2024-2025学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE2.2干脆证明与间接证明2.2.1内容标准学科素养1.理解综合法、分析法的意义，驾驭综合法、分析法的思维特点；2.用综合法、分析法解决问题.加强数学运算严格逻辑推理提高直观想象授课提示：对应学生用书第39页[基础相识]学问点一综合法eq\a\vs4\al(预习教材P85－86，思索并完成以下问题)阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b＞0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a＞0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b＞0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.提示：利用已知条件a＞0，b＞0和重要不等式，最终推导出所要证明的结论．学问梳理(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最终推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．(2)综合法的框图表示eq\x(P⇒Q1)→eq\x(Q1⇒Q2)→eq\x(Q2⇒Q3)→…→eq\x(Qn⇒Q)(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)学问点二分析法eq\a\vs4\al(预习教材P86－89，思索并完成以下问题)阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a，b＞0，求证：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).证明：要证eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，只需证a＋b≥2eq\r(ab)，只需证a＋b－2eq\r(ab)≥0，只需证(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，因为(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0明显成立，所以原不等式成立．提示：从结论动身起先证明，找寻使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．学问梳理(1)定义：从要证明的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．(2)分析法的框图表示eq\x(Q⇐P1)→eq\x(P1⇐P2)→eq\x(P2⇐P3)→…→eq\x(得到一个明显成立的条件)思索：1.综合法有哪些特点？提示：(1)综合法是从缘由推导出结果的思维方式，从“已知”“看”“可知”，逐步推出“未知”，其由因导果逐步推理的过程，事实上是找寻已知条件的必要条件．(2)综合法从命题的条件动身，利用定义、公理、定理等，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明．(3)用综合法证明题目，证明步骤严谨、逐层递进、步步为营、条理清楚、形式简洁、易于表达推理的思维过程．2．分析法的特点有哪些？提示：(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其推理过程是一步步寻求使结论成立的充分条件．(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定理、定义、公理等．3．比较综合法与分析法，有哪些区分与联系？提示：综合法分析法推理方向顺推，由因导果递推，执果索因解题思路探路较难，易生枝节简单探路，利于思索(优点)表述形式形式简洁，条理清楚(优点)叙述烦琐，易出错思索的侧重点侧重于已知条件供应的信息侧重于结论供应的信息联系：分析法便于我们去找寻证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法找寻解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用．[自我检测]1．设0＜x＜1，则a＝eq\r(2x)，b＝x＋1，c＝eq\f(1,1－x)中最大的是()A．a B．bC．c D．随x取值不同而不同解析：∵0＜x＜1，∴1＋x＞2eq\r(x)＝eq\r(4x)＞eq\r(2x)，∴只需比较1＋x与eq\f(1,1－x)的大小．∵1＋x－eq\f(1,1－x)＝eq\f(1－x2－1,1－x)＝－eq\f(x2,1－x)＜0.∴1＋x＜eq\f(1,1－x)，故c最大．答案：C2．要证eq\r(2)－eq\r(3)＜eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需证()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2＜(eq\r(6)－eq\r(7))2 B．(eq\r(2)－eq\r(6))2＜(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2＜(eq\r(3)＋eq\r(6))2 D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2＜(－eq\r(7))2解析：欲证eq\r(2)－eq\r(3)＜eq\r(6)－eq\r(7)，只需证eq\r(2)＋eq\r(7)＜eq\r(3)＋eq\r(6)，只需证(eq\r(2)＋eq\r(7))2＜(eq\r(3)＋eq\r(6))2.答案：C3．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且a2＋b2－c2＝ab，则角C的值为________．解析：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2).∵0＜C＜π，∴C＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)授课提示：对应学生用书第40页探究一综合法的应用[例1]在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2eq\f(C,2)＋cos2eq\f(A,2)≥eq\f(3,2)b.[证明]因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.因为左边＝eq\f(a1＋cosC,2)＋eq\f(c1＋cosA,2)＝eq\f(1,2)(a＋c)＋eq\f(1,2)(acosC＋ccosA)＝eq\f(1,2)(a＋c)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a·\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))＝eq\f(1,2)(a＋c)＋eq\f(1,2)b≥eq\r(ac)＋eq\f(b,2)＝b＋eq\f(b,2)＝eq\f(3,2)b＝右边，所以acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)≥eq\f(3,2)b.