苏科版八年级数学上期末复习与强化提优（三）

苏科版八年级数学上期末复习与强化提优(三)

《第三章勾股定理》期末专题复习

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一：勾股定理一一(揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系)：如果直角三角形两

直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2(勾三、股四、弦五)

(1)重视勾股定理的叙述形式：

①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方

形的面积.

②斜边的平方等于两直角边的平方和.

从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

(2)勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍了赵爽弦图，这是一

种面积证法.

常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.

常见方法如下：

方法一：(赵爽弦图/毕达哥拉斯证法)

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形

方法三：(美国第20任总统詹姆斯•加菲尔德)

二：勾股定理的逆定理一一如果三角形的三边长a、b、c满足r+bJc*那么这个三

角形是直角三角形.

(1)勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某

个角为直角的目的。

(2)逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

步骤：找出最长边，计算两短边的平方和是否与最长边的平方相等

(3)直角三角形的判定：

①有一个角是直角的三角形是直角三角形。

②有两个角互余的三角形是直角三角形。

③两短边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形。

（4）勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数

如：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,12,15；9,

40,41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

1）确定勾股数：三个数都是正整数，两个较小数的平方和等于最大数的平方

2）如果a,b,c是一组勾股数，那么na,nb,nc（n为正整数）也是一组勾股数.

经典例题

例1.已知，在△ABC中，ZACB=90°,CD_LAB垂足为D,BC=6,AC=8,求AB与CD的长.

例2.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C,

而另一只爬到树顶D后直扑池塘C,结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

例3.如图，在ABC中，NACB=90°,AC=BC,P、Q在斜边上，且NPCQ=45°,求证：PQ2=AP2+BQ2=

例4..在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是CD上一点，且FC=1/4DC.试说明：AE±EF

例5.如图，距沿海某城市A正南220千米的8处，有一台风中心，其最大风力为12级，

每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°

的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响.（1）

A城市是否会受台风影响？为什么？（2）若会，将持续多长时间？（3）该城市受台风影响

的最大风力为几级？

C

1/

/风向

夕/

《第三章勾股定理》期末强化提优

（时间：90分钟满分：120分）

选择题（共20小题共40分）

1.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）

A.3、4、5B.6、8、10C.小、2、下D.5、12、13

2.如图，AABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将AABP绕点A逆时针旋转后，能与

△ACP'重合，如果AP=3,那么PP'的长等于（）

A.3^2B.2小C.4巾D.3小

第2题图第4题图第5题图第6题图第7题图

3.若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长的平方为（）

A.169B.169或119C.169或225D.225

4.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，ZADC=90°,AB=13米，BC=12米，则这

