微积分 第3版 课件 第七章 多元函数微分学及其应用

第七章多元函数微分学及其应用7.1多元函数的极限与连续一元函数的定义域可用数轴上的点来表示,这里r,h是两个独立取值的变量,例如,圆柱体的体积7.1.1n维空间而二元函数的定义域需用平面上的点来表示.当r,h取定一对值时,就有确定的V与之对应.n元有序数组

n维空间中的每一个元素称为n维空间中两点间的距离定义为记作设n为正整数,的全体称为n维空间,空间中的一个点.

邻域:设P0(x0,y0)是

xOy平面上的一个点,几何表示：Oxy.

P0令有时简记为称为

将邻域去掉中心,称为去心邻域.记为我们先讨论平面上的点集.内点:显然,E的内点属于E.边界点:如点P的任一邻域内则称P为E的边界点.设E为一平面点集,若存在则称P为E的内点.E的边界点的全体称为E的边界.既有属于E的点,也有不属于E的点,例如,设点集则P为E的内点;则P为E的边界点.E的边界为集合聚点:如果点P的任何空心邻域都有E中的点,则称P是E的聚点.开集:若E的任意一点都是内点,则称E为开集.若E由它的内点和边界点构成,称E为闭集.例如,为开集,为闭集,既不是开集也不是闭集.设D是集合,连通的开集称区域或开区域.如果D内任何两点,都可用折线连且该折线上的点都属于D,则称D是连通的.如都是区域.结起来,开区域连同它的边界一起,称为闭区域.有界区域:否则,称为无界区域.都是闭区域.如总可以被包围在一个以原点为中心、半径适当大的圆内的区域,为D的直径.有界闭区域的直径：

设D是有界闭区域,称称为有界区域.有关邻域、区域等概念可推广到

n维空间.都有唯一确定的z与之点集D称为该函数称为该函数的值域.则称z是x,y的二元函数.若对于D中设D是xOy平面上的点集,任意取定一个点P(x,y),对应,记为称x,y为自变量,的定义域,数集z为因变量,二元及二元以上的函数统称为多元函数.多元函数定义域定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.类似地,

可定义n元函数实际问题中的函数:自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义的例1

求

的定义域．解所求定义域为二元函数的图形这个点集称为二元函数的图形.当x、y取遍D上一切点时,得一个空间点集,对应的函数值为取定的这样,以

x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标设函数的定义域为D,对于任意在空间就确定一点二元函数的图形通常是一张曲面例如,图形如右图.例如,图形是球面.单值分支:定义域先讨论二元函数

怎样描述呢?Oxy(1)

P(x,y)趋向于P0(x0,y0)的方向有任意多个,路径又是多种多样的.Oxy7.1.2多元函数的极限注:(2)动点P(x,y)与定点P0(x0,y0)之间的距离记为总可以用来表示极限过程:不论的过程多复杂,记作定义7.1

设二元函数在D有定义,有成立.时的极限.P0(x0,y0)是

D的聚点.A常数为,也记作如果说明:(1)二元函数的极限也称二重极限;(2)二元函数的极限运算法则与一元函数类似;称为二次极限;(3)与(4)欲证明极限存在,常用定义或夹挤定理;(5)类似地,可以给出n元函数极限的定义.

例2

求极限

解其中

由夹挤定理

练习

求解例3

设函数讨论极限

是否存在.解取其值随k的不同而变化,故极限不存在.定义7.2

设n元函数f(P)的定义域为点集D,如果则称n元函数f(P)在点P0处连续.则称P0是函数

f(P)P0∈D.如果f(P)在点P0处不连续,的间断点.如果函数

f(P)在开区域(闭区域)D内的每一一点连续,则称函数f(P)在D内连续,f(P)是

D内的连续函数.7.1.3多元函数的连续性或称函数例4

讨论函数在点(0,0)处的连续性．解由例3知,故函数在(0,0)处不连续.极限

不存在,多元初等函数:由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数称为多元初等函数.结论:多元初等函数在其定义区域内是连续的.定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.性质1

有界闭区域上的连续函数是有界的；性质2在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．性质3有界闭区域D上的连续函数在上必取得其介于最大值和最小值之间的一切值.例5求解函数定义区域为故且7.2偏导数7.2.1偏导数的概念及其计算法

例如,二元函数

z=f(x,y),先让

y固定

(即y视为常数),这时z就是

x的一元函数,z对

x的导数,为了一元函数的变化率,我们引入了导数的概念.对于多元函数,我们先考虑它关于一个自变量的变化率.称为二元函数

z

对

x的偏导数.设二元函数z=f(x,y),P0(x0,y0)为平面上一点.定义7.3如果z=f(x,y0)在x0的某一邻域内有定义且在x0点即极限存在,则称此极限为函数对x的偏导数,记为或可导,同理,可定义函数

在点

处对y的偏导数为记为或的偏导数,

如果函数

z=f(x,y)在区域D内任一点

(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y同理,可以定义函数

对自变量

y数,简称偏导数.的函数,称其为函数z=f(x,y)对自变量

x的偏导函记作或记作或求多元函数的偏导数并不需要新的方法,利用一元函数只需将y看作常量,的求导法对x求导即可.解例1求

在点

处的偏导数．证证毕．例2

设证明偏导数的概念可以推广到二元以上函数如

在

处

解利用函数关于自变量的对称性,有例3

求的偏导数．证例4

已知理想气体的状态方程(R

为常数),求证:有关偏导数的几点说明：例解1.偏导数

是一个整体记号,不能拆分;2.分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;按定义得3.偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在

连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，在(0,0)处,例如,函数例5研究函数在(0,0)点的解因为连续性与可导性.

