探究与发现+利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质　教学设计 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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课程基本信息学科数学年级高一学期秋季课题利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数教学目标1.利用单位圆的性质得到正弦函数、余弦函数的性质。2.借助几何画板让学生经历性质的探究过程，进一步训练学生的数形结合思维能力,让学生主动观察、发现、类比、探索。3.激发学生自主探究的积极性,鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯,从而改进学习方式，提高思维能力。教学重难点教学重点：利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质。

教学难点：观察单位圆与角终边交点坐标变化，探究总结正弦函数、余弦函数的性质，体会数形结合的思想方法。教学过程一、情景导入同学们，大家好！我是大同市第一中学校的王文娟老师。欢迎同学们来到我的数学课堂！今天我们一起来学习人教A版必修一第五章第四节课后探究与发现：利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质。大家坐过摩天轮吗？摩天轮是大型转轮状的机械建筑设施。游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如果我们把座舱抽象成是在圆上转动的点P，把圆放入平面直角坐标系，取它的半径为1，那就是我们认识的单位圆。我们再把该点P定义为角x的终边与单位圆的交点，那么这个点的坐标就是角x的三角函数。那么利用单位圆还能研究三角函数哪些性质呢？让我们开始今天的学习之旅吧！探究新知在本章，我们不仅借助单位圆定义了三角函数，还借助它的几何性质得到了同角三角函数的基本关系和诱导公式。因此，我们发现单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，单位圆是研究三角函数性质的好工具。我们在学习三角函数图象与性质时，先借助单位圆画出了正弦曲线，再利用正弦函数与余弦函数的内在联系，通过图象的平移变换画出余弦曲线，最后借助几何直观和代数运算研究正弦函数、余弦函数的性质。那么老师现在有这样一个问题:我们能不能直接从定义出发，利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质？如图，在直角坐标系uOv中，角x的顶点与原点重合，始边与Ou轴重合，终边与单位圆交于点P（cosx,sinx）。当角x的终边绕原点从Ou轴的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时，点P的横、纵坐标会有什么变化规律？我们发现点P的横坐标cosx按照从1减小到0，从0减小到-1，再从-1增长到0，0增长到1的规律连续地、周而复始地变化；点P的纵坐标sinx按照从0增长到1，从1减小到0，再从0减小到-1，-1增长到0的规律连续地、周而复始地变化。（1）周期性“连续地、周而复始地变化”这一特点，同学们容易联想到三角函数的哪个性质呢？对，周期性。我们发现角x的终边逆时针每转一圈，角x增加的值是2π，角x的余弦值和正弦值就会重复出现，所以余弦函数和正弦函数的周期都是2π。同学们再想一想，余弦函数和正弦函数还有哪些基本性质呢？是不是还有奇偶性、单调性和最大、最小值？那我们继续尝试利用单位圆研究一下这些性质。（2）奇偶性研究余弦函数和正弦函数的奇偶性，是要研究角x和它的相反角-x三角函数的关系。此时我们可以借助另一个点P'。将角x与单位圆交点记作点P，对应的角-x与单位圆的交点记作P'，我们一起观察随着角x的增大，点P和点P'在运动过程中，它们横、纵坐标的变化。我们发现在运动的过程中，点P和点P'一直关于Ou轴对称，所以它们横坐标相等，纵坐标互为相反数，即cos(-x)=cosx，sin(-x)=-sinx。由此可知，余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。（3）单调性同学们，我们已经研究了余弦函数和正弦函数的周期性、奇偶性，接下来我们继续研究单调性。我们一起来完成下面表格。余弦函数的单调性：角x→++→++→++→+P点横坐标的变化1→00→-1-1→00→1cosx的单调性单调递减单调递减单调递增单调递增正弦函数的单调性：角x→++→++→++→+P点纵坐标的变化0→11→00→-1-1→0sinx的单调性单调递增单调递减单调递减单调递增（4）最大值、最小值余弦函数的最大值、最小值：角xP点的横坐标-11cosx最小值最大值正弦函数的最大值、最小值：角xP点的纵坐标-11sinx最小值最大值同学们，我们继续思考一下，利用单位圆的性质我们还能解决正弦函数、余弦函数的哪些问题呢？我们一起来看下面的例题.三、实践新知，巩固练习利用单位圆直观比较下列各组数的大小。（1）sin()与sin()(2)cos()与cos()我们分别画出和的终边与单位圆的交点，观察交点纵坐标大小可以得出。

我们分别画出和的终边与单位圆的交点，观察交点模坐标大小可以得出。2.利用单位圆的性质求出满足sinx≥cosx的x的集合。例2与例1的区别是，例1是角不同，三角函数名相同。例2是角相同，三角函数名不同。要想满足，即需要角的终边与单位圆的交点纵坐标大于等于横坐标。我们先找临界位置，哪些角sinx=cosx呢？显然当角的终边落在直线v=u时，sinx=cosx.当角的终边落在直线v=u上方时，sinx>cosx。由图可知，角x构成的集合是。3.（1）利用单位圆的性质求出满足的的集合。要想满足，需要角x终边与单位圆交点的纵坐标.我们在直角坐标系中先画出直线，它与单位圆交于P、Q两点。射线OP、OQ分别是、的终边。由图可知满足，也就是不等式的角x构成的集合为。利用单位圆的性质求出满足的的集合。要想满足，需要角x终边与单位圆交点的横坐标.我们在直角坐标系中先画出直线，它与单位圆交于P、Q两点。射线OP、OQ分别是、的终边。由图可知满足，也就是不等式的角x构成的集合为。四、课堂小结同学们，通过这节课，大家有什么收获？通过探究，我们学会了利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性和最值。我们还可以利用单位圆比较同名三角函数值的大小、比较同角正余弦值的大小、解关于正余弦的不等式。在数学学习中，我们要细心观察、乐于研究。从不同角度来探究数学问题。例如通过本节课的学习，我们重点要体会使用数形结合这一重要的数学思想方法来解决一些数学问题。课后作业请同学们下课后完成课后练习。1、等式是否成立？如果这个等式成立，能否说是正弦函数的一个周期？为什么？2、下列函数中，哪些是奇函数?哪些是偶函数?（1） （2）;（3） （4）.3、利用单位图的性质，写出满足下列条件的x所在的区间.（1）; （2）;（3）； （4）.4、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值。（1）； （2）.5、下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（）.（A）