块地的面积为（）

A.24平方米B.26平方米C.28平方米D.30平方米

5.如图，在RtZXABC中，/ACB=90。，CD_LAB于点D.已知BC=8,AC=6,则线段CD

的长为（）

2412

A.10B.5C.yD.y

6..如图，在锐角△ABC中，AC=10,SAABC=25,ZBAC的平分线交BC于点D,点M,N

分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）

A.4B.24/5C.5D,6

7.如图，点P是NAOB内任意一点，且NAOB=40。，点M和点N分别是射线0A和射线

OB上的动点，当小PMN周长取最小值时，则NMPN的度数为（）

A.1400B.1000C.50°D.40°

8.下列各组数据分别为三角形的三边长：①2,3,4；②5,12,13；③吸，木,小;@m2-n2,

m2+n2-2mn.其中是直角三角形的有（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

9.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2,一蚂

蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）

10.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为Si、S2,

贝US1+S2的值为（）

A.16B.17C.18D.19

11.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五"的记载.如图1是由边长相等

的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入长方

形内得到的，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在长方形KLMJ的边上，

则长方形KLMJ的面积为（）

A.360B.400C.440D.484

12.如图，。为△ABC内任意一点，OD_LAB,OE±AC,OF±BC,若OD=OE=OF,连接OA,

OB,OC,下列说法不一定正确的是（）

A.ABODV△BOFB.ZOAD=ZOBFC.ZCOE=NCOFD.AD=AE

13.如图，在长、宽都为3cm,高为8cm的长方体纸盒的A处有一粒米粒，一只蚂蚁在B

处去觅食，那么它所行的最短路线的长是（）

A.(32+8)cmB.lOcmC.82cmD.无法确定

第13题图第16题图第17题图第18题图第20题图

14.要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物3m,顶端离地面4m,则梯子的长度

为（）

A.2mB.3mC.4mD.5m

15.若直角三角形的两边长分别为a,b,且满足a2-6a+9+|b-4|=0,则该直角三角形的第三

边长为（）

A.5B.7C.4D.5或7

16.如图，在AABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长

线于点E,则CE的长为（）

A.|B.jC.yD.2

17.有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm,BC=8cm,将AABC折叠，使点B与

点A重合，折痕为DE（如图），则CD等于（）

25「221「5

AA.丁cmB.《~cmC'cmD.gcm

18..如图，一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距

离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移（）

A.0.6米B.0.7米C,0.8米D,0.9米

19.一直角三角形两边分别为3和5,则第三边为（）

A、4B、734C、4或V34D、2

20.如图，在Rt^ABC中，以三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影

部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S,则（）

A.Si=S2B.Si<S2C.Si>S2D.无法确定

二.填空题（共10小题共20分）

21.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在

心△ABC中，若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外

延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是

第21题图第23题图第25题图第26题图

22.若一直角三角形的两边长为4、5,则第三边的长为

23.如图，已知在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AB=4,分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别

记为Si、S2,则S1+S2等于.

24..一根旗杆在离底部4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前

高为________

25.如图，为测得到池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使NABC=90。，

并测得AC长5米、BC长4米，则A、B两点间距离是米.

26.如图，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点，若

AE=3,EM+CM的最小值为.

27..在直线I上依次摆放着七个正方形（如图所示）.己知斜放置的三个正方形的面积分别是

1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是Si,S2,S3,S4,则

S1+S2+S3+S4=.

第27题图第28题图第30题图

28.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图"，后人称其为“赵爽弦图"（如

图（1））.图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形

ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为Si、S2>S3.若正方形EFGH的边长为2,

则Si+Sz+S3=.

29.若4ABC的三边分别是a、b、c,且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则4ABC是

三角形.

30.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折

痕为DG,则AG的长为.

三.解答题（共10小题共60分）

31如图，在四边形ABCD中，/B=/D=90°,ZA=60°,BC=2,CD=1,求AD的长.

'x一-----

32.如图，Z^ABC中，CD_LAB于D,若AD=2BD,AC=6,BC=4,求BD的

33.如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处.若AB=8,且4ABF

的面积为24,求EC的长.

E

B

34.如图，滑杆在机械槽内运动，/ACB为直角，已知滑杆AB长2.5m,顶端A在AC上

运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5m,当端点B向右移动0.5m时，求滑杆顶端A

下滑多少米？

35.如图，在AABC中，ZC=2ZB,D是BC上的一点，且AD_LAB,点E是BD的中点,

连结AE.

(1)求证：ZAEC=ZC；

(2)求证：BD=2AC；

(3)若AE=6.5,AD=5,求4ABE的周长.

36.如图所示，一根长2a的木棍(AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点

为P,若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.

(1)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；

(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AAOB的面积最大？简述理由，并求出面

积的最大值.

37.如图，ZliABC和4ECD都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90°,D为AB边上一

点.

求证：(1)Z\ACE丝ABCD；(2)AD2+DB2=DE2.

38.(1)如图①是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；

(2)如图②，RtAABC^RtACDE,ZB=ZD=90°,且B、C、D三点共线，试证明NACE

=90°；

⑶伽菲尔德(Garfield,1881年任美国第20届总统)利用⑴中的公式和图②证明了勾股定理

(1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上)，现请你尝试该发明过程.

bA

BbCaD

①②

教师样卷

经典例题

例1.己知，在△ABC中，ZACB=90°,CD_LAB垂足为D,BC=6,AC=8,求AB与CD的长.

