微积分 第3版 课件 第四章 导数的应用

不能直接用极限的四则运算法则求解的极限问题方法:型4.1洛必达法则其它能化成这两种形式的未定式第四章导数的应用方法:型方法:型定理4.1(型的洛必达法则)则设在

的某空心邻域内满足下列条件：定理4.1(型的洛必达法则)则设在

的某空心邻域内满足下列条件:例4.1求解例4.2求解练习求解练习

求解练习求解注意:

洛必达法则是求未定式的一种有效方法,与其它求极限方法结合使用,效果更好.练习

求解注意洛必达法则的使用条件!极限不存在此时不能使用洛必达法则.例4.3求解例4.4求解例4.5求解例4.6求解例4.8求解例4.7求解例4.9求解练习求解练习求解练习求解练习求解练习求解定理4.2(费尔马引理)

4.2微分中值定理内的最大值或最小值,证不妨设设是在点

的某邻域有根据函数的可导条件及极限的保号性,有所以,的点称为函数的驻点.

且曲线在该点有切线,如果在[a,b]上连续,则在[a,b]上一定有最大值和最小值.最大、最小值点只可能是驻点、不可导点或区间的端点.定理4.3(罗尔定理)(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)使得证若函数f(x)满足:必有最大值M和最小值m.由费尔马引理

推论4.1可微函数的任意两个零点之间至少有的一个零点．例4.13证明是方程的唯一实根.证矛盾.由罗尔定理,原命题得证.使得在[0,1]上二阶可导,且则在内至少存在一点练习若证使得使得上使用罗尔定理,使得使用罗尔定理,常用的构造辅助函数的方法：

常数k法基本思路是令待证等式中的常数为k，通过恒等变形将含有的式子写成的形式，

然后用罗尔定理则就是需要的辅助函数,进行证明.例4.14设分析证令罗尔定理,整理得使得故即定理4.4(拉格朗日中值定理)(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;使得若函数f(x)满足:几何解释:分析:

在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线平行于弦AB.证作辅助函数拉格朗日中值公式即或故就可以同时得到两个不等式有限增量公式应用：不等式的证明例4.15证明不等式证由拉格朗日中值定理,存在使得由得到例4.16如果证不妨设例4.17证明当证而故练习证明当证而故定理4.5设函数单调递增;单调递减.4.3.1函数的单调性在(a,b)内可导.证(1)由拉格朗日定理在[a,b]上在[a,b]上4.3

单调性及其应用证明定义域为注1:

定理4.5对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注2:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,例4.18证明函数在上单调递增.

解例4.19讨论函数的单调性.

定义域为解定义域为导数不存在.例4.20

讨论函数的单调性.

函数的单调区间求法:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.的分界点．则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间解定义域为例4.21

讨论函数的单调性.

解定义域为练习

讨论函数的单调性.

导数不存在;单调性是证明函数不等式的一个有效方法.证例4.22证明当所以在区间单调递增.

因此当时,

得证.练习

证明当证则即即(1)式成立.证练习证明不等式原不等式等价于设4.3.2函数的极值定义4.1

的一个极大值(或极小值),

如果在x0的

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数设在x0

附近有定义,某个空心邻域内,恒有注意:

极值的概念是一个局部性的概念,它仅涉取得极值的点x0称为极值点.及函数在一点附近的性质.定理4.6

(极值的必要条件)注意:可导函数的极值点必定是驻点,例如,但驻点不一定是极值点.则必有设在点处可导,且在处取得极值,

的驻点.另外:连续函数的不可导点,也可能是极值点.例如,设函数在x0

处连续,定理4.7(极值的第一充分条件)在x0的某个空心邻域内可导,则(1)如果有而有则在处取得极大值;(2)如果有而有则在处取得极小值;(3)如果当及时,符号相同,则在处无极值.是极值点情形不是极值点情形求函数极值的基本步骤:(3)求出各极值点处的函数值,得到相应的极值.的点和的点;(2)对(1)中求得的每个点,根据

在其左、

如果是极值点,进一步确定是极大值点还是(1)求出

的所有可能的极值点,即的不可导右是否变号,确定该点是否为极值点.

极小值点;例4.23求函数的极值.解极大值极小值函数在其定义域内连续.导数不存在;不存在无极值不存在定理4.8(极值的第二充分条件)

注意:则设

在

处具有二阶导数,且(1)当时,函数在处取得极大值;(2)当时,函数在处取得极小值.此时仍需用定理4.7.极大值极小值解定义域为练习求函数的极值.求函数最大值与最小值的一般步骤:1.求驻点和不可导点;2.求出区间端点及驻点和不可导点的函数值,3.在实际问题的应用中,问题本身可以保证目标4.3.3函数的最值是最小值;比较大小,其中最大者就是最大值,最小者就种思想求取应用问题的最值.函数的最大值或最小值一定存在,我们通常用这例4.24求函数在[-1,4]上的最大解计算值与最小值.(-1,4)内驻点比较得,最大值最小值例4.25欲建造一个粮仓,粮仓内部的下半部分为圆柱规定粮仓储藏量为,问如何选取圆柱形的尺寸

能使造价最低.形,顶部为半球形,设用于建造圆柱形部分的材料的单价为,用于建造半球形部分的材料的单价为.如果粮食只能储存在圆柱形部分，且解设圆柱的高和半径分别为则粮仓的内表面积为材料的总价为代入上式得求导得又因为故令,

得驻点.

