《一、平面和平面平行的性质》知识清单

《一、平面和平面平行的性质》知识清单#高中北师大版（2019）必修（第二册）第六章立体几何初步§4平行关系4.2平面与平面平行之平面和平面平行的性质知识清单##一、引入同学们，咱们先想象一个场景哈。你看咱们教室里的天花板和地面，它们就像是两个平行的平面。那这两个平行平面之间有没有什么特殊的关系或者性质呢？这就好比两个平行的世界，它们之间肯定有一些有趣的规律等着咱们去发现呢。今天咱们就来好好研究一下平面和平面平行的性质。##二、平面和平面平行的性质基础概念###（一）性质1：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。1、**概念解释**-比如说咱们有两个平行的平面，就像刚才说的天花板和地面，这时候有一堵墙（另一个平面），这堵墙和天花板、地面都相交，那在天花板上的交线和在地面上的交线肯定是平行的。这就像是两条铁轨，虽然在不同的“平面世界”里，但是因为它们对应的平面是平行的，所以它们自己也是平行的。-用数学语言来表示（这里可一定要认真看哦）：如果平面\(\alpha\parallel\beta\)，平面\(\gamma\cap\alpha=a\)，\(\gamma\cap\beta=b\)，那么\(a\parallelb\)。（这里的\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)就是不同的平面，\(a\)和\(b\)就是交线啦）。2、**证明思路**-咱们可以用反证法来证明这个性质。假设\(a\)和\(b\)不平行，那它们肯定会相交，假设交点是\(P\)。因为\(P\ina\)，\(a\subset\alpha\)，所以\(P\in\alpha\)；又因为\(P\inb\)，\(b\subset\beta\)，所以\(P\in\beta\)。这就意味着\(\alpha\)和\(\beta\)有公共点\(P\)了，这和咱们一开始说的\(\alpha\parallel\beta\)矛盾啊。所以假设不成立，\(a\parallelb\)。3、**实际例子**-想象一下建筑工地上，有两座平行的大楼（两个平行平面），然后有一个大的塔吊（可以看作是相交的平面），塔吊的钢索分别和两座大楼相交，那这些交线肯定是平行的。如果不平行的话，那塔吊可能就歪了，大楼也盖不整齐啦。###（二）性质2：夹在两个平行平面间的平行线段相等。1、**概念解释**-还是拿咱们教室举例，天花板和地面平行，有两根一样长的铅笔（把它们看成平行线段），一头放在天花板上，一头放在地面上，不管这两根铅笔在天花板和地面之间怎么放，只要它们是平行的，那它们的长度就是一样的。-数学表达式（仔细看哦）：如果\(\alpha\parallel\beta\)，\(AB\parallelCD\)，\(A\in\alpha\)，\(B\in\beta\)，\(C\in\alpha\)，\(D\in\beta\)，那么\(AB=CD\)。这里\(\alpha\)和\(\beta\)是平行平面，\(AB\)和\(CD\)就是夹在它们中间的平行线段啦。2、**证明思路**-咱们可以连接\(AD\)和\(BC\)。因为\(AB\parallelCD\)，\(AB\)和\(CD\)确定一个平面\(\gamma\)。\(\alpha\cap\gamma=AD\)，\(\beta\cap\gamma=BC\)。又因为\(\alpha\parallel\beta\)，根据前面说的性质1，\(AD\parallelBC\)。这样四边形\(ABCD\)就是平行四边形啦，平行四边形对边相等，所以\(AB=CD\)。3、**实际例子**-你看那种双层的书架，上下两层书架面是平行的（就像两个平行平面），有两根平行的小木条（可以想象成平行线段），用来固定书架的结构，这两根木条从上层书架到下层书架的长度肯定是一样的。如果不一样长，书架可能就不稳啦。###（三）性质3：当一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面时，它也垂直于另一个平面。1、**概念解释**-就好像有一个大板子（一个平面）和它下面平行的小台子（另一个平行平面），有一根直直的棍子（直线）垂直插在大板子上，那这根棍子肯定也垂直于下面的小台子。-数学表示：如果\(\alpha\parallel\beta\)，\(l\perp\alpha\)，那么\(l\perp\beta\)。这里\(\alpha\)和\(\beta\)是平行平面，\(l\)就是那条垂直的直线。2、**证明思路**-设\(m\)是\(\beta\)内的任意一条直线。在\(\alpha\)内作直线\(n\parallelm\)。因为\(\alpha\parallel\beta\)，根据性质1，\(n\parallelm\)。又因为\(l\perp\alpha\)，所以\(l\perpn\)。由于\(m\paralleln\)，所以\(l\perpm\)。因为\(m\)是\(\beta\)内任意一条直线，所以\(l\perp\beta\)。3、**实际例子**-想象一下那种有上下两层的舞台（两个平行平面），有一根直直的柱子（直线）从上层舞台垂直插下来，那这根柱子肯定也垂直于下层舞台。如果不垂直的话，这个舞台结构可能就有问题啦。##三、平面和平面平行性质的应用###（一）证明线线平行1、**解题思路**-如果要证明两条线平行，咱们就先找两个平行的平面，然后看这两条线是不是分别在这两个平行平面与第三个平面的交线上。如果是，那就可以根据平面和平面平行的性质1来证明这两条线平行啦。2、**例题**-已知正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，平面\(A_{1}BD\parallel\)平面\(B_{1}D_{1}C\)，平面\(A_{1}BD\cap\)平面\(ABCD=BD\)，平面\(B_{1}D_{1}C\cap\)平面\(ABCD=AC\)，求证\(BD\parallelAC\)。-解题步骤：因为平面\(A_{1}BD\parallel\)平面\(B_{1}D_{1}C\)，平面\(A_{1}BD\cap\)平面\(ABCD=BD\)，平面\(B_{1}D_{1}C\cap\)平面\(ABCD=AC\)，根据平面和平面平行的性质1，所以\(BD\parallelAC\)。###（二）证明线段相等1、**解题思路**-当要证明两条夹在两个平行平面间的线段相等时，先证明这两条线段平行，再根据平面和平面平行的性质2就可以得出它们相等啦。2、**例题**-在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，平面\(ABC\parallel\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}\)，\(D\)，\(D_{1}\)分别是\(BC\)，\(B_{1}C_{1}\)的中点，求证\(AD=A_{1}D_{1}\)。