解：在AABC中，ZACB=90°,CD±AB垂足为D,BC=6,AC=8,由勾股定理得:

AB=7BC2+爽工10,•：SAABC=V2AB・CD=皿AC・BC,/.CD=4.8

例2.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C,

而另一只爬到树顶D后直扑池塘C,结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

解：设BD=x米,则AD=(10+x)米,CD=(30-x)米,根据题意，得：

(30-x)2-(x+10)2=202,解得x=5.即树的高度是10+5=15米

例3.如图,在ABC中，NACB=90",AC=BC,P、Q在斜边上，且NPCQ=45°,求证：PQ2=AP2+BQ2«

证明：如图，在PC的右侧作CP的垂线，并截取CD=CP,连接BD,QD,则NDCQ=NPCQ=45。,

于是可证4DCB之△PCA(SAS),得AP=BD,NDBC=ZA=45°,「.ZDBQ=90°,再证△DCQV△PCQ

(SAS),得DQ=PQ,RtADBQ中，DQ2=BQ2+BD2SPPQ2=AP2+BQ2o

例4..在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是CD上一点，且FC=皿DC.试说明：AE±EF

勾股定理得AF=5a,EF=5a,AE=25a从而由(v，5a)2+(2v5a)2=(5a)2即

EF2+AE2=AF2.,.△AEF为直角三角形，斜边为AF,故NAEF=90°,即AE_LEF

例5.如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，

每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°

的方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响.(1)

A城市是否会受台风影响？为什么？(2)若会，将持续多长时间？(3)该城市受台风影响

的最大风力为几级？

C

1/

/风向

夕/

解：（1）该城市会受到这次台风的影响.理由是：如图，过A作ADLBC于D在

中，：乙48。=30°,AB=220,AAD=l/2AB=110,二,城市受到的风力达到或超过四级，

则称受台风影响，.•.受台风影响范围的半径为20X（12-4）=160.V110<160,

...该城市会受到这次台风的影响.（2）如图以A为圆心，160为半径作OA交

于E、F.则AE=AP=160....台风影响该市持续的路程为：EF=2DE=什；:“

\'、邙

2716021102=60^,，台风影响该市的持续时间‘=6°/元+15=%怎（小

时）.（3）距台风中心最近，.•.该城市受到这次台风最大风力为：12-（110:V.

>D.

4-20）=6.5（级）.

《第三章勾股定理》强化提优

（时间：90分钟满分：120分）

一.选择题（共20小题共40分）

1.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）

A.3、4、5B.6、8、10C.小、2、3D.5、12、13

【答案】C【解答】由勾股定理的逆定理可判定A、B、D三项均能构成直角三角形.：（/）2

+2?W（小下，.♦.选C.

3.如图，4ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将AABP绕点A逆时针旋转后，能与

△ACP'重合，如果AP=3,那么PP'的长等于（）

A.3^2B.2小C.4y[2D.3小

【答案】A【解答】由旋转的性质可得NP'AP=90。,AP'=AP=3,在RtZiAPP，中，根

据勾股定理得PP'=7AP2+AP'2=732+32=3班,.•.选A.

第2题图第4题图第5题图第6题图第7题图

3.若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长的平方为（）

A.169B.169或119C.169或225D.225

【答案】B【解析】若12和5都为直角边，则第三边长平方为169若12为斜边，5为直

角边，则第三边的平方为119,故答案为：B.

4.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，ZADC=90°,AB=13米，BC=12米，则这

块地的面积为（）c

A.24平方米B.26平方米C.28平方米D.30平方米

【答案】A【解析】【解答】如图，连接AC.由勾股定理可知AC=VAD2+C-“

22

=V4+3=5,又,.,AC2+BC2=52+122=132=ABR.AABC是直角三角形故所求面

积=4m(3的面积-AACD的面积=1/2x5xl2-1/2x3x4=24(m2>.答案为:A

6.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD_LAB于点D.已知BC=8,AC=6,则线段CD

的长为()