所求问题最小值一定存在,故唯一驻点唯一驻点,

就是最小值点,

故时造价最低.例4.26铁路线上段的距离为工厂距处为垂直于(见图).为了运输需要,要在线上选定一点向工厂修筑一条公路.已知铁路上每公里货运的费用与公路上每公里的费用之比为3:5.为了使货物从供应站运到工厂的运费最少,问点应选在何处？则解则设铁路上每公里货运的费用为,公路上每公里的费用,从点到点的总运费为,故时,求导得令得唯一驻点

所求问题的最小值一定存在,故驻点就是问题的最小值点,总运费最少.解得练习

求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的

半径为R.设圆柱体的高为2h,底半径为

r,体积为V,

圆柱体的最大体积一定存在,故唯一驻点

就是最大值点,

最大体积为令得(舍去负值)唯一驻点,4.4.1曲线的凹凸性及拐点左图中的曲线弧是向下凸的,它具有两个特征:

(1)连接曲线上任意两点的弦(2)曲线切线的斜率单调递增.

4.4

函数图形总位于这两点间的曲线弧的上方;

右图中的曲线弧是向上凸的,它具有两个特征:

(1)连接曲线上任意两点的弦(2)曲线切线的斜率单调递减.

有时把向下凸的弧称为凹的,而把向上凸的弧总位于这两点间的曲线弧下方;

称为凸的.曲线的这种性质称作曲线的凹凸性.

恒有设在区间I上连续,如果

恒有如果

定义1如果单调递增,

定义2设在区间I可导,如果单调递减,

在区间I是向上凸的,或称凸的.定理4.9

设解例4.30

判断曲线的凹凸性.解例4.31

判断曲线的凹凸性.解定义4.2连续曲线上凹凸性发生变化的点称为练习判断曲线的凹凸性.曲线的拐点.定理4.10(拐点的第一充分条件)

设函数在x0的某邻域内连续，在空心邻域内存在,(1)(2)定理4.11(拐点的第二充分条件)

曲线的拐点.解凹的凸的凹的拐点不是拐点例4.32求曲线的拐点及凹凸区间.

函数在其定义域内连续.不存在练习

证明证所以曲线在上是严格向下凸的.有即令1.垂直渐近线

(垂直于x轴的渐近线)4.4.2曲线的渐近线一条渐近线.移向无穷点时,如果点P到某定直线L的距离趋向于零,如果例如有两条垂直渐近线:2.水平渐近线

(平行于x轴的渐近线)例如有两条水平渐近线:如果3.斜渐近线斜渐近线求法如果或若且注意:解如果定义域为练习求的渐近线.不存在;不存在;可以断定不存在斜渐近线.所以,是曲线的垂直渐近线.所以,是曲线的一条斜渐近线.(1)确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性.和拐点.(2)确定曲线的渐近线,把握函数的变化趋势.

确定曲线的凹凸性(4)适当计算曲线上一些点的坐标,如极值,拐点的坐标,注意曲线是否与坐标轴是否有交点.函数作图的具体步骤可归纳如下:

(3)求出函数的单调性和极值,例4.33描绘函数的图形.解函数非奇非偶.定义域为水平渐近线:垂直渐近线:无斜渐近线.极大值拐点列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:作图拐点极大值补充点水平渐近线:垂直渐近线:极大值拐点练习描绘函数的图形.解函数非奇非偶.定义域为水平渐近线:不存在拐点极小值间断点无斜渐近线.列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:铅直渐近线作图拐点极小值补充点不存在拐点极小值间断点水平渐近线:垂直渐近线:定理4.11(柯西中值定理)

使得4.5柯西中值定理与泰勒公式(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导,且4.5.1柯西中值定理若函数f(x)及

F(x)满足:证令整理,得作辅助函数则在闭区间[a,b]上满足罗尔定理条件即使得即由得则例4.34证由由定理的条件得在的某邻域内连续,不妨设设x是该邻域内一点故有上式两端令取极限则在处也连续.注意到于是证毕练习设函数证结论可变形为使得即存在一点4.5.2泰勒公式

在实际问题中,往往希望用一些简单的函数来而多项式函数就是最简单的一类初等函数.首先考虑函数在一点附近的多项式近似.如果函数在点处可导,则有令则式(4-1)可简写为近似代替复杂的函数.

式(4-2)可理解为:当比较复杂时,

我们考虑在点附近用n次即其中如果在点可导,则在点附近,可用一次多项式来近似,即多项式来近似.由存在且此时,用定义求导数，得于是有式(4-3)称为在处的n阶泰勒多项式.设存在,则定理4.12是在处的n阶泰勒多项式.其中证只需证令则连续使用(n-1)次洛必达法则,有(4-4)式可写成(4-4)式称为带佩亚诺型余项的n阶泰勒公式,(4-4)式中的称为佩亚诺型余项.其中定理4.13(泰勒中值定理

)那么使得其中称为拉格朗日型余项.证利用柯西中值定理证明令且因此如果公式(4-5)变成

其中(4-7)式称为f(x)的n阶麦克劳林多项式,(4-8)式称为则f(x)的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式.而误差估计式为称为f(x)的带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.麦克劳林公式的用法:解因代入公式,得例4.35

求

的n阶麦克劳林公式.于是注意到估计误差其误差取解因例4.36

求

的2n阶麦克劳林公式.于是,由麦克劳林公式得到

解练习将

的多项式.