《四、单调性》知识清单

《四、单调性》知识清单正弦函数和余弦函数单调性知识清单一、明确目标和范围1、主题：正弦函数和余弦函数的单调性。2、涵盖内容正弦函数单调性的定义、区间。余弦函数单调性的定义、区间。如何根据函数图象判断单调性。单调性在解决实际问题中的应用。3、编写目的帮助高中学生（使用北师大版2019选择性必修第一册教材）更好地理解正弦函数和余弦函数的单调性这一重要知识点，为解决相关数学问题（如函数值域、最值等）打下基础。二、正弦函数的单调性（一）正弦函数的图象与单调性的直观感受咱们先来说说正弦函数。你可以把正弦函数的图象想象成是大海里的波浪，一波接着一波。从图象上看，正弦函数y＝sinx在一个周期内，它的单调性是有规律的。我有一次在海边看海浪，那海浪一会儿冲上来，一会儿又退下去，就像正弦函数的图象在上升和下降一样。正弦函数的图象在区间＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi,＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi（k\inZ)上是单调递增的。就好比海浪在某一段距离内是朝着岸边涌过来，而且越来越高。比如说，当k＝0时，在区间＼frac{＼pi}｛2}，＼frac{＼pi}｛2}上，随着x的值越来越大，y＝sinx的值也越来越大。这就像海浪从比较低的地方不断往高处涌。（二）正弦函数单调性的证明（简单理解版）那怎么知道它在这个区间是单调递增的呢？咱们可以从正弦函数的定义出发。对于任意的x_1,x_2\in＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi,＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi（k\inZ)，且x_1＜x_2。根据正弦函数的差角公式sin(AB)＝sinAcosBcosAsinB，我们可以得到sinx_2sinx_1＝2cos\frac{x_2＋x_1}｛2}sin\frac{x_2x_1}｛2}。因为x_1,x_2\in＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi,＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi（k\inZ)，所以＼frac{x_2＋x_1}｛2}＼in＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi,＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi（k\inZ)，那么cos\frac{x_2＋x_1}｛2}＞0。又因为x_1＜x_2，所以sin\frac{x_2x_1}｛2}＞0，这样就得出sinx_2sinx_1>0，也就是sinx_2>sinx_1，这就证明了正弦函数在这个区间是单调递增的。在区间＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi,＼frac{3\pi}｛2}＋2k\pi（k\inZ)上，正弦函数是单调递减的。这就像海浪在另一段距离内是朝着远离岸边的方向退去，而且越来越低。三、余弦函数的单调性（一）余弦函数的图象与单调性再来看余弦函数y＝cosx，它的图象就像弹簧一样，一会儿压缩，一会儿拉伸。从图象上看，余弦函数在区间2k\pi,＼pi+2k\pi（k\inZ)上是单调递减的。我记得有一次我玩弹簧，把弹簧压下去的时候，它的长度在不断减小，就像余弦函数的值在这个区间不断减小一样。例如，当k＝0时，在区间0,＼pi上，随着x的值从0增加到＼pi，y＝cosx的值从1减小到1。（二）余弦函数单调性的理解对于余弦函数在这个区间单调递减的理解，我们也可以从它的定义和性质来考虑。设x_1,x_2\in2k\pi,＼pi+2k\pi（k\inZ)，且x_1＜x_2。根据余弦函数的差角公式cos(AB)＝cosAcosB＋sinAsinB，可以得到cosx_2cosx_1=2sin\frac{x_2＋x_1}｛2}sin\frac{x_2x_1}｛2}。因为x_1,x_2\in2k\pi,＼pi+2k\pi（k\inZ)，所以＼frac{x_2＋x_1}｛2}＼in2k\pi,＼pi+2k\pi（k\inZ)，那么sin\frac{x_2＋x_1}｛2}＞0。又因为x_1＜x_2，所以sin\frac{x_2x_1}｛2}＞0，这样就得出cosx_2cosx_1＜0，也就是cosx_2＜cosx_1，证明了余弦函数在这个区间是单调递减的。而在区间＼pi+2k\pi,2\pi+2k\pi（k\inZ)上，余弦函数是单调递增的，就像弹簧从被压缩得最厉害的状态开始慢慢恢复原状，长度不断增加。四、根据函数图象判断单调性（一）图象上升与下降我们可以通过观察正弦函数和余弦函数的图象来判断它们的单调性。如果图象是上升的，那函数就是单调递增的；如果图象是下降的，函数就是单调递减的。就像我们看股票走势图一样，如果股票价格的曲线是上升的，那就说明股票在这个时间段是上涨的，也就是单调递增；如果曲线是下降的，股票就是下跌的，也就是单调递减。（二）特殊点的作用图象上的特殊点也很重要。