A.10

【答案】C【解析】VZACB=90°,BC=8,AC=6,/.AB=10.VCDXAB,.\!ABCD=

11124

^ACBC,即iX10XCD=5><8><6,：.CD=~r.£

ZZZD

眩'》

6..如图，在锐角△ABC中，AC=10,SAABC=25,NBAC的平分线交BC于点

D,点M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）

B.2仍

【答案】C【解析】【解答】如图，AD是NBAC的平分线，.•.点B关于AD的对称点B，

在AC上，过点夕作BNLAB于N交AD于M,由轴对称确定最短路线问题，点M即为使

BM+MN最小的点，B，N=BM+MN,过点B作BE_LAC于E,rAC=10,SAABC=25,/.1J2xl0»BE=25,

解得BE=5,AD是NBAC的平分线，B，与B关于AD对称，=AB=AB，，二△ABB，是等腰三角

形，，B，N=BE=5,即BM+MN的最小值是5.故答案为：C.餐二

7.如图，点P是NAOB内任意一点，且NAOB=40°,点M和点N分别

是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则NMPN。毛三二^一

的度数为（）一嘘

A.1400B.1000C.50°D.40°

【答案】B【解析】【解答】如图，分别作点P关于0B、0A的对称点C、D,连接CD,分别

交OA、0B于点M、N,连接0C、0D、PM、PN、MN,此时APMN周长取最小值.根据轴对称的性

质可得OC=OP=OD,ZCON=ZPONZPOM=ZDOM；因ZAOB=ZMOP+ZPON=4O°,即可得

ZCOD=2ZAOB=8O°,在中，OC=OD,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得

ZOCD=ZODC=5O°；在MON和AP0N中，OC=OP,zC0N=zP0N,ON=ON,利用SAS判定MON要APON,

根据全等三角形的性质可得4）CN=ZNPO=5O。，同理可得NOPM=4）DM=5O。，所以

ZMPN=ZNPO+ZOPM=5O°+50°=100°.故答案为：B.

8.下列各组数据分别为三角形的三边长：①2,3,4；②5,12,13；③血，木,小;@m2-n2,

m2+n2-2mn.其中是直角三角形的有（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】D【解析】利用直角三角形的判定定理易得②④可组成直角三角形.

9.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2,一蚂

蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）

A.3B.272C.V10D.4

【答案】c【解析】如图，AB=J（1+2）2+1=VHL故选c.

10.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为Si、S2,

则S2+S2的值为()

A.16B.17C.18D.19

【答案】B【解析】如图，设正方形Si的边长为x,「△ABC和4CDE都为等腰直角三角

形，；.AB=BC,DE=DC,ZABC=ZD=90°,.，.sinZCAB=sin45°=BCAC=22,即

AC=2BC,同理可得：BC=CE=2CD,AC=2BC=2CD,又：AD=AC+CD=6,

CD=63=2,.\EC2=22+22,即EC=22；；.Si的面积为EC2=22x22=8；：/MAO=

ZMOA=45°,/.AM=MO,VMO=MN,；.AM=MN,...M为AN的中点，；.S2

的边长为3,；.S2的面积为3x3=9,.•.SI+S2=8+9=17.故选B.

11.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五"的记载.如图1是由边长相等

的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入长方

形内得到的，NBAC=90。，AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在长方形KLMJ的边上，

则长方形KLMJ的面积为()

A.360B.400C.440D.484

【答案】C【解析】如下图：延长AB交KL于点O,延长AC交GM于点P,则四边形APLO

是正方形，A0=AB+AC=14,KL=6+14=20,ML=8+14=22,长方形KLMJ的面积为22*20=440.

故答案为：C.

12.如图，。为△ABC内任意一点，OD_LAB,OE±AC,OF±BC,若OD=OE=OF,连接OA,

OB,OC,下列说法不一定正确的是()

A.ABOD空△BOFB.ZOAD=ZOBFC.ZCOE=ZCOFD.AD=AE

【答案】B【解析】【解答】A、OD_LAB,OE±AC,OF±BC,OD=OE=OF,二0在NABC

的角平分线上QDBO=NFBO),ZODB=NOFB=90。，•/在4BOD和^BOF中

ZBDO=ZBFOZDBO=ZFBOBO=BO/.△BODV△BOF,正确，A不符合题意；B、根据

已知不能推出NOAD=ZOBF,错误，符合题意；C、；OD±AB,OE±AC,OF±BC,OD=OE=OF,

0在NACB的角平分线上(NFCO=ZECO),ZOFC=ZOEC=90°,:在ACOF和ACOE中

ZCFO=ZCEOZFCO=NECOCO=CO/.&CO0&COE,/.ZCOE=NCOF,正确，不符合题

意；D、OD±AB,OE±AC,ZAD0=ZAEO=90°,OD=OE,OA=OA,由勾股定理得：

AE=AD,正确，不符合题意；故答案为：B

13.如图，在长、宽都为3cm,高为8cm的长方体纸盒的A处有一粒米粒，一只蚂蚁在B处

去觅食，那么它所行的最短路线的长是()

