2024年北京平谷区五中高一（上）期中数学试题及答案

2024北京平谷五中高一（上）期中数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.ABA，则1.已知集合，（）2,322−A.B.C.D.x+|x02.“xR，”的否定是（）x+|x0xR，x+|x0A.xR，B.D.C.xR，x+|x0xx+|x0R，xxR，则“＞1”是“x＞1”的3.设2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1f(x)f(2x−=f=，则（4.若函数满足）x11A.−B.C.1−D.1225.下列说法正确的是（）abA.若ab，则a2b2B.若，则abc2c2C.若ab，则a−1b−2D.acbc若ab，则22()上单调递增的是（）6.下列函数中，是偶函数且在1A.y=−B.y=C.y=xD.y=3x+1xx7.因为疫情原因，某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进校园，某学生早上上学，早上他骑自行车从家里出发离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回到家取上出入证，然后改为乘坐出租车以更快的速度赶往学校，令（单位：分钟）表示离开家的时间，y（单位：千米）表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是（）A.B.C.D.()与()表示同一函数是（）fxgx8.下列四组函数中，x2−1()=−，fxx1()=gxA.x+12()=，(x)()=fxxB.C.gx()=1，g(x)=(x+)fx0x+x−1()=fxx+1，g(x)=D.−x−x−1()的定义域为fxxx0fxf20fx0，且()在()上单调递减．若()=，则()9.已知奇函数的解集为（）(−2))(−−),2A.C.B.D.(−2,0(−)(),210.已知定义域为[a−2a−f(x)=2023x−5x+b+2f(a)+fb)3的奇函数，则的值为（）A.－1B.0C.1D.无法确定二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.x−1x−2函数f(x)=的定义域为___________.8x−3()y12.已知y2x=+x3，则的最小值为______．13.已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)f(4)=__________f(x)x0f(x)=2x+bf(−=，则___________.14.设是定义在R上的奇函数，当时，()=−−(+)+的单调递增区间是(−，则实数的值为________．x22a1x3fx,315.若函数a2−2x−xax()=fx()fx()fx的值域为______有两个不同零点时，16.函数，当a=0时，−x,xaa实数的取值范围为______．三、解答题：本大题共7小题，共80分.=B=x0x．Ax3x7，17.已知集合（1）若a5，求=AB和AB；（2）若Aa，求的取值范围．18.化简、计算112−813（1）计算：−−(π30−+.49271141343−−−()x,y0；2x43x−y3−6x2y（2）化简：fxxxxa=2+(2)2,5,5−.+19.已知函数（1）当a=−1时，求函数fx()的最大值和最小值；−（2）若函数()在区间fx5,5a上是单调函数，求的取值范围.x2+1，x+)x20.已知函数f(x)fx=（1）判断()的单调性并用定义证明．mfm)f(5−2m)m，求的取值范围．（2）在（）的条件下，若实数满足()=−fxxx2x21.已知函数.（1）判断函数()的奇偶性并用定义证明：fx（2）用分段函数的形式表示函数()的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数()的图象；fxfx写出单调区间+(a−)x−10，aRxax222.已知关于的不等式.1[−−]a，求实数的值；（1）若不等式的解集为2（2）若a0，求不等式的解集.23.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？购地总费用（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）建筑总面积124.定义：给定整数i，如果非空集合满足如下3个条件：①AN*Ax,yN，若*；②；③x+yA，则−iAP=1,2是否为“减集”？是否为“减1集”？.