2024中考复习-圆综合题

2024中考复习圆综合题

1.如图，在RtZXABC中，NABO90。，AB=CB,以AB为直径的。O交AC于点D,点E是AB边上一

点(点E不与点A、B重合)，DE的延长线交于点G,DF1DG,且交BC于点F.

(I)求证：AE=BF：

(2)连接GB,EF,求证：GBIEF；

(3)若AE=1,EB=2,求DG的长.

2.如图，AB为。O的直径，直线CD切。O于点M,BEJ_CD于点E.

(I)求证：ZBME=ZMAB；

(2)求证：BM2=BE«AB；

(3)若BE」3,sinNBAM=2,求线段AM的长.

55

1

3.我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条

弧所对的弦.你可以利用这一结论解决问题：

如经，点P在以MN(南北方向)为直径的。0上，MN=8,PQ_LMN交。0于点Q,垂足为H,PQWMN,

弦PC、PD分别交MN于点E、F,且PE=PF.

(I)比较而与而的大小；

(2)若OH=2沈，求证：OP〃CD；

(3)设直线MN、CD相交所成的锐角为a,试确定cosa=Y3时，点P的位置.

4.如图，AABC内接于。O,BD为。0的直径，BD与AC相交于点H,AC的延长线与过点B的直线

相交于点E,且NA=NEBC.

(I)求证：BE是。0的切线；

(2)已知CG〃EB,且CG与BD、BA分别相交于点F、G,若BG・BA=48,FG=加，DF=2BF,求AH

的值.

2

5.如图，在平面直角坐标系中，O(0,0),A(0,-6),B(8,0)三点在。P上.

(I)求圆的半径及圆心P的坐标；

(2)M为劣弧标的中点，求证：AM是NOAB的平分线；

(3)连接BM并延长交y轴于点N,求N,M点的坐标.

6.如图，在。0中，直径AB垂直弦CD于E,过点A作NDAF二NDAB,过点D作AF的垂线，垂足为

F,交AB的延长线于点P,连接CO并延长交。O于点G,连接EG,已知DE=4,AE=8.

(I)求证：DF是。O的切线；

(2)求证:OC2=OE*OP；

(3)求线段EG的长.

3

9.如图，在RtaABC中，ZC=90°,以BC为直径的。O交斜边AB于点M,若H是AC的中点，连接

MH.

(I)求证：MH为00的切线.

(2)若MH=W,tan/ABC=2,求。0的半径.

24

(3)在(2)的条件下分别过点A、B作。。的切线，两切线交于点D,AD与。O相切于N点，过N点

作NQ_LBC,垂足为E,且交。。于Q点，求线段NQ的长度.

10.已知：ZXABC内接于。O,D是前h一点，OD_LBC,垂足为H.

(I)如图1,当圆心0在AB边上时，求证：AC=2OH；

(2)如图2,当圆心。在aABC外部时，连接AD、CD,AD与BC交于点P,求证：ZACD=ZAPB；

(3)在(2)的条件下，如图3,连接BD,E为。0上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N,连

接OE,BF为。O的弦，BF±OE「点R交DE「点G,若NACD-ZABD=2ZBDN,AC=5加，BN=3^,

tanZABC=X求BF的长.

2

5

11.如图，在aABC中，AB=AC,AE是NBAC的平分线，NABC的平分线BM交AE于点M,点0在

AB上，以点0为圆心，0B的长为半径的圆经过点M,交BC于点G,交AB于点F.

(I)求证：AE为。O的切线.

(2)当BC=8,AC=12时,求。O的半径.

(3)在(2)的条件下，求线段BG的长.

12.已知，如图，AB是(DO的直径，点C为。0上一点，OF_LBC于点F,交。0于点E,AE与BC交

于点H,点D为OE的延长线上一点，且NODB=NAEC.

(I)求证：BD是。O的切线；

(2)求证:CE2=EH*EA；

6

13.己知：AB是。0的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2,点Q在。。上，连接PQ.

(I)如图①，线段PQ所在的直线与。O相切，求线段PQ的长；

(2)如图②，线段PQ与。O还有一个公共点C,且PC=CQ,连接OQ,AC交于点D.

①推断0Q与AC的位置关系，并说明理由；

②求线段PQ的长.

