=x,x,x,12321.设有限集合，对于集合，给出两个性质：①对于集合A中任意一个元素，当()，使得=+xx1kx，xi时，在集合A中存在元素ijkix，jkj则称A为E的封闭子集；xxij()，都有x+xjA②对于集合A中任意两个元素，则称A为E的开放子集.，判断集合ijixxkkk=6,8,10，=∣=+NN=20AB*，B（1）若，集合为E的（2）若N=1001100A，且集合A为E的封闭子集，求的最小值；N*，且mm（3）若NN为奇数，集合A为E的开放子集，求的最大值.参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【分析】利用空间向量夹角的坐标运算公式计算即可.−2−11+11+4+13a,b==−【详解】解：，2aba,b0,180又，a,b=150.故选：C.2.【答案】A【分析】根据圆心距以及圆的半径确定正确选项.【详解】圆O：x2+y2()，半径为==1的圆心为O0,0r11.11O(0)，半径为2=32圆O：x2+y2−4x+1=0的圆心为，.2OO=2r，122所以两圆相交.故选：A3.【答案】C【分析】根据双曲线方程可得实半轴长a，虚半轴长b，再由关系式c=1，2=a+b2求解即得.2a2=b2【详解】双曲线实半轴长a，虚半轴长b，依题意得=，解得c=4，又双曲线焦点在x轴上，设双曲线半焦距为c，则c2=a2+b2所以焦点坐标是4,0).故选：C4.【答案】C【分析】利用绝对值的意义结合特殊值法判定即可.a=−b=1，即aba=b，故A、D错误；【详解】若，但若a=−b=1，即ab，但a=b，故C正确.ab，故B错误；显然a=b，则故选：C5.【答案】Al【分析】先将直线的方程变形，然后利用两平行线间的距离公式求解即可1【详解】由3x+2y+1=0，得6x+4y+2=0，2−1+41==所以两直线间的距离为，622故选：A6.【答案】B【分析】a2,c2代入离心率公式可得答案.椭圆方程化成标准形式后求出x2y2+=1，所以a1213=,b2=2x2+3y2=1得112，【详解】由236111=−=236c362c2=a2−b2e===.，a32故选：B.7.【答案】D【分析】利用空间向量基本定理逐个判断各个选项即可．【详解】解：对于选项A：因为a+bc)(a+b=2c，所以a+b，a底，故选项A错误，，c共面，不能构成基对于选项：因为(a−c)−(a−b)=b−c，所以a−c，a−b，b−c共面，不能构成基底，故选项B错误，1对于选项：因为[(ab)(ab++−=aab，a，a共面，不能构成基底，故选项C错误，2对于选项D：若a+b，b+c，a+c共面，则a+b=b+c)+(a+c)，即a+b=a+b+(+)c，则=1=1+不共面，可以构成空间的另一个基底，故选项正确+acD.，无解，所以a，bc，+=0故选：D．8.【答案】Al//l1a值，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解.【分析】求出的2【详解】因为直线(l:a+1x+y−1=l:2x+ay−a+2=0)()，12当a=1时，l//ll:2x+y−1=l:2x+y−3=0，此时l//l1，即，a=1可以推出1//l2122(a+a=2a=1或2，当时，，解得12=−2时，l:x−y+1=l:x−y=0推不出a=1，又a，此时l//l1，所以l//l12122所以“a=1”是“l//l”的充分不必要条件，12故选：A.9.【答案】C【分析】把曲线方程整理后可知表示半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于(−)和另一个点，及与曲线交于点(0,1)，分别求出b，则b的范围可得．=1−y2，即x2+y2=1(x0)x，表示一个半圆（单位圆位于轴及x【详解】曲线x如图，()、()、(−)，A0,1B1,0C1当直线当直线y=x+b经过点A时，1=0+b，求得b=1；y=x+b经过点B、点C0=1+bb=−1；时，，求得|b|y=x+b1=当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得b=−2，或b=22故要求的实数b的范围为1b1或b=−2，故选：C．10.【答案】CC−n(A1()Ax,y,z,z0【分析】由题意建立空间直角坐标系，设A关于平面的对称点为，求出的距离相等得，接着由1,z)，进而利用A与A到平面1AA、AA和平面的法向量1111−x+y+z=1x−1=−y=−z②从而求出①，再由//n得A++AE=结合两点间距离公式即可得解.