则称集合A为“减集问：i0参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】CAAB=且xxAxB【分析】根据【详解】因为求解即可.，所以BAB=，.故选：C2.【答案】B【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题x+|x0”的否定是“xRx+|x0，”所以“xR，故选：B【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单.3.【答案】A【详解】试题分析：由푥>1可得x21成立，反之不成立，所以푥>1是“x21”的充分不必要条件“”考点：充分条件与必要条件4.【答案】B2x+1f(x)=,x1，代入即可得解.【分析】利用换元法可得函数t+1t=2x−x0()，则t−1x=，【详解】令，22t+12x+1ft)=,t1，即f(x)=,x1，所以所以23+11f==.2故选：B.【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的应用，考查了函数值的求解，属于基础题.5.【答案】B【分析】ACD选项可以根据排除法解决，B选项根据不等式的性质判断.【详解】A选项，取a=b=−1，满足ab，但是a2b2，A选项错误；abB选项，显然c0，则c20，根据不等式的性质，不等式22abB两边同时乘以c可得，，选c2c项正确；a=b=−1，a−1=1，b−2=−3，此时a−1b−2，C选项错误；C选项，取D选项，若c0=，则ac2bc2，D选项错误.=故选：B6.【答案】C【分析】根据函数的单调性、奇偶性确定正确答案.1y=−【详解】是奇函数，不符合题意.xy=x、y=3x+1是非奇非偶函数，不符合题意.y=x()上单调递增，符合题意是偶函数且在.故选：C7.【答案】C【分析】根据它离家的距离与离开的速度判断．【详解】中途回家取证件，因此中间有零点，排除AB，第二次离开家速度更大，直线的斜率更大，只有C满足．故选：C．8.【答案】D【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则一致时，两个函数表示同一函数，直接判断各选项即可.【详解】对于A，f(x)=x−1的定义域是R，x−12的定义域是xx−1()=gx，x+1故A中()与()不表示同一函数；gxfx对于B，f(x)=x的定义域是R，2xx，(x)()=gx的定义域是故B中()与()不表示同一函数；gxfx对于C，f(x)=1的定义域为R，()=(+)0xx−1gxx1的定义域是，故C中()与()gx不表示同一函数；fxx+x−1()=+=fxx1对于D，，−x−x−1x+x−1()=gx−x−x−1的定义域和对应法则都相同，故D中()与fx()gx表示同一函数.故选：D.9.【答案】B【分析】利用奇函数的性质结合单调性计算即可.【详解】根据奇函数的性质可知()在(0,+∞)和()上单调递减，fx,0且f(2)=−f(−2)f(−2)=0，所以f(x)0(−)(2).,2的解集为故选：B10.【答案】Ba【分析】由奇函数定义域的对称性求得，由奇函数的性质求得b，然后求值．a−4+2a−2=0a=2f(0)=b+2=0，，，bf(x)=2，【详解】因为是奇函数，则f(x)=2023x−5x，3所以f(−2)=−f(2)故，f(a)+fb)=0所以.故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.xx1x2且【答案】【分析】由分母不能为0和根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，解得即可.x−10xx2xx1x.且【详解】由题意得：，解得，所以定义域为x−20且xx1x2故答案为：【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．12.【答案】148x−38x−3x−30，将2x+2(x−3)+变形为+6，然后利用基本不等式即可求解.【分析】由x3，得【详解】因为x3，所以x−30，8x−38x−38x−32x3=(−)++622x3(−)+6=14，则y2x=+8x−3(−)=2x3x=5时取等号，当且仅当，即所以当x=5时，取最小值为14.y故答案为：14.13.【答案】2【详解】分析：设幂函数f（x）=x，把点（93）代入解析式求出α，即可求出函数的解析式和f（4）的值．详解：设幂函数f（x）=xα，1a=∵函数f（）的图象经过（9，9α=3，2则f（x）=x，∴f（4）=2，故答案为2．点睛：本题考查幂函数的解析式的求法：待定系数法，属于基础题．