第11章解三角形

20212022学年高一数学单元复习【压轴题型专项训练】第11章解三角形一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知锐角的内角，，的对边分别是，，，且，，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】由余弦定理知，又是锐角三角形，所以，且，得所以，则，又，故的取值范围是．故选A．2．已知在中，是边上的点，满足，且，则的值为A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，由正弦定理得：，由于，所以，①，由于，所以，在中，由正弦定理得：，由于，及，整理得，所以②，由①②得：．故选A．3．在中，角，，所对的边分别为，，，，．当角取最大值时，外接圆的直径是A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，根据正弦定理可知，因为，所以，所以，当且仅当即时取等号，所以，所以取最小值时取最大值，此时，所以出外接圆的直径为．故选A．4．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则的面积最大值为A． B． C． D．【答案】A【解析】，，由余弦定理得，即，则，当且仅当时取等号，则的面积，即的面积最大值为，故选A．5．在钝角中，已知，的对边分别为，，，，且，则A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】因为，所以，因为，所以，由正弦定理可得，，则，因为，所以，角为的内角，所以或，当时，为钝角三角形，符合题意；当时，因为，则，所以，则为钝角三角形，符合题意．故选D．6．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，则的取值范围是A．， B． C． D．【答案】B【解析】因为，由正弦定理可得，即，因为，，可得，所以，即，因为为锐角三角形，可得，解得，所以，因为，可得，可得，所以，即的取值范围是．故选B．7．在中，若，则的取值范围为A． B． C．， D．，【答案】B【解析】因为，所以，因为、，所以，则由正弦定理可得，因为，所以，所以，，设，则，，所以，设，，，则，所以在，上单调递增，所以（1），即，所以的取值范围为．故选B．8．在锐角中，角，，所对的边为，，，若，且，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，，，，，．，，由正弦定理得，，由锐角中，可得，，，，．故选D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】AD【解析】，由正弦定理可得，又，，即，，，，为锐角，，即，故选项正确；，，，故选项错误；，，故选项错误；，又，，令，则，由对勾函数性质可知，在，上单调递增，又，（1），，，故选项正确．故选AD．10．的内角，，所对的边分别为，，，已知，有以下结论：其中正确结论有A．当时， B． C．当，时，的面积为 D．当时，为钝角三角形【答案】BD【解析】根据题意，依次分析4个结论：对于，当时，由正弦定理可得，不妨设，，，．则，，因为，故，，不是等差数列，故错误；对于，由正弦定理可得，不妨设，，，．有，则，变形可得，故正确；对于，当，时，则，，则有，由余弦定理可得，则，此时的面积为，故不正确；对于，当时，此时，显然，设，则，，因为，可得：，所以，故，故为钝角三角形，故正确．故选BD．11．在中，有如下命题，其中正确的有A．若，，则是等边三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是钝角三角形 D．若，，，则这样的有2个【答案】ACD【解析】对于，在中，，，由余弦定理可得，，，解得，故为等腰三角形，由可得为等边三角形，故正确；对于，若，，不是等腰三角形，所以错误；对于，若，即，即，利用余弦定理可得，可得为钝角，则为钝角三角形，故正确；对于，由题意可得成立，所以这样的三角形有2个，故正确．故选ACD．12．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是A． B． C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是【答案】ABD【解析】在中，由于，可设，，，求得，，，由以上可得，三角形三边之比，故正确；可得，故，故正确；若，可得，可得，又，则的面积，故错误；若，则，可得，又，可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理，可得的外接圆半径是，故正确．故选ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知在中，角，，的对边分别是，，，若的面积为2，边上中线的长为．且，则外接圆的面积为．【答案】或【解析】因为，由正弦定理得，，所以，因为，所以，即，由为三角形内角得，，的面积，所以①，设为边上的中点，中，由余弦定理得，，所以②，①②联立得，或，当时，由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，，即，此时外接圆的面积，当时，由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，，即，此时外接圆的面积．故答案为：或．14．在中，角，，所对的边分别是，，，若，，则的最小值为．【答案】12【解析】因为，由正弦定理可得，又，所以，，可得，，由，可得，因为，所以，所以，又由余弦定理有，所以，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立．故答案为：12．15．半径为的圆外接于，且，若，则面积的最大值为．【答案】【解析】因为所以由正弦定理得：，即，所以由余弦定理可得：，又，故．由正弦定理得：，所以，所以当时，最大，．若，则面积的最大值为．故答案为：．16．已知在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则，的面积为．【答案】；4【解析】由正弦定理及，知，所以，即，因为，所以，因为，所以，由，知，由余弦定理可得，，化简得，所以，所以的面积．故答案为：；4．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在中，，，分别是角，，的对边，且．（1）求角；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）由可得，即，因为，所以，因为，所以；（2）由可得，且，由（1）可得，由余弦定理可得，当时，的最小值为1，当或2时，，当且仅当时，取得最小值，此时，所以，即，所以的取值范围是，．18．已知，，分别为三个内角，，的对边，，，的面积为．（1）求；（2）若为边上一点，且，求的正弦值．【答案】（1）由，，的面积为，，可得，由余弦定理有，．（2）当时，在中，由正弦定理可得，，为锐角，，．19．已知在中，为边上一点，，，．（1）求的长；（2）求．【答案】（1）依题意，在中，由余弦定理得，即，解得；（2）在中，由（1）知，由余弦定理可得，则有，在中，由正弦定理得．．20．在中，若边，，对应的角分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，，求的长度．【答案】（Ⅰ）解：因为，由正弦定理可得，在，，，，即又，，，（Ⅱ）解：且，，，．21．中，角，，所对应的边分别为，，，已知，，______．请在①；②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中并加以解答．（1）求角；（2）求的面积．【答案】（1）选条件①时，由于，所以，故利用正弦定理，整理得，转换为；由于，，故，解得；故；由于，所以．利用正