14.已知：。。上两个定点A,B和两个动点C,D,AC与BD交于点

(I)如图1,求证：EA・EC=EB・ED；

(2)如图2,若枪灰，AD是00的直径，求证：AD*AC=2BD*BC；

(3)如图3,若AC_LBD,点O到AD的距离为2,求BC的长.

7

15.如图，在直角坐标系中，0M经过原点0(0,0),点A(加，0)与点B(0,-&)，点D在劣弧

0A±,连接BD交x轴于点C,且NCOD=NCBO.

(I)求。M的半径；

(2)求证：BD平分/ABO；

(3)在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰好为。M的切线，求此时点E的坐标.

x»

16.如图，AB是。O的直径，C、G是。O上两点，且AC=CG,过点C的直线CDJ_BG于点D,交BA

的延长线于点E,连接BC,交OD于点F.

(I)求证：CD是。O的切线.

(2)若里二2,求NE的度数.

FD3_

(3)连接AD,在(2)的条件下，若CD=JW求AD的长.

8

17.如图，点A和动点P在直线1上，点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作RCABQ,使/BAQ=90。,

AQ：AB=3：4,作AARQ的外接圆O.点C在点P右侧，PC=4,过点C作直线mJJ,过点O作OD_L

m于点D,交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F,使DF=^CD,以DE,DF为邻边作矩形DEGF.设

2

AQ=3x.

（I）用关于x的代数式表示BQ,DF.

（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90,求AP的长.

（3）在点P的整个运动过程中，

①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？

②作直线BG交。。于点N,若BN的弦心距为1,求AP的长（干脆写出答案）.

18.如图，AB是。O的直径，点C为。O上一点，AE和过点C的切线相互垂直，垂足为E：AE交。O

于点D,直线EC交AB的延长线于点P,连接AC,BC,PB；PC=1：2.

（I）求证：AC平分NBAD；

（2）探究线段PB,AB之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AD=3,求△ABC的面积.

9

19.如图，AB是。。的直径，AB=6,过点。作OH_LAB交圆于点H,点C是弧AH上异于A、H的动

点，过点C作CDJ_OA,CE1OH,垂足分别为D、E,过点C的直线交OA的延长线于点G,且NGCD=

ZCED.

(I)求证：GC是。O的切线；

(2)求DE的长；

(3)过点C作CF_LDE于点F,若NCED=30。，求CF的长.

H

20.如图1,水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上,

AB=BC=6cm,OD=3cm,起先的时候BD=lcm,现在三角板以2cm/s的速度向右移动.

(I)当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；

(2)如图2,当AC与半圆相切时，求AD：

(3)如图3,当AB和DE重合时，求证：CF2=CG«CE.

Do

10

21.OO是aABC的外接网，AB是直径，过BC的中点P作。0的直径PG交弦BC于点D,连接AG、

CP、PB.

（I）如图1,若D是线段OP的中点，求NBAC的度数；

（2）如图2,在DG上取一点K,使DK二DP,连接CK,求证：四边形AGKC是平行四边形;

（3）如图3,取CP的中点E,连接ED并延长ED交AB于点H,连接PH,求证：PH1AB.

22.如图，在4ACE中，CA=CE,NCAE=30。，OO经过点C，且圆的宜径AB在线段AE上.

（I）试说明CE是。0的切线；

（2）若4ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示。。的直径AB：

（3）设点D是线段AC上随意一点（不含端点），连接0D,当LCD+OD的最小值为6时，求。0的直径

2

AB的长.

11

23.AB,CD是。O的两条弦，直线AB,CD相互垂直，垂足为点E,连接AD,过点B作BF_LAD,垂

足为点E直线BF交直线CD于点G.

(I)如图1,当点E在。O外时，连接BC,求证：BE平分NGBC：

(2)如图2,当点E在。O内时，连接AC,AG,求证：AC=AG；

(3)如图3,在(2)条件下，连接BO并延长交AD于点H,若BH平分NABF,AG=4,tanZD=-l,求

3

线段AH的长.

24.已知。O是以AB为直径的Z\ABC的外接圆，OD〃BC交于点D,交AC于点E,连接AD、BD,

BD交AC于点F.

(I)求证：BD平分NABC：

(2)延长AC到点P,使PF=PB,求证：PB是。O的切线；

(3)假如AB=10,cos/ABC二旦，求AD.

