解密19双曲线（分层训练）-2022年高考数学二轮复习讲义分层训练

解密19双曲线A组基础练A组基础练1、（2022·重庆八中高二期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由双曲线的定义即可求出的周长.【详解】设，，由题意可得，由双曲线的定义可得，，则的周长是.故选：B.2、（2021·辽宁·高二阶段练习）若方程表示的是双曲线，则t的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题知，进而解方程即可得答案.【详解】解：因为方程表示的是双曲线，所以，解得：故选：C3、（2022·全国·模拟预测（理））若双曲线的一个焦点为，则（）．A． B． C． D．8【答案】D【解析】根据的关系计算可解．【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以，所以，解得．故选：D．4、（2021·江苏·高二专题练习）双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】把方程化为标准方程可判断焦点位置和实轴长、虚轴长可得答案.【详解】因为方程表示双曲线，所以，且，所以双曲线的焦点在轴上，且，所以，又虚轴长是实轴长的倍，所以，解得.故选：C.5、（2022·河南·模拟预测（理））已知双曲线的一条渐近线过点，是的左焦点，且，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据一条渐近线过点，可确定，再结合，，推得为等边三角形，从而确定，可求得双曲线方程.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，点在一条渐近线上，如图示：所以，则，且两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°，则,又，（为坐标原点），所以为等边三角形，从而,由，，解得，，所以双曲线的方程为,故选：A.6、（2022·内蒙古·铁路一中高二期末）已知双曲线，过左焦点且与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若弦的长恰等于实铀的长，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出，进而求出，之间的关系，即可求解结论．【详解】解：由题意，直线方程为：，其中，因此，设，，，，解得，得，，弦的长恰等于实轴的长，，，故选：B．7、（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B．若，则C的离心率为（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由可得，结合条件可得，代入双曲线方程即求.【详解】由题意得左焦点，设一渐近线的方程为，则另一渐近线的方程为，由题知直线FB：,由，得，即，由，可得A为FB的中点，又，∴，∴，化简得，∴.故选：A.8、（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知双曲线C：（，）的右焦点F（，0），点Q是双曲线C的左支上一动点，圆E：与y轴的一个交点为P，若，则双曲线C的离心率的最大值为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用双曲线的定义进行焦半径的转化，由此求出的最小值即可求出a的范围，再根据离心率计算公式可求离心率最大值.【详解】设双曲线C的左焦点为，则，即，故．由题意可得，∵，∴，则双曲线C的离心率．故选：A．9、（2022·江苏扬州·高三期末）已知为椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，点M是它们的一个公共点，且，分别为，的离心率，则的最小值为（）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】设椭圆、双曲线的共同半焦距为c，利用椭圆、双曲线定义及余弦定理建立关系，再借助均值不等式计算作答.【详解】设椭圆、双曲线的共同半焦距为c，由椭圆、双曲线对称性不妨令点M在第一象限，由椭圆、双曲线定义知：，且，则有，，在中，由余弦定理得：，即，整理得：，于是得，当且仅当，即时取“=”，从而有，所以的最小值为.故选：A10、（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4.(1)求C的方程；(2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值.【答案】(1)(2)1【解析】（1）由题意得，化简可得答案，（2）求出渐近线方程，设点，，，，，由可得，代入双曲线方程化简可得，然后表示的坐标，再进行数量积运算，化简后利用基本不等式可得答案(1)由题意得，即，整理得，因为双曲线的顶点坐标满足上式，所以C的方程为.(2)由（1）可知，曲线C的渐近线方程为，设点，，，，，由，得，整理得，①，把①代入，整理得②，因为，，所以.由，得，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值是1.11、（2021·江苏如皋·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点P满足.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若轨迹C的左，右顶点分别为，，点为轨迹C上异于，的一个动点，直线，分别与直线相交于S，T两点，以ST为直径的圆与x轴交于M，N两点，求四边形SMTN面积的最小值.【答案】(1)；(2)6.【解析】(1)，得动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，根据a、b即可求出结果；(2)可求得、、、，进而面积为，利用基本不等式计算即可.(1)由动点P满足，得动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，且，所以，所以，故动点P的轨迹C方程为：；(2)由(1)知，，所以直线的方程为，即，与直线的交点S的坐标为，直线的方程为，即，与直线的交点T的坐标为，设以ST为直径的圆的方程为，令，则，所以，，令，则，设，则，所以，又点在双曲线上，所以，故，又，所以，当且仅当即时等号成立，所以四边形面积的最小值为6.B组提升练B组提升练1、（2021·山东济南·高三阶段练习）双曲线的虚轴长为4，离心率，分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且│AB│是的等差中项，则│AB│等于（）A．8 B．4 C．2 D．8【答案】A【解析】由虚轴长求出b=2,再根据离心率求出a,进而结合题意及双曲线的定义求得答案.【详解】由题意，，由.由双曲线的定义可知：，两式相加得：.因为│AB│是的等差中项，所以，于是.故选：A.2、（2021·四川·威远中学校高二阶段练习（文））“”是“方程双曲线”的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先根据方程双曲线求出m的范围，进而判断答案.【详解】若方程双曲线，则，解得,所以“”是“方程双曲线”的充分必要条件.故选：A.3、（2022·湖北·沙市中学高二期末）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】根据题意得出的符号，进而得到的象限.【详解】由题意，，所以在第四象限.故选：D.4、（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））已知双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，的内切圆的圆心为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意得，，，，进而在中，利用等面积法得的内切圆的半径，再设的内切圆与边相切于点，进而在中结合勾股定理求解即可.