2024-2025学年江西省南昌市江西师大附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省南昌市江西师大附中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线3x−(a−2)y−2=0与直线x+ay+8=0互相垂直，则a=(

)A.1 B.−3 C.−1或3 D.−3或12.已知椭圆C：x2m+y2=1，则“m=2”是“椭圆A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC点N为BC中点，则MN=(

)A.12a−23b+124.点F1，F2为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得∠F1PFA.x225+y29=1 B.5.若2x−1=(x−2)2+yA.1 B.2 C.3 D.46.若实数x，y满足(x−2)2+yA.2x+y≤4+5 B.(x−2)y≤12 C.7.已知F1，F2分别是双曲线E：x24−y212=1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2A.4 B.2 C.3 D.18.从椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一点P(x0,y0)向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则直线AB称作点P关于椭圆C的极线，其方程为x0xa2+y0yb2=1.现有如图所示的两个椭圆C1，C2A.12 B.13 C.15二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于曲线E：mx2+nyA.若曲线E表示两条直线，则m=0，n>0或n=0，m>0

B.若曲线E表示圆，则m=n>0

C.若曲线E表示焦点在x轴上的椭圆，则m>n>0

D.若曲线E表示双曲线，则mn<010.已知圆O：x2+y2A.圆O与直线mx+y−m−1=0必有两个交点

B.圆O上存在4个点到直线l：x−y+2=0的距离都等于1

C.若圆O与圆x2+y2−6x−8y+m=0恰有三条公切线，则m=16

D.已知动点P在直线x+y−4=0上，过点P向圆O11.如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点F1(−2,0)与到点F2(2,0)的距离之积为4，则下列结论正确的是A.点D(22,0)在曲线C上

B.点M(x,1)(x>0)在C上，则|MF1|=22

C.点Q在椭圆x26+y22=1上，若F1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设F1，F2是双曲线C：x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在13.已知A、B为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的左右顶点，设点P为椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB的斜率分别为k114.如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P在正方形四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆O：x2+y2=4．

(1)若线段AB端点B的坐标是(4,2)，端点A在圆O上运动，求线段AB的中点D的轨迹方程；

(2)若EF，GH为圆O：x2+y216.(本小题15分)

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A−CD−P为直二面角．

(1)求证：PB⊥PD；

(2)当PC=PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．17.(本小题15分)

给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(2,0)，其短轴的一个端点到点F的距离为3．

(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；

18.(本小题17分)

已知O为坐标原点，圆O：x2+y2=1，直线l：y=x+m(0≤m<1)，如图，直线l与圆O相交于A(A在x轴的上方)，B两点，圆O与x轴交于M，N两点(M在N的左侧)，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面AMN)与y轴负半轴和x轴所确定的半平面(平面BMN)互相垂直，再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴正半轴，原y轴正半轴所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)若m=0．

(ⅰ)求三棱锥A−BMN的体积；

(ⅱ)求二面角A−BN−M的余弦值．

(2)是否存在m，使得AB折叠后的长度与折叠前的长度之比为3019.(本小题17分)

“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)：

步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F(即折叠后图中的点A与点F重合)；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；

步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．

现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为23，按上述方法折纸.以线段EF的中点为原点，线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．

(1)求C的方程；

(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B，的动点，设PB交直线x=4于点T，连结AT交轨迹C于点Q.直线AP、AQ的斜率分别为kAP、kAQ．

(ⅰ)求证：kAP⋅kAQ为定值；

参考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.A

6.D

7.B

8.D

9.ABD

10.ACD

11.ACD

12.3

13.−114.2π315.解：(1)根据题意，设A(x0,y0)，AB的中点为D(x,y)，

则x=x0+42y=y0+22，可得x0=2x−4y0=2y−2，

将A(2x−4,2y−2)代入圆C：x2+y2=4，得(2x−4)2+(2y−2)2=4．

化简得(x−2)2+(y−1)2=1，即为线段AB的中点D的轨迹方程；

(2)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d116.解：(1)证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则BC⊥CD，

由于二面角A−CD−P为直二面角，则BC⊥平面PCD，

由于PD⊂平面PCD，则PD⊥BC，又PC⊥PD，PC∩BC=C，PC、BC⊂平面PBC，

则PD⊥平面PBC，由于PB⊂平面PBC，则PB⊥PD．

(2)取CD中点F，连PF、BF，由PC=PD知PF⊥CD，由于二面角A−CD−P为直二面角，

则PF⊥平面ABC，于是PF⊥BF，由于底面ABCD是边长为2的正方形，则PF=12CD=1，

BF=CF2+BC2=5，于是PB=PF2+BF2=6，同理PA=617.解：(1)因为椭圆C的一个焦点为F(2,0)，

所以c=2，

因为椭圆C短轴的一个端点到点F的距离为3，

所以a=b2+c2=3，

则b=a2−c2=1，

故椭圆C的方程为x23+y2=1，其“准圆”方程为x2+y2=4；

(2)不妨设P(m,n)(−3≤m≤3)，

因为点18.解：(1)(i)若m=0，折叠前直线l的方程为y=x，

联立y=xx2+y2=1，解得x=22y=22或x=−22y=−22，

∴A(22,22)，B(−22,−22)，

∴折叠后三棱锥A−BMN的体积为：

V=13×12×2×22×22=16．

(ii)易知A(0,22,22)，B(22,−22,0)，M(0,−1,0)，N(0,1,0)，

AN=(0,1−22,−22)，BN=(−22,1+22,0)，

设平面ANB的法向量为n=(x,y,z)，

则AN⋅n=(1−22)y−22z=0BN⋅n=−19.解：(1)因为|PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4>|EF|=23，

所以点P的轨迹是以E，F为焦点，且长轴长2a=4的椭圆，

焦距2c=|EF|=23，

此时b2=a