第六章平面向量及其应用单元测试（B卷重难过关）

第六章平面向量及其应用单元测试B答题时间：120分钟试卷满分：150分第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共8题）1．在中，已知，，，则此三角形（

）A．无解 B．只有一解C．有两解 D．解的个数不确定【答案】A【详解】，，又，∴，故此三角形无解．2．已知向量，向量，则与的夹角大小为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【详解】向量，向量，，，且，的夹角为.3．已知单位向量，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误；对于B，向量，为单位向量，但向量，不一定为相反向量，B错误；对于C，向量，为单位向量，则，C正确；对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误.4．在平行四边形ABCD中，，则（

）A． B．6 C． D．8【答案】C【详解】由题意作出图形，如图，所以.5．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于A． B． C．－1 D．－1【答案】C【详解】在ABC中，由正弦定理得，∴AC＝100．在ADC中，，∴cosθ＝sin(θ＋90°)＝.6．已知梯形ABCD中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，因为，，，，所以，不妨设，，则，所以当时，取得最小值，7．中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，因为，，所以，，，设，因为、、三点共线，所以，，，因为，、、三点共线，所以，联立，解得，，，因为，，所以，，因为，所以，8．在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（

）A．16 B．24 C．25 D．36【答案】A【详解】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．设内角，，所对的边分别为，，．因为，所以，所以．因为，所以．设内切圆与边切于点，由可求得，则．又因为，所以．所以．又因为，所以，即，整理得．因为，所以，当且仅当时，取得最小值．二、多选题（每题5分，漏选得2分，错选得0分，共4题）9．已知四面体ABCD中，M，N分别是棱CD，BC的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】如图所示，A.,所以该选项错误；B.,所以该选项正确；C.,所以该选项错误；D.,所以该选项正确.10．在中，内角，，所对的边分别为，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】CD【详解】由正弦定理，所以，又，，所以或.11．，是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】由向量，是夹角为的单位向量，可得，∵，，∴，∴不成立，故A错误；，∴，故B正确；由，可得，故C错误；，则，故D正确．12．已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（

）A．若为的垂心，，则B．若为锐角的外心，且，则C．若，则点的轨迹经过的重心D．若，则点的轨迹经过的内心【答案】ABC【详解】解：对于A选项，因为，，又因为为的垂心，所以，所以，故正确；对于B选项，因为且，所以，整理得：，即，设为中点，则，所以三点共线，又因为，所以垂直平分，故，正确；对于C选项，由正弦定理得，所以，设中点为，则，所以，所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；对于D选项，因为，设中点为，则，所以，所以，所以，即，所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共4题）13．在中，角､､所对边分别是､､，若，则___________.【答案】或【详解】，，，.14．在中，，，，则__________.【答案】【详解】解：因为在中，，，，所以由余弦定理可得，所以，即，则．15．已知为等边三角形，，所在平面内的点满足的最小值为____________．【答案】【详解】则（当且仅当与方向相反时等号成立）16．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则的面积为_________．【答案】【详解】因为，所以，即，而因为是锐角三角形，所以，所以，所以，因为，所以，即，因为，所以，整理得：①，其中，即，因为，所以，即，解得：②，把②代入①得：，解得：，则的面积为.四、解答题（17题10分，其余5题每题12分）17．如图，请在图中直接标出：(1)＋．(2)＋＋＋．【答案】(1)(2)【详解】（1），如图所示：（2）＋＋＋，如图所示：18．已知向量满足．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，可得，解得.（2）解：因为，所以.19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求中的最大值；(2)求边上的中线长．【答案】(1)最大值为(2)【详解】(1)，故有，由余弦定理可得，又，，故．(2)设边上的中线为，则，，，即边上的中线长为．20．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积.(1)求边c；(2)若为锐角三角形，求a的取值范围.【答案】(1)1(2)【详解】（1）因为，，所以；因为，所以.（2）在中，由正弦定理，由（1）知，，代入上式得：，因为为锐角三角形，则,所以，所以，所以.21．在①，，；②，，；③，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，________，判断三角形解的情况，并在三角形有两解的情况下解三角形．【答案】答案见解析【详解】若选择条件①：由，得，又，，∴B只能为锐角，∴，∴该三角形只有一解．若选择条件②：由，得，∵，∴或，∴该三角形有两解．当时，，∴；当时，，∴．若选择条件③：由，得．∵，∴，∴该三角形只有一解．22．（1）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则内切圆半径的最大值为_________（2）随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有三个旅游景点，在岸边两地的中点处设有一个垃圾回收站点（如图），两地相距10，从回收站观望地和地所成的视角为，且，设；（i）用分别表示和，并求出的取值范围；（ii）若地到直线的距离为，求的最大值．【答案】（1）；（2）（i），，；（2）的最大值为10．【详解】（1）因为，且，所以，由正弦定理得，又，所以，由于，得，即，又，可得，得，即，由余弦定理得，可得，由，得，所以有，令内切圆的半径为R，故，，得