【详解】解：因为双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，所以，，，因为，所以，设的内切圆的半径为，则，即，解得，如图，设的内切圆与边相切于点，则，，所以，所以故选：A5、（2021·山东泗水·高二期中）已知双曲线的渐近线与圆相切，且该双曲线过点，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据双曲线的渐近线与圆相切得到，再根据曲线经过点，得到解方程组即得解.【详解】解：双曲线的渐近线方程为，因为双曲线的渐近线与圆相切，所以.又双曲线经过点，所以.所以双曲线的方程为.故选：C6、（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（理））如图所示，双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A、B两点，A是的中点，且，则双曲线C的离心率（）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】由已知可得，设，，，，由点在渐近线上，求得点坐标，再由为的中点，得到点坐标，把代入渐近线，即可求得的离心率．【详解】A是的中点，为△的中位线，，所以，所以．设，，，，点在渐近线上，，得．又为的中点，，在渐近线上，，得，则双曲线的离心率．故选：B7、（2022·江西抚州·高二期末（理））已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得且，从而求出点的坐标，将其代入双曲线方程中，即可得出离心率.【详解】由题意，四边形为菱形，如图，则且，分别为的左，右支上的点，设点在第二象限，在第一象限.由双曲线的对称性，可得，过点作轴交轴于点，则，所以,则，所以，所以，则，即，解得，或，由双曲线的离心率，所以取，则故选：C8、（福建省龙岩市20212022学年高二上学期期末教学质量检查数学试题）经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】共渐近线的双曲线方程，设，把点代入方程解得参数即可.【详解】设，把点代入方程解得参数，所以化简得方程故选：C.9、（2022·辽宁·大连八中高二期末）设双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上第一象限内的点，若的三个内角分别为、、且，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设点，其中，，求得，且有，，利用两角和的正切公式可求得的值，进而可求得的值，即可得出该双曲线的渐近线的方程.【详解】易知点、，设点，其中，，且，，且，，，所以，，，因为，所以，，则，因此，该双曲线的渐近线方程为.故选：B.10、（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知圆与双曲线的渐近线相切，则正实数a的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分别求出圆的圆心坐标和双曲线的渐近线方程利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】圆的标准方程为，其圆心坐标为，则圆与双曲线的两条渐近线都相切，双曲线的渐近线方程为，则，解得，故选:.11、（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知点是双曲线右支上的任意一点，由点向双曲线的两条渐近线引垂线，垂足为和，则的面积为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，根据双曲线的渐近线方程可得，利用点到直线的距离公式可得、，代入可得答案.【详解】设，双曲线的渐近线方程为双曲线，所以渐近线的倾斜角为，所以，，因为，，所以的面积为.故选：C.12、（2021·四川·石室中学一模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若，（表示的面积），则双曲线C的离心率的值为（）A． B． C． D．或【答案】D【解析】以直线斜率是否存在进行分类.斜率存在时，直接代入题设中的式子，求出的值，进而求出离心率.斜率不存在时，由题意得出点的轨迹为圆，再利用解出点的坐标，根据“点差法”求出，进而求出离心率即可.【详解】若直线斜率不存在，不妨设点，则所以，则离心率；若直线斜率存在，设，中点，不妨设M在x轴上方，由，得，故点M在圆上，由，得，则，所以．由得，即．当时，，得．当时，，矛盾，舍去．综上所述，或．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题是求双曲线的离心率，在直线斜率不存在时，利用两点的中点，采用“点差法”求出是解题的关键.13、（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求得，可得出，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，可得，由可求得的取值范围.【详解】设，设双曲线的实轴长为，因为与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，则，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，所以，，则，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，即，因为，则，故.故选：B.14、（2022·江西·高三期末（理））已知点为双曲线的下焦点，为其上顶点，过作垂直于的实轴的直线交于、两点，若为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出点、的坐标，分析可知为锐角，可得出，由此可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设双曲线的半焦距为，由双曲线的对称性可知点、关于轴对称，则，因为为锐角三角形，则为锐角，将代入方程可得，取点、，易知点，，，故，即，可得，又因为，故.故选：B.15、（2022·重庆·西南大学附中高二期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线C过点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点M的直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，是否存在直线AB，使得成立，若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，直线AB的方程为：或.【解析】(1)根据给定的渐近线方程及所过的点列式计算作答.(2)假定存在符合条件的直线AB，设出其方程，借助弦长公式计算判断作答.(1)依题意，，解得：，所以双曲线C的标准方程是.(2)假定存在直线AB，使得成立，显然不垂直于y轴，否则，设直线：，由消去x并整理得：，因直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，设，于是得，则有，即或，因此，，解得，所以存在直线AB，使得成立，此时，直线AB的方程为：或.16、（2021·安徽·安庆市第二中学高二阶段练习）设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)设直线与轴交于点，关于轴的对称点为.若三点共线，求证：为定值.【答案】(1)；(2)，证明见解析.【解析】（1）直接求出渐近线方程；（2）分直线MN的斜率不存在时或存在两种情况进行讨论，用“设而不求法”直接证明；(1)令，则，∴双曲线的