【详解】由题意可以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C−，12则(A0,1,B0)()，()()，C0,0,A1,0,0E,0，1CB0),CA0,1,AA=(0,1)，1==()所以1()=(−−−)AA1x,y,1z=(−)xy,z，AAx,y,z,z0设A关于平面的对称点为，则，，11=0设平面(1,1)，则，An的法向量11CA⊥nCAn=x+z=01111x=11y=−z=−1(n，所以−)，令，则11AA1z所以A与A到平面A1的距离d=即−x+y+z1=①，nn3x−1=−=−z②，所以由①②得y3z−1=1，又//n，所以1223122333x=,y=,z=A,,所以由z0可得，所以，332221321241433+=+=−1+−+−0=++=所以PAPEPAPEAE，32393696A,P,E当且仅当三点共线时取等号，33PA+PE所以的最小值为.6故选：C.1【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，利用向量法解决，设A关于平面的对称点为()Ax,y,z,z0，利用A与A到平面1的距离相等和//n求出A，接着由++E=E结合两点间距离公式求出即可得解.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.【答案】3【分析】根据给定条件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.)，b=(x)a1,3=(−，则有ab=2(4)−12+3x0，解得=【详解】因向量，且a3x=，3所以x的值为.故答案为：312.【答案】m5x2+y−2x+4y+m=0表示一个圆，可得；2【详解】试题分析：由题D2+E2−4F20−4mr==m522考点：圆的方程.13.【答案】①.6.y=2xa,b,c2【分析】将双曲线化成标准方程求解进而得到离心率和渐近线即可x2y2−=1中1226a2=b2====a2b2=+【详解】由题，双曲线1，即ab，故c，故离心222a6=y=x，即y=2x率e，渐近线方程为b26故答案为：；y=2x214.【答案】①.8②.8AF+AF=BF+BF=2a=10【分析】利用椭圆的定义可得，两式相加即可求解.1212x2y2+=1可知：a=5，b=3，c2=a2−b2=【详解】由椭圆方程9则c=4，椭圆的焦距长为2c=8；AF+AF=BF+BF=2a=10由椭圆的定义得，，1212++=两式相加得，22AB+12=20AB=8．即，可得故答案为：；8．15.【答案】5(−)2+(+)2+(−)2+(−)24x−2y+3=0上一点【分析】由题可知，a2b2a1b1表示的是直线()到定点(−)，()的距离之和，然后求出点关于直线4x2y+3=0对称的点为−P，bM2NN()，再根据0Nx,yN,P,M++最小，即最小，即可求出结果.三点共线时，0(−)2+(+)2+(−)2+(−)24x−2y+3=0上一点【详解】由题可知，a2b2a1b1表示的是直线()到定点(−)，()的距离之和M2.P，bN4x−2y+3=0对称的点为Nx,y()，如图，设点N关于直线000−10−112=−0=−1则当，解得，y=20+10+104−2+3=022N,P,M++最小，即最小三点共线时，(−)所以a22+(+)2+(−)2+(−)2−(−)2+(−−)22=5.2b2a1b1的最小值为[21]故答案为：5.16.【答案】4.4【分析】以O为坐标原点建立适当的平面直角坐标系,求得P,Q的方程,圆O方程,运用的坐标和直线点到直线的距离公式,以及直线和圆相交的条件解不等式即可得到所求时长.【详解】以O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系：由题意可设P(10,10+t),Q−t)，20−ty−−t)=(x−10)，所以直线的方程为：20圆O方程为：x2+y=1，2与圆O因为直线有交点，20−t+t−1021，化为t+878−，2t1280，解得0t−=所以−220t31+20所以点Q在点P的盲区中的时长约为秒.故答案为：【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，直线和圆的位置关系,坐标法和二次不等式的解法属于中档题.三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.1）证明见解析3（2）3）连接，交BD于点O，根据中位线定理和线面平行的判定定理进行证明.BECB−DE−C的（2）利用线面垂直的判定定理和性质定理及平面几何的知识，证明得到平面角，从而计算得到结果.是二面角【小问1连接，交BD于点O，由底面ABCD是正方形，可知O为的中点，又是的中点，是的中位线，OE//PA，又平面BDE，OE平面BDE，PA//平面.