第六章数列（模拟测试-教师版）

第六章：数列（模拟测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．44 B．48 C．55 D．72【答案】A【分析】利用基本量法可得，故可求的值.【详解】设的公差为d，则，即，则，故选：A.2．设是公差大于零的等差数列，为数列的前项和，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得出，再结合等差数列的性质以及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】，由是公差大于零的等差数列，且，可得，即；反之，若，则当时，，即．因此，“”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也涉及了等差数列基本性质的应用，考查推理能力，属于中等题.3．在等比数列中，公比，且，则（

）A．3 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根据等比数列的性质即可求解.【详解】，.故选:B.4．已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设等差数列、的公差分别为、,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关系,可得结论.【详解】设等差数列的公差分别为和,即,即①,即②由①②解得故选：C5．已知数列各项为正数，满足，，则（

）A．是等差数列 B．是等比数列C．是等差数列 D．是等比数列【答案】C【分析】分析可知数列的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论.【详解】因为数列各项为正数，满足，，故对任意的，，则，所以，数列的每一项都是正数，所以，，可得，由等差中项法可知，数列是等差数列，故选：C.6．已知正项数列的前n项和为，且，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由关系且可得，利用累加法、等比数列前n项和公式求.【详解】由题设，则，又都为正项，则，故，所以，所以，故.故选：C7．已知函数，数列满足，，，则（

）A．0 B．1 C．675 D．2023【答案】B【分析】利用函数计算可得，再利用数列的周期性可求.【详解】的定义域为，且，故为上的奇函数.而，因在上为增函数，在为增函数，故为上的增函数.又即为，故，因为，故为周期数列且周期为3.因为，所以.故选：B.8．已知数列由首项及递推关系确定.若为有穷数列，则称a为“坏数”.将所有“坏数”从小到大排成数列，若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由得，所以数列为等差数列,则，求出数列，当分母为0，得，即时，数列为有穷数列，得出，即，又，，根据单调性可得答案.【详解】由，得则，即所以数列为等差数列,则则，所以当时,，满足条件.当分母为0，得，即时，数列为有穷数列.当时,数列为有穷数列.则当分母为0时，无意义，此时数列为有穷数列，此时对应的值为所以，由，则，即设，则所以在上单调递增.所以设设，则所以在上单调递增.所以所以选项C正确故选：C【点睛】本题考查根据递推公式求数列的通项公式，考查新定义，考查求数列中项的范围，属于难题.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分）9．对于数列，若，，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．【答案】ACD【分析】由，得，两式相减得，结合可知数列所有奇数项和所有偶数项各自构成等差数列，从而即可对选项进行逐一判断.【详解】由，，得，，，所以A选项正确；又，，两式相减得，令，可得，所以不是等差数列，是等差数列，故B选项错误，C正确；同理，令，则，所以是以为首项，公差为2的等差数列，所以，故D正确.故选：ACD10．在数列中，，数列是公比为2的等比数列，设为的前n项和，则（

）A． B．C．数列为递减数列 D．【答案】ACD【分析】由已知结合等比数列通项公式可求，进而可求，然后结合单调性定义及数列的求和分别检验各选项即可判断和选择.【详解】因为，数列是公比为2的等比数列，所以所以，故正确，错误；因为是单调增函数，故是单调减函数，故数列是减数列，故正确；，故正确.故选：.11．已知数列满足为的前项和．则下列说法正确的是（

）A．取最大值时， B．当取最小值时，C．当取最大值时， D．的最大值为【答案】AD【分析】由题意知，即可得到的取值范围，从而得到令，即可得到，从而得到，即可判断A、B，再利用基本不等式求出，即可判断C、D.【详解】由题意知，则，因为，所以，令，所以，所以，所以，即或，又，故．当取最大值时，，此时，则，，故，故A正确；当取最小值时，，此时，则，，故，故B不正确；由，知，即，当且仅当时取等号，故当取最大值时，，此时，故C不正确，D正确．故选：AD12．数列，，，该数列为著名的裴波那契数列，它是自然界的产物揭示了花瓣的数量、树木的分叉、植物种子的排列等植物的生长规律，则下面结论正确的是（