5

12

25.如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC,BD相交于点E,F是边BA延长线上一点，连接EF,以

EF为直径作。O,交DC于D,G两点，AD分别于EF,GF交于I,H两点.

（I）求NFDE的度数；

（2）试推断四边形FACD的形态，并证明你的结论；

（3）当G为线段DC的中点时，

①求证：FD=FI：

②设AC=2m,BD=2n,求。0的面积与菱形ABCD的面积之比.

26.己知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD〃AB,动点P,Q分别在线段OC,CD上，且DQ=OP,

AP的延长线与射线OQ相交于点E,与弦CD相交于点F（点F与点C,D不重合），AB=20,cosZAOC=-i,

5

设OP=x,Z\CPF的面积为y.

<I）求证；AP=OQ；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）当AOPE是直角三角形时，求线段OP的长.

备用尊

13

27.己知Rt^ABC中，AB是。0的弦，斜边AC交。0于点D,且AD=DC,延长CB交。0于点E.

(I)图I的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；

(2)如图2,过点E作。0的切线，交AC的延长线于点F.

①若CF=CD时，求sinZCAB的值；

②若CF=aCD(a>0)时，试猜想sin/CAB的值.(用含a的代数式表示，干脆写出结果)

28.如图1,4ABC内接于。O,ZBAC的平分线交。O于点D,交BC于点E(BE>EC),且BD=2%.过

点D作DF〃BC,交AB的延长线于点F.

(I)求证：DF为。0的切线；

(2)若/BAC=60。，DE=V7>求图中阴影部分的面积；

(3)若理=1,DF+BF=8,如图2,求BF的长.

AC3

14

29.在AABC的外接圆OO中，Z^ABC的外角平分线CD交。O于点D,F为益1.・

点，且AF=BC连接DF,并延长DF交BA的延长线于点E.

(I)推断DB与DA的数量关系，并说明理由：

(2)求证：△BCD04AFD；

(3)若NACM=120°,OO的半径为5,DO6,求DE的长.

30.如图，四边形ABCD是。O的内接正方形，AB=4,PC、PD是。O的两条切线，C、D为切点.

(I)如图1,求。O的半径；

(2)如图1,若点E是BC的中点，连接PE,求PE的长度；

(3)如图2,若点M是BC边上随意一点(不含B、C),以点M为直角顶点，在BC的上方作NAMN=90。,

交直线CP于点N,求证：AM二MN.

15

答案

1.(2024•包头)如图，在RiZSABC中，ZABC=90°,AB=CB.以AB为直径的。。交AC于点D,点E

是AB边上一点(点E不与点A、B重合)，DE的延长线交。0于点G,DF1DG,且交BC于点F.

(I)求证：AE=BF；

(2)连接GB,EF,求证：GBIEF；

(3)若AE=1,EB=2,求DG的长.

【分析】(1)连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形，求出NA与NC的度数，依据AB为圆的直径,

利用圆周角定理得到NADB为直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

得到AD=DC=BD」AC,进而确定出NA=NFBD,再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得

2

到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

(2)连接EF,BG,由三角形AED与三角形BFD全等，得至ljED=FD,进而得到三角形DEF为等腰直角

三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得

证；

(3)由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用

锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相像得到三角形AED与三角形GEB相像，

由相像得比例，求出GE的长，白GE+ED求出GD的长即可.

【解答】(1)证明：连接BD,

在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=BC,

/.ZA=ZC=45O,

VAB为圆O的直径,

・・・/ADB=90°,即BD_LAC,

.*.AD=DC=BD=-tAC,ZCBD=ZC=45°,

2

AZA=ZFBD,

VDF±DG,

/.ZFDG=90\

AZFDB+ZBDG=90°,

VZEDA+ZBDG=90°,

AZEDA=ZFDB,

在AAED和ABED中，

"A二NFBD

<AD=BD，

ZEDA=ZFDB

AAAED^ABFD(ASA),

.,.AE=BF；

16

(2)证明：连接EF,BG,

•••△AED空△BFD,

，DE=DF,

ZEDF=90°,

•••△EDF是等腰直角三角形，

ZDEF=45°,

VZG=ZA=45°,

ZG=ZDEF,

・・・GB〃EF；

(3)VAE=BF,AE=L

ABF=1,

在RtZ\EBF中，ZEBF=90%

・•・依据勾股定理得：EF2=EB2+BF2,

VEB=2,BF=1,

•・庇=62+[2=的,

:△DEF为等腰直角三角形，ZEDF=90°,

COSZDEF=-5?-,

EF

•・・EF=M，

：・DE二道义立二虫

22

VZG=ZA,ZGEB=ZAED,

AAGEB^AAED,

AGE=EBf即GE・ED=AE・EB,

AEED

.,・瓜^・GE=2,即GE=2Z近

25

则GD=GE+ED=^/^.

