不等式专题一元二次不等式恒成立和有解问题-2022-2023学年高一数学上学期讲与练(人教A版2019)

一元二次不等式恒成立和有解问题一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1、不等式对任意实数恒成立⇔或2、不等式对任意实数恒成立⇔或【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即.三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：1、对任意的，恒成立⇒；若存在，有解⇒；若对任意，无解⇒.2、对任意的，恒成立⇒；若存在，有解⇒；若对任意，无解⇒.题型一一元二次不等式在实数集上的恒成立问题【例1】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，等价于．综上，实数的取值范围为．故选：B．【变式11】“不等式在R上恒成立”的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵不等式在R上恒成立，∴，解得，又∵，∴，则不等式在R上恒成立，∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件，故选：A.【变式12】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】当时，恒成立，符合题意；当时，由题意有，解得，综上，.故选：B.【变式13】已知关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，不等式为，对恒成立，所以满足条件当时，不等式为，解集为，不满足题意当时，对应的二次函数开口向上，的解集一定不是R，不满足题意当，时，若不等式的解集为R，则，解得：，综上，故选：B【变式14】关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，不等式为恒成立，；当时，不等式可化为：，，（当且仅当，即时取等号），；综上所述：实数的取值范围为.故选：B.题型二一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例2】若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】.【解析】对于任意的，不等式，即，因此，对于任意的，恒成立，当时，，，当且仅当，即时取“=”，即当时，取得最小值4，则，所以实数的取值范围是.【变式21】已知对恒成立，则实数的取值范围________.【答案】【解析】因为对恒成立，即在时恒成立，令，则代换为，令，由对勾函数可知，在上单增，所以，所以.故答案为：【变式22】已知二次函数.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】.【解析】不等式即为：，当时，可变形为：，即.又，当且仅当，即时，等号成立，，即.故实数的取值范围是：.【变式23】若不等式对一切都成立，则a的最小值为（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】记，要使不等式对一切都成立，则：或或解得或或，即.故选：D【变式24】不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，对一切均大于0恒成立，所以，或，或，解得或，，或，综上，实数的取值范围是，或，故选：A.题型三给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题【例3】当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】【解析】由题意不等式对恒成立，可设，，则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是．【变式31】若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】命题“”为假命题，其否定为真命题，即“”为真命题．令，则，即，解得，所以实数x的取值范围为.故选：C【变式32】已知，不等式恒成立，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】C【解析】令，则不等式恒成立转化为在上恒成立．有，即，整理得：，解得：或．∴的取值范围为．故选：C．【变式33】已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】恒成立，即，对任意得恒成立，令，，当时，，不符题意，故，当时，函数在上递增，则，解得或（舍去），当时，函数在上递减，则，解得或（舍去），综上所述，实数的取值范围是.故选：D.【变式33】不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，对一切均大于0恒成立，所以，或，或，解得或，，或，综上，实数的取值范围是，或.故选：A.题型四一元二次不等式在实数集上的有解问题【例4】已知不等式有解，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】当时，，符合题意当时，令，由不等式有解，即，得当时，开口向下，满足有解，符合题意综上，实数的取值范围为【变式41】若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____．【答案】【解析】当时，不等式为有实数解，所以符合题意；当时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式有实数解，符合题意；当时，要使不等式有实数解，则需满足，可得，所以，综上所述：的取值范围是.【变式42】，使得不等式成立，则m的取值范围是___________.【答案】【解析】令，则，因为，使得不等式成立，所以，则m的取值范围是，【变式43】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．【答案】【解析】当时，不等式为有解，故，满足题意；当时，若不等式有解，则满足，解得或；当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解，所以，综上可得，实数a的取值范围是.题型五一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例5】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，，，即，故问题转化为在上有解，设，则，，对于，当且仅当时取等号，则，故，故选：A【变式51】已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，当时，不等式有解，等价于“，恒成立”为真时对应a取值集合的补集若，恒成立为真命题，需满足且，解得．因此p命题成立时a的范围时，故选：A．【变式52】若关于的不等式在有解，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，其对称轴为，关于的不等式在有解，当时，有，，即，可得或．故选：B．【变式53】已知当时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（）A．