2024-2025学年重庆市田家炳中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市田家炳中学高二（上）月考数学试卷（10月份）1.已知A(1,2,−3)，则点A关于xOy平面的对称点的坐标是(

)A.(−1,2,−3) B.(1,2,3) C.(−1,2,3) D.(−1,−2,3)2.若直线经过A(1,0),B(2,3)两点，则直线AB的倾斜角为A.30° B.45° C.60° D.120°3.已知a=(1,2,−y)，b=(x,1,2)，且(a+2A.x=13，y=1 B.x=12，y=−4 C.x=2，y=−14.O为空间任意一点，若AP=−14OA+18OB+tOC，若AA.1 B.12 C.18 5.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=23OA，点A.12a+12b−126.过点P0,−1作直线l，若直线l与连接A−2,1，B23,1A.π4,π6 B.π6,7.下列命题中，正确的命题有(

)A.|a|+b=|a−b|是a，b共线的充要条件

B.若a//b，则存在唯一的实数λ，使得a=λb

C.对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA−4OB8.菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，E为AB的中点(如图1)，将△ADE沿直线DE翻折至△A′DE处(如图2)，连接A′B，A′C，若A′−EBCD的体积为43，点F为A′D的中点，则F到直线BC的距离为(

)A.312 B.232 C.9.已知AB=(−2,1,4)，AC=(4,2,0)，AP=(1,−2,1)，AQ=(0,4,4)，则下列说法正确的是(

A.AP是平面ABC的一个法向量 B.A,B,C,Q四点共面

C.PQ//BC 10.已知直线l1：x+(a−1)y+1=0，直线l2：ax+2y+2=0，则下列结论正确的是(

)A.l1在x轴上的截距为−1 B.l2恒过定点(0,−1)

C.若l1//l2，则a=−1或a=211.如图，在多面体ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且DE//SA，SA=AB=2DE=2，M，N分别是线段BC，SB的中点，Q是线段DC上的一个动点(含端点D，C)，则下列说法正确的是(

)A.存在点Q，使得NQ⊥SB

B.存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为60°

C.三棱锥Q−AMN体积的最大值是23

D.当点Q自D向C处运动时，直线DC与平面QMN12.已知平面α的一个法向量为a=(1,2,2)，平面β的一个法向量为b=(−1,2,0)，则两平面的夹角的余弦值为______．13.在空间直角坐标系中，点M(0,0,1)为平面ABC外一点，其中A(1,0,0)、B(0,2,1)，若平面ABC的一个法向量为(1,y0,−1)，则点M到平面ABC14.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，SO=AB=4，AC=BC，E为SC的中点，点D在SO上，若AD⊥BE，则OD=

．

15.已知点P(−2,0,2)，Q(−1,1,2)，R(−3,0,4)，设a=PQ，b=PR，c=QR．

(1)若实数k使ka+b与c垂直，求k值．16.已知△ABC的三个顶点为A(4,0)，B(0,2)，C(2,6)．

(1)求AC边上的高BD所在直线的方程；

(2)求BC边上的中线AE所在直线的方程．17.已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1，底面是正方形，AD=AB=2，AA1=1，∠A1AB=∠DAA1=60°，A1C18.如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF//DE，DE⊥AD，AD⊥BE，AF=AD=12DE=1，AB=2．

(Ⅰ)求证：BF//平面CDE；

(Ⅱ)求二面角B−EF−D的余弦值；

(Ⅲ)判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=1，CD=3，PD=2，∠PDA=60°，∠PAD=30°，且平面PAD⊥平面ABCD，在平面ABCD内过B作BO⊥AD，交AD于O，连接PO．

(1)求证：PO⊥平面ABCD；

(2)求二面角A−PB−C的正弦值；

(3)在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为277，求PM参考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.B

6.B

7.CD

8.A

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.513.214.2

15.解：(1)依题意，a=(1,1,0),b=(−1,0,2),c=(−2,−1,2)，

ka+b=(k,k,0)+(−1,0,2)=(k−1,k,2)，

由ka+b与c垂直，得(ka+b)⋅c=−2(k−1)−k+2×2=0，解得k=2，

所以k=2．16.解：由题，如图

(1)∵△ABC的三个顶点为A(4,0)，B(0,2)，C(2,6)，

∴直线AC的斜率为kAC=6−02−4=−3，

∵AC⊥BD，∴kBD=13，

∴直线BD的方程为y−2=13x，

化为一般式为：x−3y+6=0；

(2)∵B(0,2)，C(2,6)，

∴BC的中点为E(1,4)，又A(4,0)，

∴直线AE的斜率为k=−417.解：(1)AN=AC+CC1+C1N=AB+AD+AA1−13A1C1

=AB+AD+AA1−13(AB+AD)=23AB+23AD+AA1

=18.解：(Ⅰ)由底面ABCD为平行四边形，知AB/​/CD，

又因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，

所以AB//平面CDE，

同理AF//平面CDE，

又因为AB∩AF=A，AB,AF⊂平面ABF，

所以平面ABF//平面CDE；

又因为BF⊂平面ABF，

所以BF//平面CDE；

(Ⅱ)连接BD，因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，DE⊥AD，

又DE⊂平面ADEF，

所以DE⊥平面ABCD，

又BD⊂平面ABCD，则，

又因为DE⊥AD，AD⊥BE，DE∩BE=E，DE,BE⊂平面BDE，

所以AD⊥平面BDE，

又BD⊂平面BDE，

则AD⊥BD，

故DA, DB, DE两两垂直，

所以以DA, DB, DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(−1,1,0)，E(0,0,2)，F(1,0,1)，

所以BE=(0,−1,2)，EF=(1,0,−1)，n=(0,1,0)为平面DEF的一个法向量，

设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z)，

由m⋅BE=0，m⋅EF=0，得−y+2z=0x−z=0,

令z=1，得m=(1,2,1).

所以cos<m,n>=m⋅n|m||n|=63，

如图可得二面角B−EF−D为锐角，

所以二面角B−EF−D的余弦值为63.

(Ⅲ)结论：线段BE上存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF，

证明如下：

设BQ=λBE=(0,−λ,2λ)(λ∈[0,1])，所以DQ=DB+BQ=(0,1−λ,2λ)，

设平面CDQ19.证明：(1)因为∠ADC=∠BCD=90°，BO⊥AD

所以，四边形BODC为矩形，

在△PDO中，PD=2，DO=BC=1，∠PDA=60°，

则PO=PD2+OD2−2PD⋅ODcos60°=3

∴PO2+DO2=PD2，

∴PO⊥AD，

且平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PO⊥平面ABCD；

(2)以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角