10

【点评】此题属于圆综合题，涉及的学问有：全等三角形的判定与性质，相像三角形的判定与性质，勾股

定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，娴熟驾驭判定与性质是解本题的关键.

2.(2024•青海)如图，AB为。0的直径，直线CD切。O于点M,BE_LCD于点E.

(I)求证：NBME=NMAB；

(2)求证：BM2=BE*AB；

(3)若BE」&,sinNBAM=W求线段AM的长.

55

17

c

E

A

【分析】(1)由切线的性质得出/BME+NOMB=9()。，再由直径得出NAMB=90。，利用同角的余角相等推

断出结论；

(2)由(1)得出的结论和直角，推断出△BMES/\BAM,即可得出结论，

(3)先在RtZXBEM中，用三角函数求出BM,再在RtAABM中，用三角函数和勾股定理计算即可.

【解答】解：(1)如图，连接0M,

•・•直线CD切。0于点M,

・・・/OMD=90。，

AZBME+ZOMB=90°,

•・・AB为。0的直径，

.\ZAMB=90°.

.*.ZAMO+ZOMB=90\

AZBME=ZAMO.

VOA=OM,

AZMAB=ZAMO,

AZBME=ZMAB：

(2)由(1)有，ZBME=ZMAB,

•/BE_LCD,

.\ZBEM=ZAMB=90°,

•••△BMES/XBAM,

,・,现二里

••而漏，

/.BM2=BE«AB；

(3)由(1)有，ZBME=ZMAB,

,・・$inNBAM=W,

5

，sinNBME=2,

5

在RtZXBEM中，BE=A2,

5

・・・sinNBME=^=上，

BM5

，BM=6,

在RtZXABM中，sinNBAM=S,

5

・・・$inNBAM=BM=3.,

AB5

・・・AB工BM=10,

3

依据勾股定理得，AM=8.

18

E

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直径，相像三角形的性质和判

定，三角函数，解本题的关键是推断出，△BMES/XBAM.

3.(2024•泉州)我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径

垂直平分这条弧所对的弦.你可以利用这一结论解决问题：

如图，点P在以MN(南北方向)为宜径的。O上，MN=8,PQJ_MN交「点Q,垂足为H,PQKMN,

弦PC、PD分别交MN于点E、F,且PE二PF.

(I)比较而与而的大小；

(2)若OH=2沈，求证：OP〃CD；

(3)设直线MN、CD相交所成的锐角为a,试确定cosa=Y3时，点P的位置.

【分析】(1)依据等腰三角形的性质，由PE=PF,PH_LEF可推断PH平分NFPE,然后依据圆周角定理得

到击而：

(2)连结CD、OP、OQ,OQ交CD于B,如图，先计算出PH=2&,则可推断△OPH为等腰直角三角

形得到NOPQ=45。，再推断AORQ为等腰直角三角形得到NP()Q=90。，然后依据垂径的推理由而=而得到

OQ1CD,

则依据平行线的判定方法得OP//CD；

(3)直线CD交MN于A,如图，由特殊角的三角函数值得Na=3()。，即直线MN、CD相交所成的锐角

为30°,利用OB_LCD得到/AOB=60°,则/POH=60°,然后在RQPOH中利用正弦的定义计算出PH即

可.