A.(32+8)cmB.lOcmC.82cmD.无法确定

【答案】B【解析】将点A和点B所在的两个面展开，①矩形的长和

宽分别为6cm和8cm,故矩形对角线长AB=62+82=10cm；②矩形的长和/,,"

宽分别为3cm和11,故矩形对角线长AB=32+112=130cm.即蚂蚁所行的I

"6“3

最短路线长是10cm.故选B.

第13题图

14.要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物3m,顶端离地面4m,则梯子的长度

为（）

A.2mB.3mC.4mD.5m

【答案】D【解析】根据题意，画出图形，AB=4m,BC=3m,AC为梯子的长度，

可知△BAC^Rg,有AC=AB2+BC2=42+32=5（m）.故选：D.

15.若直角三角形的两边长分别为a,b,且满足a2-6a+9+|b-4|=0,则该直角三角4

形的第三边长为（）

A.5B.7C.4D.5或7

【答案】D【解析】：a2-6a+9+|b-4|=0,.'.a2-6a+9=0,b-4=0,；.a=3,b=4,

...直角三角形的第三边长=42+32=5,或直角三角形的第三边长=42-32=7,直角三角形

的第三边长为5或7,故选D.

16.如图，在AABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长

线于点E,则CE的长为（）

3725

B.3B.TC.~7~D.2

266

【答案】B【解析】连结AE,：DE垂直平分AB,AE=BE.设CE=x,贝|BE=AE=

7

3+x.在Rt^ACE中，VAC2+CE2=AE2,.,.42+X2=（3+X）2,解得X=&.

17.有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm,BC=8cm,将AABC折叠，使点B与

点A重合，折痕为DE（如图），则CD等于（）

252275

B.-cmB.-cmC.4cmDqcm

【答案】C【解析】设CD=xcm,则AD=BD=（8—x）cm,又AC=6cm,在RtZ\ACD

7

中，根据勾股定理,得6?+x2=（8—x）2,，x=w.

18..如图，一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距

离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移（）

A.0.6米B.0.7米C.0.8米D,0.9米

【答案】C【解析】在直角三角形ABC中，首先根据勾股定理求得AC=2.4,则A，C=2.4-

0.4=2,在直角三角形AEC中，根据勾股定理求得B，C=1.5,所以B，B=1.5-0.7=0.8,故选C.

19.一直角三角形两边分别为3和5,则第三边为（）

A、4B、\/34C、4或V34D,2

【答案】C【解析】①当5是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是4；②当5是直角

边时，根据勾股定理，得：第三边是抬+52=屈.故选C.

20.如图，在RtZ\ABC中，以三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影

部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2,贝!]()

A.Si=S2B.Si<S2C.Si>S2D.无法确定

ARRCAC

2222-22

【答案】A【解析]\'AB=BC+AC,/.)=,(-y)+71,(―),s1=s2.

—.填空题(共10小题共20分)

21.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在

2△ABC中，若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外

延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是

【答案】76【解析】由勾股定理得#52+(6+6)2=13,外围周长是4X(13+6)=4X19=76.

第21题图第23题图第25题图第26题图

22.若一直角三角形的两边长为4、5,则第三边的长为

【答案】百和3【解析】【解答】解：当4和5都是直角边时，则第三边是历

当5是斜边时，则第三边是3.故答案为：历和3.

23.如图，已知在RtaABC中，ZACB=90°,AB=4,分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别

记为S1、$2,则S1+S2等于.

2

【答案】2n【解析】Si=1/2兀(AC/2)2="SrtAC?,S2=lySnBC,所以Si+52=或兀

(AC2+BC2)=V8nAB2=2n.故答案为：2H.