14.【答案】2−【分析】根据奇函数性质求得b值，再由奇函数的定义求得函数值．f(x)f(0)=b=0x0f(x)=2x，所以f=2，从而【详解】是奇函数，则，即时，f(=−f=−2．故答案为：2．−15.【答案】4【分析】根据二次函数的单调性即可求解.−【详解】函数f(x)=−x2−2a+1x+3()(−,−a−的单调递增区间是，由题意得−a−1=3，解得a=−4．故答案为：416.【答案】①.【分析】−−+)(−,)3).2(−)x1−x0()=fx（1）a=0时，原式可化为，然后分别求出各自值域即可−x,x0y=−xyx2−x−3有两个零点，−1和3，有一个零点0，然后分类讨论即可求解.（2）函数2(−)x1−x0()=fx）当a=0时，原式可化为，当x0f(x)时，的值域为−x,x0的值域为)，综上可知，该函数的值域为−+)f(x)−+)，当x0时，.y=−x有一个零点0，所以，可知0a3时，函数有yx2−x−3有两个零点，−1和3，（2）函数两个零点03；当a−1时，函数有两个零点1和，综上可知，当函数有两个不同的零点时，−3a,1(−−)3)【点睛】本题考查分段函数的值域和函数零点问题，主要考查学生的运算能力，属于基础题三、解答题：本大题共7小题，共80分.Ax0x7B=AB=x3x）a3．17.【答案】（1），）把a5代入B中确定出B，求出=AB和AB即可；（2）根据A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可．1）把a5代入得：=B=x0x5，A=x3x7，∵x0x7AB=AB=x3x5，；∴Ax3x7=B=x0x，A（2）∵，，∴a3．18.【答案】（1）22xy（2）【分析】由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果.【小问152=−−1+2=2.原式33【小问21414321343++−+原式=2(−3)(−6x=xy.2y(−,519.【答案】（1）最大值为37，最小值为12）.）求出函数的对称轴，判断()的单调性即可求出最大值和最小值；fx（2）求出函数的对称轴，根据二次函数的性质即可列出不等式求解.）当a=−1时，f()22=x2−x+，x5，()对称轴为x=1，开口向上，所以()在−单调递减，在单调递增，fxfx1,5当x=1时，()取得最小值fxf=1−2+2=1，当x=−5时，()取得最大值fxf(−=25−2(−+2=37，所以函数()的最大值为37，最小值为1；fx（2）()的图象的对称轴为=−a，fxx因为()在区间−上是单调函数，fx5,5所以−a−5或−a5，a5或a5，解得：(−,5a所以实数的取值范围为.()是+）．2)fx)20.【答案】（1）函数2）利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论即可求证；（2）根据单调性以及定义域列不等式即可求解.）函数()是+)上的单调增函数．证明如下：fx任取1,2+)且xx，则21−−2x211+1x222+1x21x+x−xx22−1xx(x−x)−(x−x)(1x)(xxf(x)−f(x)=−=221=121212=21，12xx12xxxx1212xx1x−x0xx−10xx0，，，121212因为，所以12−f(x)f(x)所以f(1)f(x2)0，即，12所以函数()是+)上的单调增函数．fx（2）由（）知函数()是+)上的单调增函数，fxfm)f(5−2m)可得所以m5−2m1，解得：1m2由，m所以的取值范围为2)．21.【答案】（1）奇函数，证明见解析2−x2x,x0f(x)=(−,+)[−.，单调递减区间是（2），图象见解析，单调递增区间是−x2−2x,x0）根据奇偶性的定义证明即可；（2）根据去掉绝对值符号的规则写出分段函数，画出图象，结合图象可以看出函数的单调区间.【小问1显然f(x)=xx−2x的定义域是R，关于原点对称，f(−x)=(−x)−x−2(−x)=−xx+2x=−(xx−2x)=−f(x)，f(−x)=−f(x)f(x)是奇函数.即，于是【小问22−x2x,x0f(x)=，作图如下：−x2−2x,x0(−,+)[−.单调递增区间是，单调递减区间是22.【答案】（1）2；−（2）分类讨论，答案见解析.1ax+(a−)x−1=0(a0)的两根，借助韦达定理求值即可.2−−）由题意可得1，为方程2（2）按a=−1，a−1，1a0分类解不等式即可.【小问11−−ax2+(a−)x−1=0的两个实根，且a0，依题意，是方程21a−111−1+(−)=−1(−)=−a=−2，解得，于是，且2a2aa−所以实数的值为2.【小问21当a0时，不等式a