【解答】(1)解：・・・PE=PF,PH1EF,

・・・PH平分NFPE,

・・・/DPQ=NCPQ,

.,.CQ=DQ；

(2)证明：连结CD、OP、OQ,OQ交CD于B,如图，

,・・0H=2近OP=4,

工PH、/祥.(班产2加,

19

•••△OPH为等腰直角三角形，

・•・ZOPQ=45°,

而OP=OQ,

•••△OPQ为等腰直角三角形，

/POQ=90。，

AOPXOQ,

VCQ=DQ»

A0Q1CD,

AOP/7CD；

(3)解：直线CD交MN于A,如图，

Vcosa=^^,

2

/.Za=30°,即直线MN、CD相交所成的锐角为30。,

而OB_LCD,

ZAOB=60°,

VOH1PQ,

・•・ZPOH=60°,

在RtAPOH中，VsinZPOH二四，

_OP

.•・PH=4sin60°=2%,

即点P到MN的距离为2寸不

【点评】本题考查了圆的综合题：娴熟驾驭垂径定理及其推理、圆周角定理；能够敏捷应用等腰直角三角

形的性质和三角函数进行几何计算.

4.(2024•泸州)如图，ZXABC内接于。O,BD为。O的直径，BD与AC相交于点H,AC的延长线与过

点B的直线相交于点E,且/A=NEBC.

(I)求证：BE是。O的切线；

(2)已知CG〃EB,且CG与BD、BA分别相交于点F、G,若BG・BA=48,FG=&,DF=2BF,求AH

的值.

20

【分析】(1)欲证明BE是。O的切线，只要证明/EBD=90。.

(2)由△ABCs/^CBG,得BC=AB求出BC,再由△BFCs/^BCD,得BC?=BF・BD求出BF,CF,CG,

BGBC

GB,再通过计算发觉CG=AG,进而可以证明CH=CB,求出AC即可解决问题.

【解答】(1)证明：连接CD,

•・・BD是直径，

.,.ZBCD=90°,即ND+NCBD=90°,

VZA=ZD,ZA=ZEBC,

.,.ZCBD+ZEBC=90°,

ABEIBD,

「.BE是GO切线.

(2)解：・.・CG〃EB,

・・・/BCG=NEBC,

AZA=ZBCG,

•・•ZCBG=ZABC

AAABC^ACBG,

••匹二幽即BC2=BG*BA=48,

BGBC

，BC=4%，

VCG/7EB,

，CF_LBD,

/.△BFC^ABCD,

.\BC2=BF*BD,

VDF=2BF,

・・・BF=4,

在RTZ\BCF中，CF=AyBC2_FB2=472*

・・・CG=CF+FG=5加，

=22=3,

在RTZ\BFG中，BGA/BF+FG^2

VBG*BA=48,

・・・BA=8亚艮AG=5加,

/.CG=AG,

.\ZA=ZACG=ZBCG,ZCFH=ZCFB=90°,

/.ZCHF=ZCBF,

，CH=CB=4加，

21

VAABC^ACBG,

.AC_BC

，，CG-BG，

・

AC=BC<G=20V3

.*.AH=AC-CH=-^Z2.

3

【点评】本题考查切线的判定、圆的有关学问、相像三角形的判定和性质、勾股定理.等腰三角形的判定

和性质等学问，解题的关键是奇妙利用相像三角形的性质解决问题，属于中考压轴题.

5.(2024•赤峰)如图,在平面直角坐标系中，O(0.0),A(0,-6),B(8,0)三点在G)P上.

(I)求圆的半径及圆心P的坐标；

(2)M为劣弧标的中点，求证：AM是NOAB的平分线;

(3)连接BM并延长交y轴于点N,求N,M点的坐标.

【分析】(1)先利用勾股定理计算出AB=10,再利用圆周角定理的推理可推断AB为(DP的直径，则得到

OP的半径是5,然后利用线段的中点坐标公式得到P点坐标；

(2)依据圆周角定理由而二戴，NOAM:NMAB,于是可推断AM为NOAB的平分线;

(3)连接PM交OB于点Q,如图，先利用垂径定理的推论得到PM_LOB,BQ=0Q=AQB=4,再利用勾

股定理计算出PQ=3,则MQ=2,于是可写出M点坐标，接着证明MQ为ABON的中位线得到ON=2MQ=4,

然后写出N点的坐标.