所以,函数在(0,0)点连续.

而所以,设二元函数在点有如图,为曲面偏导数.上的一点,过点作平面此平面与曲面相交得一曲线,曲线的方程为由于偏导数等于一元函数的导数故由一元函数导数的几何意义7.2.2偏导数的几何意义可知:偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对x轴的斜率;偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对y轴的斜率.例6求曲线在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角.解设纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.7.2.3高阶偏导数函数的二阶偏导数为解例7

设求一般地,多元函数的高阶混合偏导数如果连续就与求导次序无关.如果函数的两个二阶混合偏在区域D内连续,定理7.1那么在导数该区域内如问题:混合偏导数都相等吗?具备怎样的条件才相等?解利用函数关于自变量的对称性例8

验证函数

满足拉普拉斯方程由一元函数微分学中增量与微分的关系得7.3

全微分及其应用二元函数对x和y的偏增量二元函数对x和y的偏微分全增量:邻域内有定义,函数取得的增量的全增量.定义7.4(全微分)可表示为处可微分,则称函数称为函数记作即的全增量处的全微分.如果函数也不能保证函数在该点连续.多元函数即使在某点的偏导数都存在,若函数在某区域

D内各点处都可微分,定理

7.2

(可微的必要条件)设函数可微分,且处偏导数存在,则则称该函数在

D内可微分.证(1)有所以,函数在该点连续.于是由函数可微分,(2)令同理可得从而一元函数在某点可导可微分．多元函数的各偏导数存在可微分．？例如，但函数

f(x,y)在点(0,0)处不连续,所以不可微.说明:

多元函数的各偏导数存在并不能保证可微.在点(0,0)处有

证所以,在该点的某一邻域内偏导数必存在.定理7.3

(微分充分条件)用拉氏定理因偏导数在点P(x,y)连续,连续,可微分.如果函数的偏导数同理故函数处可微分.通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微叠加原理也适用于二元以上函数的情况.习惯上,全微分记为称为二元函数的微分符合叠加原理．如三元函数有分之和,解所以例1计算函数在点(1,2)的全微分.解所求全微分例2

计算函数

的全微分.解例3计算的近似值.所以令则因且取多元函数连续、偏导数存在、可微的关系

函数可微

函数连续偏导数连续偏导数存在对应的增量,增量时;就是切线纵坐标2.3.2微分的几何意义当是曲线的纵坐标在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN.定理7.4设函数且其导数为具有连续偏导数,此时,

称为全导数.7.4多元复合函数的求导法则7.4.1多元复合函数的求导法则例1

设

求这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.yuvx解可用对数求导法计算.上述定理可推广到中间变量多于两个的情况.如则解例2

设

而求全导数则复合函数偏导数存在,且有下列求导公式具有连续偏导数,的情形：定理可推广到

函数复合图uv解例3

设

而求

类似地再推广,中间变量多于两个的情形复合函数在对应点的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:即两者的区别区别类似把复合函数中的y看作不变而对x的偏导数把中的u及y看作不变而对x的偏导数解

zuxyxy函数复合图求

例4

设

而解令记同理有例5设其中f

具有二阶连续偏导数,求于是例6设

其中f具有二阶连续偏导数,解求即于是当、时,有设函数具有连续偏导数,则全微分

称为一阶全微分的形式不变性

无论z是自变量u,v的函数或中间变量u,v的函数,它的全微分形式是一样的.

通过全微分求所有一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便.一阶全微分形式不变性的实质：于是,得所以存在的一个邻域,在这个邻域内得恒等式两边关于x求导,由全导数公式,得将方程所确定的函数代入其中,7.4.2

多元隐函数的求导法则解则于是令例7

设是由方程确定的隐函数，求

定理7.5(隐函数存在定理)设函数F(x,y,

z)满足(1)F(x,y,z)在某邻域内可偏导，且连续，则(1)存在

的某个邻域,在此邻域内存在唯一且.确定的二元函数z=f(x,y)满足F(x,y,f(x,y))=0,(2)z=f(x,y)具有连续偏导数，且解故先求例8设z=f(x,y)由方程求确定令则再求两边分别对y求偏导,得对代入得将则偏导数，