）A． B．C．数列为等比数列 D．数列为等比数列【答案】ABD【分析】对于A，根据累加法得出结果；对于B，根据，，累加得出结果；对于C、D，先假设等比数列公比为q，再结合进行判断.【详解】对于A，由，，…，，两边相加并代入得，故A正确；对于B，因为，则，则.故B正确；对于C，假设为公比为q等比数列，故，即，所以，，矛盾，故C不成立.对于D，假设为公比为q的等比数列，故，即，由已知得：，，解得，所以D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是灵活利用数列的递推关系，将选项进行变形转化，由，转化，再结合累加得出结果.本题是一个偏难的题目，灵活性强，学生不容易把握.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列满足，，则数列的通项公式为．【答案】【分析】对已知递推关系的等式两边同时除以，利用累加法，结合裂项求和法即可求得结果.【详解】，两边同除得：，所以，即，化简得，∵，∴．故答案为：.14．已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则.【答案】【分析】分析可知是正奇数列，根据题意求得，然后利用裂项相消法求和即可.【详解】因为数列是正奇数列，对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；当为偶数时，设，则为奇数，所以，则，所以.故答案为：.15．已知数列满足，数列的前项和为，则.【答案】【分析】根据所给递推关系可得，，与原式作差即可求解，注意验证首项，再结合裂项相消法求和即可..【详解】因为，所以，两式相减，可得，即，又当时，，不满足，所以所以当时，，当时，,所以.故答案为：.16．已知各项都不为0的数列的前项和满足，其中，设数列的前项和为，若对一切，恒有成立，则能取到的最大整数是.【答案】【分析】根据题意推得，利用等差数列的通项公式，求得的通项公式为，得到，令，结合，求得最小时为，根据恒成立，求得，即可求解.【详解】因为，当时，，两式相减可得，即，因为数列的各项都不为0，所以，因为，所以，数列的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列，所以；数列的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以，故数列的通项公式为，可得，所以，令，，，则，所以随着的增大而增大，即在处取最小值，，又因为对一切，恒有成立，所以，解得，故能取到的最大整数是.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列的前项和为，．(1)证明：是等差数列；(2)求数列的前项积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据与的关系化简，可得，由等差数列的定义得证；（2）由（1）求出，再由累乘法求解.【详解】（1）由，得．所以，即，整理得，上式两边同时除以，得．又，所以，即，所以是首项为2，公差为1的等差数列．（2）由（1）知，．所以．所以．18．在①为等差数列，；②；③是等差数列，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知数列的前项和为，__________.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n项和公式以及由递推关系求通项的方法代入即可求解；（2）两次使用乘工笔错位相减即可求解.【详解】（1）若选①，设的公差为，由题意可得解得，所以.若选②，当时，，解得；由题得，所以当时，，作差得，即，又，所以，所以是公差为2的等差数列，所以.若选③，设的公差为，所以，所以，因为，所以，解得或（舍去），所以，当时，，当时，，也满足，所以.（2）由（1）可得，所以.所以，①所以，②①②得，令③则，④③④得，所以，所以，所以.19．已知为数列的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)设，记的前项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据数列递推式可得，采用两式相减的方法可得，从而构造数列，可求得的通项公式；（2）由（1）的结论可得的表达式，利用裂项求和法，可得答案.【详解】（1）当时，，则，因为，所以，两式相减得：，所以，，，，则，即也适合上式，所以是以5为首项，公比为2的等比数列，故：，故；（2）由（1）得，故，当时，，故.20．已知数列中，，，（），，，，成等差数列．(1)求k的值和的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，，成等差数列，可求得，即可求出值和通项公式.（2）由（1）可求出的通项公式，分类讨论即可求出数列的前n项和．【详解】（1）解：，，成等差数列，所以，得，得，因为，所以，所以，得．（2）由（1）知，当n为偶数时，设n＝2k，可得，即；当n为奇数时，设n＝2k－1，可得，即．综上所述，.21．已知函数的首项，且满足．(1)求证为等比数列，并求．(2)对于实数，表示不超过的最大整数，求的值．【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）由已知可推得，变形可得，即可得出证明.由已知，进而得出，整理即可得出答案；（2）分组求和得出.根据错位相减法求，得出，即可得出，然后根据，即可得出答案.【详解】（1）因为，，所以，所以，所以.又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以.（2）因为，所以.设，所以，所以，所以，所以.因为，所以，所以，所以.22．数列满足，.(1)证明：；(2)若数列满足，设数列的前n项和为，证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先从函数的角度证明不等式的右边成立，再运用数学归纳法或求通项的方法证明不等式右边成立，在利用求通项的方法时，需要给出数列的单调性说