【解答】解：⑴VO(0,0),A(0,-6),B(8,0),

.*.OA=6,OB=8,

AAB=J^2+g2=10,

•・•ZAOB=90°,

・・・AB为。P的直径，

22

J0P的半径是5

,・•点P为AB的中点，

・・・P（4,-3）；

（2）;M点是劣弧OB的中点,

工褊就

/.ZOAM=ZMAB,

JAM为NOAB的平分线；

（3）连接PM交OB于点Q,如图,

VOFBM，

Z.PM1OB,BQ=OQ=AJOB=4,

2

在RtZXPBQ中，PQ=7PB2-BQ2=7B2-4^3,

・・・MQ=2,

・・・M点的坐标为（4,2）；

VMQ/7ON,

而OQ=BQ,

・・・MQ为ABON的中位线，

AON=2MQ=4,

・・・N点的坐标为（0,4）.

【点评】本题考查了圆的综合题：娴熟驾驭垂径定理和圆周角定理；理解坐标与图形的性质，记住线段的

中点坐标公式，会利用勾股定理计算线段的长.此类题目通常解由半径、弦心距和弦的一半所组成的直角

三角形.

6.（2024•恩施州）如图，在。O中，直径AB垂直弦CD于E,过点A作NDAF=NDAB,过点D作AF

的垂线，垂足为F,交AB的延长线于点P,连接CO并延长交©O于点G,连接EG,已知DE=4,AE=8.

（I）求证：DF是。O的切线；

（2）求证：OC2=OE*OP：

（3）求线段EG的长.

23

【分析】(1)连接OD,由等腰三角形的性质得出NDAB=NADO,再由已知条件得出NADO二NDAF,证

出OD〃AF,由已知DFJ_AF,得出DFJ_OD,即可得出结论；

(2)由射影定理得出OD2=OE・OP,由OC=OD,即可得出OC2=OE・OP；

(3)由垂径定理得出DE=CE=4,ZOEC=90%由相交弦定理得出DE2=AEXBE,求出BE=2,得出直径

CG=AB=AE+BE=IO,半径OC」CG=5,由三角函数的定义得出cosC=型=9,在4CEG中，由余弦定理

2OC5

求出EG?,即可得出EG的长.

【辞答】(1)证明：连接OD,如图所示:

VOA=OD,

AZDAB=ZADO,

VZDAF=ZDAB,

AZADO=ZDAF,

・・・OD〃AF,

XVDF1AF,

・・・DF_LOD,

・・・DF是。O的切线；

(2)证明：由(1)得:DFXOD,

・•・ZODF=90°,

VAB±CD.

・••由射影定理得：OD2=OE・OP,

VOC=OD,

/.OC2=OE*OP；

(3)解：VABICD,

ADE=CE=4,ZOEC=90°,

由相交弦定理得：DE2=AEXBE,

即42=8XBE,

解得:BE=2,

・•・CG=AB=AE+BE=8+2=10,

・・.OC=&G=5,

2

,-.cosC=-^=A,

OC5

22222

在ACEG中，由余弦定理得：EG=CG+CE-2XCGXCEXCOSC=10+4-2X10X4X-l=52,

5

.,.EG=V52=2V13.

【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、射影定理、相交

弦定理、余弦定理、三角函数等学问；本题综合性强，有肯定难度，特殊是(3)中，须要运用相交弦定

理、三角函数和余弦定理来才能得出结果.

24

7.（2024•鄂州）如图,在RtAABC中,ZACB=90°,AO是AABC的角平分线.以O为圆心，OC为半

径作。O.

(I)求证：AB是。0的切线.

已知AO交。O于点E,延长AO交。O于点D,tanD;1,求娼的值.

2AC

(3)在（2）的条件下，设。。的半径为3,求AB的长.

【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与。O有交点，所以过点O作OF_LAB于点F,然后证明OC=OF

即可；

（2）连接CE,先求证NACE=/ODC,然后可知△ACEs^ADC,所以幽《二^,而tanND=9^=工；

ACCDCD2

（3）由（2）可知，AC2=AE・AD,柳以可求出AE和AC的长度,由（1）可知,AOFB^AABC,所以心、

BCAC

然后利用勾股定理即可求得AB的长度.