求例9设有隐函数，其中F具有连续的解令，解方程两端对x求偏导数,得整理得方程两端对y求偏导数,得练习设求7.5.1无条件极值7.5多元函数的极值则称点P0为函数的极大值点(或极小值点),称为函数的极大值(或极小值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值.极大值点与极小值点统称为函数的极值点,如果对于该邻域内异于P0的任意一点P,都有设多元函数在点P0的某邻域内有定义,

简单函数的极值是容易判断的.在(0,0)点取极小值

(也是最小值).在(0,0)点取极大值

(也是最大值).在(0,0)点无极值.旋转抛物面下半锥面马鞍面例函数例函数例函数证定理7.6(极值存在的必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:都有必有类似地可证不妨设处有极大值,有说明一元函数处有极大值,设函数具有偏导数,且在点处有极值,推广如果三元函数具有偏导数,则它在有极值的必要条件为点,均称为函数的驻点.极值点仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的如何判定一个驻点是否为极值点?如,点的驻点,但不是极值点.注:驻点定理7.7(极值存在的充分条件)且有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,时,有极大值,时,有极小值;(2)无极值;(3)可能有极值,也可能无极值.设函数的某邻域内连续,又令说明：但z(0,0)=0为极小值,在(0,0)点处均有对于函数与而u(0,0)=0不是极值.求函数极值的一般步骤:第一步:解方程组求出实数解,得驻点.第二步:对于每一个驻点求出二阶偏导数的值A、B、C.再判定是否是极值.第三步:定出的符号,例1求函数的极值.解令又在(0,0)处,

在(1,1)处,

故故在(0,0)无极值;在

(1,1)有极小值,得驻点解方程两边分别对x,y求偏导数,得得驻点方程组两边再分别对x,y求偏导数,练习求由方程令确定的函数的极值.故函数在P有极值.代入原方程,为极小值;为极大值.所以,所以,取得.然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,但也可能是极值点.如:函数不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处在点(0,0)处的偏导数注:还应研究偏导数不存在的点.并无其他条件.无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,条件极值:对自变量有附加条件的极值.7.5.2条件极值拉格朗日乘数法解例2某厂要用铁皮制成容积一定的无盖的长方体盒子，问怎样设计尺寸才能使用料最省？设盒子底边长、宽、高分别为此盒子所用材料面积为则容积为得驻点由条件解出代入上式化为函数令故当盒子长、宽、高都为

时用料最省.上例的极值问题也可以看成是求三元函数的极值,要受的限制,这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件目标函数中化为无条件极值.

有时条件极值可通过将约束条件代入但在一般情形甚至是不可能的.

下面要介绍解决条件极值问题的一般下,这样做是有困难的,方法——拉格朗日乘数法到条件拉格朗日乘数法:在条件要求函数下的可能极值点,先构造函数为某一常数,其中可由解出其中(x,y)就是可能的极值点的坐标.其中

均为常数,可由偏导数为零及条件解出即得极值点的坐标.下的极值.例如,求函数在条件先构造函数拉格朗日乘数法可推广:或约束条件多于两个的情况.自变量多于两个解由题意，目标函数为作拉格朗日函数约束条件为.解得令例3求直线上最靠近坐标原点的点.直线上的点距原点最近.7.7二重积分7.7.1二重积分的概念柱体体积

=底面积×高

平顶柱体引例求曲顶柱体的体积曲顶柱体体积=?D曲顶柱体以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且在D上连续).x0z

yDSS:z=f(x,y)1.任意分割区域

D,化整为零2.以平代曲

ix0z

yDS:z=f(x,y)3.积零为整2.

以平代曲1.任意分割区域

D,化整为零

ix0z

yDS:z=f(x,y)4.取极限

i2.

以平代曲1.任意分割区域

D,化整为零V=3.积零为整x0z

yS:z=f(x,y)4.取极限V2.以平代曲V=1.任意分割区域

D,化整为零3.积零为整也表示它的面积,定义7.5(1)将闭区域

D任意分成n个小闭区域

(2)作乘积

(3)并作和D设是有界闭区域

D的有界函数,积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素这和式则称此零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值

趋近于的极限存在,记为即(4)极限为函数在闭区域D上的二重积分,曲顶柱体体积曲顶

即在底D上的二重积分,二重积分的几何意义

当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值．2.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,二重积分可写为注定积分中1.重积分与定积分的区别:重积分中可正可负.则面积元素为D7.7.2直角坐标系下二重积分的计算

二重积分的计算方法是:将二重积分化为二次1.矩形区域上的二重积分积分区域D为矩形在D上连续.设积分(累次积分)来计算.

的值等于以区域D为底,曲面z=f(x,y)把柱体切割成平行于xOz平面的薄片,对应薄片又有于是

为顶的曲顶柱体的体积,现用定积分计算这个体积.2.横向区域:这样的区域上通常可以先对x积分,再对y积分

则例2计算其中D是由直线

先对x积分

所围平面闭区域.解3.纵向区域这样的区域上通常可以先对y积分,再对x积分

则例3计算其中D如图所示.

解先对y积分