-解题步骤：因为平面\(ABC\parallel\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}\)，\(D\)，\(D_{1}\)分别是\(BC\)，\(B_{1}C_{1}\)的中点，所以\(DD_{1}\parallelAA_{1}\)，\(AD\parallelA_{1}D_{1}\)。又因为\(AD\)和\(A_{1}D_{1}\)夹在平行平面\(ABC\)和\(A_{1}B_{1}C_{1}\)之间，根据平面和平面平行的性质2，所以\(AD=A_{1}D_{1}\)。###（三）证明线面垂直1、**解题思路**-如果要证明一条直线垂直于一个平面，先找到一个与这个平面平行的平面，然后证明这条直线垂直于那个平行平面，再根据平面和平面平行的性质3就可以得出这条直线垂直于要证明的平面啦。2、**例题**-已知平面\(\alpha\parallel\beta\)，直线\(l\perp\alpha\)，求证\(l\perp\beta\)。-解题步骤：因为平面\(\alpha\parallel\beta\)，直线\(l\perp\alpha\)，根据平面和平面平行的性质3，所以\(l\perp\beta\)。##四、练习题###（一）基础题1、已知平面\(\alpha\parallel\beta\)，平面\(\gamma\)与\(\alpha\)、\(\beta\)分别相交于直线\(a\)、\(b\)，若\(a=3x+1\)，\(b=5-x\)，求\(x\)的值。-解题思路：根据平面和平面平行的性质1，\(a\parallelb\)，所以\(a\)和\(b\)的斜率相等（在这种情况下，就是系数相等啦），即\(3=-1\)（这里是错误的，我们只是按照思路分析，实际应该是\(a\)和\(b\)是平行关系，不是相等关系，这里是为了引出正确思路）。正确的是因为\(a\parallelb\)，所以\(a\)和\(b\)的关系是\(3x+1=5-x\)。-解题步骤：\(3x+1=5-x\)，移项得到\(3x+x=5-1\)，即\(4x=4\)，解得\(x=1\)。2、在长方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，平面\(ABCD\parallel\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，\(AB=5\)，\(A_{1}B_{1}=5\)，\(AD=3\)，\(A_{1}D_{1}=3\)，\(E\)，\(E_{1}\)分别是\(AD\)，\(A_{1}D_{1}\)的中点，求证\(EE_{1}\)与平面\(ABCD\)和平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的关系。-解题思路：首先\(EE_{1}\parallelAA_{1}\)，因为平面\(ABCD\parallel\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，\(AA_{1}\perp\)平面\(ABCD\)，根据平面和平面平行的性质3，\(AA_{1}\perp\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，又因为\(EE_{1}\parallelAA_{1}\)，所以\(EE_{1}\perp\)平面\(ABCD\)且\(EE_{1}\perp\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)。-解题步骤：因为在长方体中\(E\)，\(E_{1}\)分别是\(AD\)，\(A_{1}D_{1}\)的中点，所以\(EE_{1}\parallelAA_{1}\)。又因为平面\(ABCD\parallel\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，\(AA_{1}\perp\)平面\(ABCD\)，根据性质3，\(AA_{1}\perp\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，由于\(EE_{1}\parallelAA_{1}\)，所以\(EE_{1}\perp\)平面\(ABCD\)且\(EE_{1}\perp\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)。###（二）提高题1、已知三棱锥\(P-ABC\)，\(D\)，\(E\)，\(F\)分别是\(PA\)，\(PB\)，\(PC\)的中点，平面\(DEF\parallel\)平面\(ABC\)，\(AB=6\)，\(AC=8\)，\(BC=10\)，求\(DE\)的长度。-解题思路：因为\(D\)，\(E\)分别是\(PA\)，\(PB\)的中点，所以\(DE\parallelAB\)。又因为平面\(DEF\parallel\)平面\(ABC\)，\(DE\)和\(AB\)夹在这两个平行平面之间，根据平面和平面平行的性质2，\(DE=\frac{1}{2}AB\)。-解题步骤：因为\(D\)，\(E\)分别是\(PA\)，\(PB\)的中点，所以\(DE\parallelAB\)。已知\(AB=6\)，根据平面和平面平行的性质2，\(DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times6=3\)。2、如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是平行四边形，平面\(PAB\parallel\)平面\(PCD\)，\(M\)，\(N\)分别是\(PA\)，\(PB\)的中点，求证：\(MN\parallel\)平面\(PCD\)。-解题思路：因为\(M\)，\(N\)分别是\(PA\)，\(PB\)的中点，所以\(MN\parallelAB\)。又因为底面\(ABCD\)是平行四边形，所以\(AB\parallelCD\)，从而\(MN\parallelCD\)。因为平面\(PAB\parallel\)平面\(PCD\)，\(MN\subset\)平面\(PAB\)，\(CD\subset\)平面\(PCD\)，根据平面和平面平行的性质1，\(MN\parallel\)平面\(PCD\)。-解题步骤：因为\(M\)，\(N\)分别是\(PA\)，\(PB\)的中点，所以\(MN\parallelAB\)。由于底面\(ABCD\)是平行四边形，所以\(AB\parallelC