【解答】（1）如图，过点O作OF_LAB于点F,

YAO平分NCAB,

OC±AC,OF_LAB,

.\OC=OF,

JAB是。0的切线；

(2)如图，连接CE,

〈ED是。。的直径，

JZECD=90°,

AZECO+ZOCD=90°,

VZACB=90°,

JZACE+ZECO=90°,

.\ZACE=ZOCD,

VOC=OD,

AZOCD=ZODC,.\ZACE=ZODC,

VZCAE=ZCAE,/.AACE^AADC,

.AECE

••瓦F

VtanZD=—,

2

•.*'CE.~1,・，

CD2

.AE.1

•---------:

AC2

25

(3)由(2)可知：幽一工，

AC2

・••设AE=x,AC=2x,

VAACE^AADC,

・AEAC

••记而

AAC2=AE*AD,

(2x)2=x(x+6),

解得：x=2或x=0(不合题意，舍去)，

AAE=2,AC=4,

由(1)可知：AC=AF=4,

ZOFB=ZACB=90°,

VZB=ZB,

/.△OFB^AACB,

・

••BF_―OF,

BCAC

设BF二a,,・.BO至，

3

/.BO=BC-OC=3-3,

3

在RtaBOF中，

BO2=OF2+BF2,

・•.(^.-3)2=32+a2,

3

・・・解得：a二生或a=0(不合题意，舍去)，

7

AAB=AF+BF=122..

7

【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACES^ADC.本题涉及勾股定理，解方程，圆的

切线判定学问，内容比较综合，须要学生构造协助线才能解决问题，对学生综合实力要求较高.

8.(2024•德州)如图，。。是△ABC的外接圆，AE平分NBAC交。O于点E,交BC于点D,过点E

做直线1〃BC.

(I)推断直线1与。O的位置关系，并说明理由；

(2)若/ABC的平分线BF交AD于点F,求证：BE=EF；

(3)在(2)的条件下，若DE=4,DF=3,求AF的长.

【分析】(1)连接OE、OB、OC.由题意可证明踊二底，于是得到NBOE=NCOE,由等腰三角形三线合

一的性质可证明OE_LBC,于是可证明OEJJ,故此可证明直线1与。O相切；

26

（2）先由角平分线的定义可知NABF二NCBF,然后再证明NCBE二NBAF,于是可■得至UNEBF=NEFB,

最终依据等角对等边证明BE=EF即可；

（3）先求得BE的长，然后证明△BEDsaAEB,由相像三角形的性质可求得AE的长，于是可得到AF

的长.

【解答】解：（1）直线1与。0相切.

理由：如图1所示：连接OE、OB、OC.

「AE平分NBAC,

AZBAE=ZCAE.

.e.BE=CE.

AZBOE=ZCOE.

XVOB=OC.

AOE±BC.

AOE±1.

・•・直线1与。O相切.

(2)・・・BF平分NABC,

・・・/ABF=NCBF.

XVZCBE=ZCAE=ZBAE,

ZCBE+ZCBF=ZBAE+ZABF.

XVZEFB=ZBAE+ZABF,

AZEBF=ZEFB.

，BE=EF.

(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=7.

VZDBE=ZBAE,ZDEB=ZBEA,

AABED^AAEB.

嗡卷畔长解得;AE邛.

・•・AF=AE-EF=-^--7二驾.

44

【点评】本题主要考查的是圆的性质、相像三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、

切线的判定，证得NEBF二NEFB是解题的关键.

9.（2024•大庆）如图，在RtAABC中，ZC=90°,以BC为直径的。O交斜边AB于点M,若H是AC

的中点，连接MH.

（I）求证：MH为。O的切线.

（2）若MH=W,tanNABC=2,求。。的半径.

24

27

(3)在(2)的条件下分别过点A、B作。0的切线，两切线交于点D,AD与。O相切于N点，过N点

作NQJLBC,垂足为E,且交。0于Q点，求线段NQ的长度.

【分析】(1)连接OH、0M,易证0H是AABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COHg/XMOH,

所以NHC0=NHM0=9()。，从而可知MH是。O的切线；

(2)由切线长定理可知：MH=HC,再由点M是AC的中点可知AC=3,由tan/ABC=2,所以BC=4,

从而可知。O的半径为2；

(3)连接CN,AO,CN与A0用交于I,由AC、AN是。0的切线可知AO_LCN,利用等面积可求出可

求得CI的长度，设CE为x,然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ.

【解答】解：(1)连接OH、OM.

