22第六章第二节

第二节与圆有关的位置关系考点圆与特殊四边形例(2019·河南)如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°.以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G.(1)求证：△ADF≌△BDG；(2)填空：①若AB＝4，且点E是的中点，则DF的长为________；②取的中点H，当∠EAB的度数为________时，四边形OBEH为菱形．【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB＝∠AEB＝90°，再根据同角的余角相等可得∠DAF＝∠DBG，易得AD＝BD，得证；(2)①作FM⊥AB，应用等弧所对的圆周角相等得∠BAE＝∠DAE，再应用角平分线的性质可得结论；②由菱形的性质可得BE＝OB，结合特殊三角函数值可得∠EAB＝30°.【自主解答】(1)∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°.∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝∠BDG＝∠AEB＝∠AEG＝90°，∴∠DAF＋∠BGD＝∠DBG＋∠BGD＝90°，∴∠DAF＝∠DBG.∵∠ABD＋∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠BAC＝45°，∴AD＝BD，∴△ADF≌△BDG.(2)①4－2②30°1．(2019·河南一模)如图，已知BC是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，连接AB交⊙O于点D.在AB上截取AE＝AC，在△ABC中，连接CE，交⊙O于点F.(1)求证：∠BAC＝2∠BCE；(2)连接OD，DF，当∠B＝________时，四边形OCFD是菱形．(1)证明：如图，连接AF.∵AC为直径，∴∠AFC＝90°，即AF⊥CE.∵AC＝AE，∴AF平分∠EAC，即∠EAF＝∠CAF.∵BC切⊙O于C，∴∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠CAF，∴∠BAC＝2∠BCE.(2)30°提示：如图，连接OF.∵∠EAF＝∠CAF，∴FD＝FC.当∠ACE＝60°时，CF＝OC＝OD＝FD，此时四边形OCFD为菱形．∵AE＝AC，∴△ACE为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，即当∠B＝30°时，四边形OCFD是菱形．2．(2019·安阳一模)如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，点P是AB的延长线上一点，且∠PDB＝∠A，连接DE，OE.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)填空：①当∠P的度数为________时，四边形OBDE是菱形：②当∠BAC＝45°时，△CDE的面积为________．(1)证明：如图，连接OD.∵OB＝OD，∠PDB＝∠A，∴∠ODB＝∠ABD＝90°－∠A＝90°－∠PDB，∴∠ODB＋∠PDB＝90°，∴∠ODP＝90°.又∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．(2)①30°②2－2.3．(2019·驻马店一模)如图，AB为⊙O的直径，点D是⊙O上一动点，过点B作⊙O的切线，连接AD并延长，交过点B的切线于点C，点E是BC的中点，连接DE，OD.(1)求证：DE是⊙O切线；(2)当∠A＝________度时，四边形OBED为正方形；(3)连接OE交⊙O于点F，连接DF，若OA＝2，BC＝________时，四边形ADFO为菱形．(1)证明：如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.∵在Rt△BDC中，点E是BC的中点，∴DE＝BE＝CE＝BC，∴∠DBE＝∠BDE.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠DBE＋∠OBD＝∠BDE＋∠ODB，即∠OBE＝∠ODE.又∵BC是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠OBE＝90°.∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．(2)45(3)4核心考点与切线有关的证明与计算1．命题规律分析：2．命题研究专家点拨：(1)“连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，则连接圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直．(2)“作垂直，证等径”：若未给出直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径．在判定时，必须说明“是半径”或“点在圆上”，这是最容易犯错的地方．(3)利用切线的性质解决问题时，常连接切点与圆心，构造垂直，然后通过勾股定理、解直角三角形或相似解题．百变例题

(2017·河南)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.(1)求证：BD＝BF；(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长．【分析】(1)寻找条件证明△BDC≌△BFC，从而得出结论；(2)利用勾股定理求出BC的长即可．【自主解答】(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠ACB＝∠BCF.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.∵BF为⊙O的切线，∴AB⊥BF.∵AB∥CF，∴∠F＝90°.在△BDC和△BFC中，∴△BDC≌△BFC，∴BD＝BF.(2)∵AC＝AB＝10，CD＝4，∴AD＝6，∴BD＝8，∴BC＝百变一：在百变例题的基础上，若BC与⊙O交于点E，如图，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点G，交AC于点M，连接DE.(1)求证：BE＝CE；(2)若∠G＝40°，求∠ADE的度数；(3)若BG＝6，CM＝2，求⊙O的半径．(1)证明：如图，连接AE.∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.(2)解：如图，连接OE.∵GM是切线，OE是半径，∴OE⊥GM，∴∠OEG＝90°.∵∠G＝40°，∴∠GOE＝50°.∵OB＝OE，∴∠OBE＝65°.∵点A，B，D，E都在⊙O上，∴∠ABE＋∠ADE＝180°，∴∠ADE＝115°.(3)解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵OB＝OE，∴∠ABC＝∠OEB，∴∠OEB＝∠ACB，∴OE∥AC，∴△GOE∽△GAM，设⊙O的半径是r，则AB＝AC＝2r，∴AM＝2r－2，∴r＝3，即⊙O的半径是3.百变二：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC，AC于E，D两点，过点E作⊙O的切线，交AC于点M，交AB的延长线于点G.(1)求证：DM＝CM；(2)若cos∠ABC＝，AB＝10，求线段AM的长．(1)证明：如图，连接AE.∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.∵AO＝OB，∴OE＝AC，OE∥AC.∵EM为⊙O的切线，∴OE⊥EM，∴AC⊥EM.∵A，B，E，D四点共圆，∴∠EDC＝∠ABE.∵AB＝AC，∴