专题02以单调性为主导的函数性质探究2022高三二轮热点题型专项突破

《以单调性为主导的函数性质》专项突破高考定位函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式，同时单调性可以和函数的其他性质结合，提高了综合性和创造性．学情解析一轮复习重点：确定函数单调性及单调区间的常用方法及流程:（1）能画出图像的函数用图像法，其思维流程为（2）由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数用转化法，其思维流程为（3）利用导数法求解单调区间本节复习重点（1）在奇偶性、对称性、周期性的作用下单调性的判定（2）对单调性的应用的梳理考点解析（1）单调性的判定（2）与奇偶性、对称性、周期性的交汇（3）单调性在不等式中的应用（4）构造单调函数分项突破类型一、判断函数的单调性例11利用复合函数判断单调性（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函数的定义域，再求出函数在所求定义域上的单调区间并结合复合函数单调性即可作答.【详解】在函数中，由得或，则的定义域为，函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，于是得在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递减区间为.故选：B.例12利用奇偶性判定单调性（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（文））已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则满足的m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得，即可解出，由奇函数的性质可得函数在上递增，再将等价变形为，然后根据单调性即可解出．【详解】依题意可得，解得，而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又函数连续，故函数在上递增，不等式即为，所以，解得．故选：B．练（2021·全国·高三月考（理））已知函数，则不等式的解集为______.【答案】【分析】利用导数可判断函数在为增函数，再利用函数奇偶性的定义可判断函数为偶函数，从而将转化为，进而可求出不等式的解集【详解】定义域为，由题意，，当时，，故在为增函数.因为，所以为偶函数，故即，则，故，解得，故原不等式的解集为.故答案为：.练．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据构造函数，利用函数的奇偶性、单调性比较大小．【详解】解：令函数，因为定义域为的是奇函数，所以函数为偶函数；，当时，因为，所以，所以，即，所以在上为减函数，，因为，所以，即.故选：B.例13利用对称性判定单调性（2021·全国·高三期中）已知是偶函数，当时，恒成立，设，，，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知函数在为增函数，由已知条件可得，结合函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】当时，恒成立，则，所以在为增函数.又因为是偶函数，所以，，即，所以，即.故选：A.例14利用周期性判定单调性．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（）A．f<f<fB．f<f<fC．f<f<fD．f<f<f【答案】C【分析】首先判断函数的周期，以及对称性，画出函数的草图，即可判断选项.【详解】因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，并且，所以函数关于对称，作出f(x)的草图(如图)，由图可知<<，故选：C.类型二、已知单调性求参例21．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知函数，若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a的不等式组，解不等式组即可得答案.【详解】解：因为函数在R上为减函数，所以，解得，所以实数a的取值范围为，故选：B.练.函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.【答案】【解析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足上符号一致.【详解】在上单调递增，在单调递减，则，即，同时需满足，即，解得，综上可知故答案为：【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意时，符号必须一致是解题的关键，属于中档题.例22．若函数在上单调递增，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，设，即有，只需要，解得.故选：A.例23．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得在区间上有解，即在区间上有解，令，则，当时，；当时，；故在上单调递增，在上单调递减；又因为，，，且当，即时，在区间上单调递减，所以，即，故选：B.类型三、利用单调性解不等式例31．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可【详解】的定义域为,因为，所以是奇函数，所以不等式可化为，因为在上均为增函数，所以在上为增函数，所以，解得，故选：A.练（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数，若，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围.【详解】易知为R上的奇函数，且在R上单调递减，由，得，于是得，解得.故选:C.例32（2021·辽宁沈阳·高三月考）设定义域为的函数满足，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．【详解】解：令，则，

故g（x）在R递增，

不等式，

即，

故，

故x＜2x−1，解得：x＞1，

故选：D.例33．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围___________.【答案】【分析】先求得函数为定义域上的偶函数，且在为递减函数，把不等式的恒成立，转化为，进而得到且在上恒成立，分别设函数和，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由函数的定义域为关于原点对称，又由，所以函数为定义域上的偶函数，所以，即不等式可化为，当时，函数根据初等函数的单调性，可得函数为单调递减函数，所以函数在上单调递增，在区间上单调递减，由，可得，整理得且，即且在上恒成立，设，可得，其中，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.设，可得，当时，，所以，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.类型四、利用单调性比较大小例41．（2021·北京通州·高三期中）已知函数的定义域为，，是偶函数，，有，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件可得关于直线对称，在上单调递增，结合可判断出答案.【详解】由是偶函数可得关于直线对称因为，有，所以在上单调递增因为，所以，，无法比较与0的大小故选：B.例42已知函数y=f（x）在区间（∞，0）内单调递增，且f（x）=f（x），若a=f（log123），b=f（21.2），c=f12，则a，b，c的大小关系为（A.a>c>bB.b>c>aC.b>a>cD.a>b>c【解析】易知f（x）为偶函数，因为a=f（log123）=f（log23）=f（log23），且log23>12，0<21.2<21=12，所以log23>12>21.2>0.又f（x）在区间（∞，0）内单调递增，且f（x）为偶函数，所以f（x）在区间（0，+∞）内单调递减，所以f（log23）<f12<f（21.2），即f（log123）<f12<f（21.2【答案】B类型五、构造单调函数例51（2021·浙江·高三期中）已知，，则“”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】构造函数，利用函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】解：由，得，令，在上单调递增，又，则．即当，时，．显然，，但由不能得到．故选：B．例52．（2021·安徽·池州市江南中学高三月考（理））已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x1<2<x