方法技巧综合法证明问题的步骤跟踪探究1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n＝1,2,3，…)．证明：(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明：(1)∵当n≥2时，an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n).又当n＝1时，S1＝a1＝1，a2＝eq\f(1＋2,1)·S1＝3，故S2＝1＋3＝4，也满意eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n).∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以2为公比的等比数列．(2)由(1)知eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)，且an＝eq\f(n＋1,n－1)Sn－1(n≥2)，于是Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4an(n≥2)．又a1＝1，S2＝4＝4a1，适合上式．因此对于随意正整数n，都有Sn＋1＝4an.探究二分析法的应用[例2]当a＋b＞0时，求证：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．[证明]要证eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需证eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋b2)))2≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a＋b))2，即证a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，所以eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．方法技巧分析法证题的思路与步骤分析法证明命题“若A成立，则B成立”的思路与步骤是：要证明(或为了证明)B成立，只需证明A1成立(A1是B成立的充分条件)，只需证明A2成立(A2是A1成立的充分条件)，……只需证明Ak成立(Ak是Ak－1成立的充分条件)，只需证明A成立(A是Ak成立的充分条件)．∵A成立，∴B成立．说明：对于一些含有分式、根式、对数式、指数式的不等式(或等式)的命题不便于用综合法证明时，经常考虑用分析法证明．跟踪探究2.求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．证明：设圆和正方形的周长为L，故圆的面积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))2，正方形的面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))2，则本题即证πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))2＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))2.要证πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))2＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))2，即证eq\f(πL2,4π2)＞eq\f(L2,16)，即证eq\f(1,π)＞eq\f(1,4)，即证4＞π，因为4＞π明显成立，所以πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))2＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))2.故原命题成立．探究三分析法与综合法的综合运用[例3]△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[证明]要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即证eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，即证eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1.即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2.因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac.所以c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．延长探究本例改为求证：eq\f(a＋b,1＋a＋b)＞eq\f(c,1＋c).证明：要证eq\f(a＋b,1＋a＋b)＞eq\f(c,1＋c)，只需证a＋b＋(a＋b)c＞(1＋a＋b)c，即证a＋b＞c.而a＋b＞c明显成立，所以eq\f(a＋b,1＋a＋b)＞eq\f(c,1＋c).方法技巧实际解题时，用分析法思索问题，找寻解题途径，用综合法书写解题过程，或者综合运用分析法与综合法，即从“未知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径．跟踪探究3.已知sinα＋cosα＝1，求证sin6α＋cos6α＝1.证明：∵sin6α＋cos6α＝(sin2α)3＋(cos2α)3＝(sin2α＋cos2α)(sin4α－sin2αcos2α＋cos4α)＝sin4α＋2sin2αcos2α＋cos4α－3sin2αcos2α＝(sin2α＋cos2α)2－3sin2αcos2α＝1－3sin2αcos2α.∴要证sin6α＋cos6α＝1，只需证sin2αcos2α＝0.将sinα＋cosα＝1两边平方，得2sinαcosα＝0，∴sin2αcos2α＝0，∴sin6α＋cos6α＝1.授课提示：对应学生用书第41页[课后小结](1)综合法证题是从条件动身，由因导果；分析法是从结论动身，执果索因．(2)分析法证题时，确定要恰当地运用“要证”“只需证”“即证”等词语．(3)在解题时，往往把综合法和分析法结合起来运用．[素养培优]分析法证明过程不规范致误用分析法证明：若a＞0，则eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2).易错分析：从条件入手干脆证明不等式较困难时，常用分析法寻求使结论成立的充分条件，但确定要留意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的．因而证明格式上应体现出“分析”探讨性(“要证……，只要证……”)，而非干脆确定结论．考查逻辑推理数学运算等核心素养．自我订正：证明：要证eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2)，∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋\f(1,a2))＋2))2≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)＋\r(2)))2，只需证