24..一根旗杆在离底部4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前

高为________

【答案】12米【解析】【解答】解：如图所示，AC=6米，BC=4.5米，由勾

股定理得，AB=4.52+62=7.5(米).故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12(米).故/

答案是：12米.J

25.如图，为测得到池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使NABC=90。,

并测得AC长5米、BC长4米，则A、B两点间距离是米.

【答案】3【解析】【解答】由题意得，AC=5米，BC=4米，在RtAABC中，AB=',AC?一BC?

=3米故答案为：3

26.如图，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点，若

AE=3,EM+CM的最小值为.

【答案】3百【解析】【解答】解：如图作点C关于AD的对称点是点B,连接BE交AD于

点M,连接CM〔,等边△ABC中，AD是BC边上的中线.IAD是BC边上的高线，即AD垂直

平分BC.-.MB=MC当B.M、E三点共线时，EM+CM的值最小，即EM+CM=EM+BM=BE；等边

△ABC中，E是AC边的中点.,.在RtAABE中，

BE='A52-AF2=V62-32=3V5故答案为：3>/1

27..在直线I上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是

1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是Si,S2,S3,S4,则

S1+S2+S3+S4=

【答案】4【解析】观察发现，

AB=BE,ZACB=ZBDE=90",

ZABC+ZBAC=90°,ZABC+ZEBD=90°,

ZBAC=ZEBD,二△ABCV&BDE(AAS),

222222

BC=ED,■，-AB=AC+BC,AB=AC+ED=SI+S2,即S1+S2E,同理S3+S4=3.贝U

SI+S2+S3+S4=1+3=4.故答案为：4.

第27题图第28题图第30题图

28.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅"弦图"，后人称其为"赵爽弦图"(如

图(1)).图(2)由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形

ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为Si、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2,

则Si+S2+S3=.

【答案】12【解析】：八个直角三角形全等，四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形，

CG=KG,CF=DG=KF,，Si=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG»DG=GF2+2CG»DG,

22222222

S2=GF,S3=(KF-NF)=KF+NF-2KF«NF,SI+S2+S3=GF+2CG•DG+GF+KF+NF-

2KF»NF=3GF2=12,故答案是：12.

29.若AABC的三边分别是a、b、c,且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则AABC是

三角形.

【答案】直角【解析】把a2+b2+c2+50=6a+8b+10c移项，配方，得(a—3>+(b—4)2

+(c—5)2=0...a=3,b=4,c=5,V32+42=52,即a2+b2=c2.；.ZkABC是直角三角形.

30.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折

痕为DG,则AG的长为（）

3

【答案】，【解析】在矩形ABCD中，ZA=90°,VAB=4,AD=3,；.BD=5,折叠后

A'D=AD=3,...A'B=2.设AG=x,则BG=4—x,在Rt^GA'B中，A'G2+AZB2

3

=GB2,x2+22=（4—x）2,.".x=2.

三.解答题（共10小题共60分）

31如图，在四边形ABCD中，/B=/D=90°,ZA=60°,BC=2,CD=1,求AD的长.

解：分别延长AD、DC交于点E,在Rt^ABE中，：NA=60。，

E=30°,在Rt^CBE中，VZE=30°,BC=2,，EC=4,.，.DE=4+1=5,在此△

ABE中，ZE=30°,AE=2AD,AE2=AD2+DE2,4AD2=AD2+52,解得：

AD=*.

3

32.如图，ZiABC中，CD_LAB于D,若AD=2BD,AC=6,BC=4,求BD的

ADB

解：设BD=x,贝!]AD=2x,在RtZ\ACD中，由勾股定理得，AC2-AD2=CD2,

在Rt^BCD中，BC2-BD2=CD2,/.AC2-AD2=BC2-BD2,即62-(2x)2=42-x2

解得，x=2jly/3,贝!JBD=2JH/3.

33.如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处.若AB=8,且4ABF

的面积为24,求EC的长.

解：-.^6=8,.「在RtMBF中，AF=\/AB2+AF-=10,.-AD=AF=BC=10.-JCF=10-

6=4设EC=x,则EF=DE=8-x.在RtAECF中，EF2=CF2+CE2,即(8-x)2=x2+42,解得,

x=3..*.CE=3.

34.如图，滑杆在机械槽内运动，/