【小问2PD=DC=2，BD设=AD2+AB2=22+22=22，底面ABCD，DC底面ABCD，PD⊥DC，即△PDC是直角三角形，PC=PD2CD2+=22+22=22，1=CE==2又E是的中点，，2PD⊥BCBC⊥CDCDD，=BC⊥同理可得在直角，且，平面，平面BC⊥，(2中，BE=2+CE2=22+2=6，BE2+DE=BD2BE⊥DE，2又CE⊥DE二面角BDEC的平面角为BEC−−，CE263BEC===.BE33−−二面角BDEC的平面角的余弦值为.3(−)18.1）x22+(−)y1=92（2）(2)7x+y−30=0或x+y−6=0（3））依次求出圆心和半径即可得解；（2）由题意列出方程组即可求解；1=CPCQsinPCQPCQ=（3）S，当时，面积最大，此时为等腰直角22三角形，圆心到直线ld【小问1=r，据此即可求出m.2x+y−3=0x=2y=1的圆心的圆心坐标为()，且和直线x+1=0相切，C，圆x+2y−4=0所以圆C的半径为2−()=3，(−)2+(−)y1=9；2所以圆C的标准方程为C:x2【小问2由(m+2x+1−2my−10=0)()，得(−)++−=，mx2y2xy100x−2y=0x=4y=2由，2x+y−10=0∴直线l()；D4,2【小问31=CPCQsinPCQPCQ=S∵，∴当时，面积最大，223=r=2，此时为等腰直角三角形，故圆心到直线l的距离d22(+)+−2m212m−3213=2=m∴，解得，(m+2+−2m)2∴此时l的方程为：7x+y−30=0或x+y−6=0.19.1）证明见解析2MCD所成角为；点到平面MCD的距离为E（2）直线与平面2）根据正方体的特征得到侧棱垂直于底面，即侧棱垂直于底面中的任意一条直线，对角线互相垂直平分，即可得到线面垂直；（2）分别选条件①②③，结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得到条件①不符合题意，②③均可使点M唯一确定，再根据建立空间直角坐标系集合向量，利用向量的夹角公式求得结果.【小问1ABCD−ABCD是正方体，1证明：∵111DD1⊥ABCD，⊥1⊥，即，∴∵平面BDD，∴AC⊥平面，1又点M在上，所以AC⊥平面BDM；1【小问2选条件①：由=，根据正方体的对称性可知，此时M为上的任意一点，不符合题意；1选条件②：EMAD，⊥连接，在正方体中，根据BC⊥平面CDDC，111∵CD1平面，∴⊥CD，1C1EM⊥AD,AD∥BC⊥又∵，∴EMBC，EM,CD1BCDEM∥CD，1平面，∴1又E为BC中点，∴M为中点，即此时M为上确定的一点；11，选条件③：//平面CDDC，11连接，∵//平面CDDC，EM平面BCD，11111CDD1CD=EM∥CD，∴，1且平面平面1∵E为BC中点，∴M为中点，即此时M为上确定的一点；11根据题意条件①不符合题意，条件②③均可使点M唯一确定，并且可得到M为中点，1根据正方体的特征建立空间直角坐标系如图所示：，则()，)()()(D0,0,0,C2,0,E2,0,M=()=()=(−)EM=2，则，2,0,,EM∴设平面MCD法向量为m=(x,y,z)，my=0x+y+z=0=−1，则x=1，z则∴，令m=01=(−)，即m=2m，mEM=1，设直线∴直线与平面MCD所成角为，则sinMCD所成角为；=cs,=，2m与平面12点E到平面MCD的距离为dEMsin==2sin30==2.22x2y22+=1，e=20.1）；422（2）2）利用P，Q两点坐标，求出a2,b2=+c，再利用a2b2c求出，进而得到椭圆方程与离心率；2（2）联立椭圆方程与直线方程，求出AB弦长，再求出点O到AB的距离，求出三角形AOB面积，研究该函数的最值即可.【小问1x22y22解：P(0,2)和Q(2为椭圆C:+=ab0)上的两点，ab2=12ba2=4，b22，又因为=a2=b2+c2c2=2.所以，解之得，所以21+=1a2b2x2y2c2+=1，离心率e==所以椭圆C的方程为【小问2.42a2y=+1y2k)x4−2=0，+22+22解：联立方程xy，消去得+=142=(4k)2−4+2k2)(2)=32k2+80，4k因为2(x,y)B(x,y)x+x=−xx=−12所以设交点，，则，，112212+21+2k212kAB=(x−x)2+(y−y)2所以=kk12122+1(x+x)2−412122+1=32k22+8.1+2k1又因为点O到直线l:y=+1的距离为d=，k2+1111k+12S=dAB=32k+82所以三角形AOB面积221+2k+12k224k+124k+2k2+14k1+4k22+1+4k=2=2=1+2k+(t，22)24令t4k=214t+t+141S=2=22=2则t21t++22t+2tt1（当且仅当t=即t=1t也就是当k=0时，三角形AOB面积取最大值2k→S→0，又因为当时，所以三角形AOB面积的取值范围是2.21.1）A为E的封闭子集，B为E的开放子集N+1（2）9）2【分析】对于（1，设A=,x,x,1xx100.1对于（22323因集合A中任意一个元素，当()，使得=+xx1kx，xi时，在集合A中存在元素ijkix，则jkjn−1+1n2n−1.7764100m7，后排，其中2n，nN据此可得，得m=m=9符合题意即可；除8，再说明对于（3NN*，且N为奇数，当N=1时，得m=1；N+1当N3，将E=2,3,里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且m=为最2大值即可.【小问1对于A，因2=1+4=2+6=2