A

•・・H是AC的中点，O是BC的中点，

JOH是AABC的中位线，

・・・OH〃AB,

/.ZCOH=ZABC,ZMOH=ZOMB,

又・・・OB=OM,

・•・ZOMB=ZMBO,

.,.ZCOH=ZMOH,

在ACOH与△MOH中，

'OC二OM

<NCOH=NMOH，

OH二OH

AACOH^AMOH(SAS),

.,.ZHCO=ZHMO=90%

・・・MH是00的切线；

(2)・.・MH、AC是00的切线,

••・HC=MH4

.*.AC=2HC=3,

28

VtanZABC--5-,

4

・

••AC—.3

BC4

.,.BC=4,

・・・0O的半径为2；

(3)连接OA、CN、ON,OA与CN相交于点I,

VAC与AN都是。O的切线，

AAC=AN,AO平分NCAD,

AAO±CN.

VAC=3,OC=2,

・•・由勾股定理可求得：AO=V13»

TAC・OC,AO・CI,

22

AC1=^/13t

13

・・・由垂径定理可求得：CN二三逗,

13

设OE=x,

由勾股定理可得：CN2-CE2=ON2-OE2,

/.All-(2+x)2=4-X2,

13

・_10

••Av-9

13

・,.OE=W

13

由勾股定理可求得：EN=21,

13

工由垂径定理可知：NQ=2EN=98.

13

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的判定等学

问内容，对学生的综合实力要求较高，肯定要留意将所学学问贯穿起来.

10.(2024•哈尔滨)已知：ZXABC内接于。O,D是标上一点，ODJ_BC,垂足为H.

(I)如图1,当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH：

(2)如图2,当圆心O在AABC外部时，连接AD、CD,AD与BC交于点P,求证：ZACD=ZAPB：

29

(3)在(2)的条件下，如图3,连接BD,E为。O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N,连

接OE,BF为00的弦，BF10E于点R交DE于点G,若NACD-ZABD=2ZBDN,AC=5加，BN=3%,

tanZABC=­,求BF的长.

B

（圉3）

【分析】(1)OD_LBC可知点H是BC的中点，又中位线的性质可得AC=2OH；

(2)由垂径定理可知：丽奇，所以NBAD=NCAD,由因为NABC=NADC,所以NACD=NAPB；

(3)由NACD-NABD=2/BDN可知NAND=90。，由lan/ABC=-L可知NQ和BQ的长度，再由BF_L

2

OE和OD_LBC可知NGBN=NABC,所以BG二BQ,连接AO并延长交。O于点I,连接IC后利用圆周角

定理可求得IC和AI的长度，设QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED

的长度，最终利用tanNOED=^^|l可求得RG的长度，最终由垂径定理可求得BF的长度.

2

【解答】解：(1)VOD±BC.

・•・由垂径定理可知：点H是BC的中点，

•・•点O是AB的中点，

・・・0H是AABC的中位线，

.,.AC=20H；

(2)V0D1BC,

・•・由垂径定理可知：而二而，

.\ZBAD=ZCAD,

VAC=AC，

.\ZABC=ZADC,

A180°-ZBAD-ZABC=180°-ZCAD-ZADC,

/.ZACD=ZAPB,

(3)连接AO延长交于。O于点I,连接IC,AB与OD相交于点M,

（图3）

ZACD-ZABD=2ZBDN,

・•・ZACD-ZBDN=ZABD+ZBDN,

ZABD+ZBDN=ZAND,

/.ZACD-ZBDN=ZAND,

VZACD+ZABD=180°,

・•・ZABD+ZBDN=180°-ZAND,

30

.*.ZAND=180°-ZAND,

・•・ZAND=90°,

VtanZABC=—,BN=3逐，

2

・・.NQ=^1,

2

・•・由勾股定理可求得：BQ上,

2

VZBNQ=ZQHD=90%

.*.ZABC=ZQDH,

VOE=OD,

・・・/OED=NQDH,

VZERG=90°,

・・・/OED=NGBN,

・•・ZGBN=ZABC,

VAB1ED,

・・・BG=BQ=与GN=NQ=2^t

TAI是GO直径.

・•・ZACI=90°,

VtanZA!C=tanZABC=—,

2

・AC_1

••—^—9

IC2

・・・IC=10追

J由勾股定理可求得:AI=25,

连接OB,

设QH=x,

VtanZABC=tanNODE」,

2

・QH1

••=—,

HD2

AHD=2x,

.*.OH=OD-HD=-?5.-2X