对于正弦函数，像（＼frac{＼pi}｛2}，1)，（＼frac{＼pi}｛2}，1)等点，这些点可以帮助我们确定单调区间的边界。对于余弦函数，像（0,1)，（＼pi,1)等点也有同样的作用。就好比在地图上，一些标志性的地点可以帮助我们确定区域的边界一样。五、单调性在实际问题中的应用（一）求函数的值域1、对于函数y＝A\sin(＼omegax+＼varphi)＋B（A\neq0,＼omega\neq0），我们可以根据正弦函数的单调性来求它的值域。因为正弦函数y＝sinx的值域是1,1，当＼sin(＼omegax+＼varphi)取到1时，y＝A\sin(＼omegax+＼varphi)＋B取到最小值y_{min}＝A＋B；当＼sin(＼omegax+＼varphi)取到1时，y＝A\sin(＼omegax+＼varphi)＋B取到最大值y_{max}＝A＋B。这里要注意，要先确定＼omegax+＼varphi的取值范围，然后根据正弦函数的单调性来确定＼sin(＼omegax+＼varphi)的最值。2、同样对于函数y＝A\cos(＼omegax+＼varphi)＋B（A\neq0,＼omega\neq0），根据余弦函数的单调性求值域。余弦函数y＝cosx的值域是1,1，当＼cos(＼omegax+＼varphi)取到1时，y＝A\cos(＼omegax+＼varphi)＋B取到最小值y_{min}＝A＋B；当＼cos(＼omegax+＼varphi)取到1时，y＝A\cos(＼omegax+＼varphi)＋B取到最大值y_{max}＝A＋B。也要先确定＼omegax+＼varphi的取值范围，再根据余弦函数的单调性确定＼cos(＼omegax+＼varphi)的最值。（二）解决物理中的振动问题在物理中，简谐振动可以用正弦函数或余弦函数来描述。比如一个弹簧振子的位移x随时间t的变化关系可以表示为x＝A\sin(＼omegat+＼varphi)（或x＝A\cos(＼omegat+＼varphi)）。根据正弦函数或余弦函数的单调性，我们可以知道振子在什么时候运动得最快（函数的导数与单调性有关，这里简单理解为函数变化最快的时候），什么时候运动得最慢。这就像我们观察秋千的摆动一样，在某些位置秋千荡得快，在某些位置荡得慢，这和正弦函数或余弦函数的单调性是有关系的。（三）解决几何中的角度问题在几何中，有时候我们需要求某个角的范围，这个角可能与正弦函数或余弦函数有关。例如，在一个三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角的范围。我们可以利用正弦定理＼frac{a}｛＼sinA}＝＼frac{b}｛＼sinB}＝＼frac{c}｛＼sinC}，把角的关系转化为正弦函数的关系，然后根据正弦函数的单调性来确定角的范围。这就像我们在拼图的时候，要根据各个小块的形状和关系来确定它们的位置一样，根据正弦函数的单调性来确定角的范围就是在找到合适的“位置”。六、习题1、求函数y＝2\sin(3x＼frac{＼pi}｛4}）的单调递增区间。2、已知函数y＝＼cos(2x+＼varphi)在区间＼frac{＼pi}｛3}，＼frac{2\pi}｛3}上单调递减，求＼varphi的取值范围。3、在三角形ABC中，已知a＝3，b＝4，A=＼frac{＼pi}｛3}，利用正弦函数的单调性求角B的范围。答案：1、令u＝3x＼frac{＼pi}｛4}，因为正弦函数y＝sinu的单调递增区间是＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi,＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi（k\inZ)，则＼frac{＼pi}｛2}＋2k\pi\leqslant3x＼frac{＼pi}｛4}＼leqslant\frac{＼pi}｛2}＋2k\pi（k\inZ)，解这个不等式得：＼frac{＼pi}｛12}＋＼frac{2k\pi}｛3}＼leqslantx\leqslant\frac{＼pi}｛4}＋＼frac{2k\pi}｛3}（k\inZ)，所以函数y＝2\sin(3x＼frac{＼pi}｛4}）的单调递增区间是＼frac{＼pi}｛12}＋＼frac{2k\pi}｛3}，＼frac{＼pi}｛4}＋＼frac{2k\pi}｛3}（k\inZ)。2、令u＝2x+＼varphi，余弦函数y＝cosu的单调递减区间是2k\pi,＼pi＋2k\pi(k\inZ)，则2k\pi\leqslant2x+＼varphi\leqslant\pi＋2k\pi（k\inZ)，解出x得k\pi\frac{＼varphi}｛2}＼leqslantx\leqslant\frac{＼pi}｛2}＼frac{＼varphi}｛2}＋k\pi（k\inZ)。因为函数y＝＼cos(2x+＼varphi)在区间＼frac{＼pi}｛3}，＼frac{2\pi}｛3}上单调递减，所以有＼begin{cases}k\pi\frac{＼varphi}｛2}＼leqslant\frac{＼pi}｛3}＼＼＼frac{＼pi}｛2}＼frac{＼varphi}｛2}＋k\pi\geqslant\frac{2\pi}｛3}＼end{cases}（k\inZ)，解这个不等式组得：