微积分 第3版 课件 第六章 定积分及其应用

6.1

定积分的概念与性质

同导数一样，我们仍然从几何和物理两个方面介绍定积分的背景问题，从中引出定积分的概念，然后介绍定积分的性质。第六章定积分及其应用所围成的平面图形.引例一求曲边梯形的面积曲边梯形是指由连续曲线x轴与两条直线一、定积分的背景和定义6.1.1定积分的概念用矩形面积之和近似取代曲边梯形面积思想:以直代曲应用极限的思想,分四步求面积A.(1)

划分(2)

近似长度为为高的小矩形,面积近似代替任意用分点(3)

求和这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值:(4)

取极限为了得到A的精确值,分割无限加细,趋近于零时,取极限,极限值就是曲边梯形面积即小区间的最大长度(库存量的瞬时变化率),

求该仓库在

时

引例二库存量问题设某仓库在时刻的边际库存量为

段上库存的变化总量.(3)求和(4)取极限库存量的精确值(2)近似(1)

划分任取

表示在时间

内的库存量变化设函数

f(x)在[a,b]上有界,定义6.1

把区间[a,b]分成n个小区间,各小区间长度依次为一点作乘积如果不论对[a,b](1)在[a,b]中任意插入若干个分点(2)在各小区间上任取(3)并作和(4)记被积函数被积表达式记为积分和怎样的分法,怎样的取法,只要当和S总趋于确定的极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.积分下限积分上限积分变量[a,b]称为积分区间也不论在小区间上点关于定积分概念的两条说明：

而与积分变量的字母无关.2.定积分是数值,仅与被积函数及积分区间有关,1.如果

f(x)在[a,b]上的定积分存在,则称

f(x)在[a,b]上可积,否则,称

f(x)在[a,b]上不可积.连续函数一定可积.定积分的存在定理取

.解例6.1用定义计算.显然，在

[0,1]上连续,

在

[0,1]上可积.因而把区间[0,1]等分,则第

i个分点为,于是二、定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值几何意义取负号.它是介于x轴、函数

f(x)的图形及两条直线

x=a,x=b之间的各部分面积的代数和.在

x轴上方的面积取正号;在

x轴下方的面积例6.2

计算解例6.3

求解oxyP1363(2)利用定积分的几何意义求：解oxy

设f(x)连续，由定积分的几何意义得到下面的结论：(2)如果

f(x)是

[-a,a]上的奇函数，则；(3)如果

f(x)是

[-a,a]上的偶函数，则；(1)；4.如果f(x)是以T为周期的连续函数,则例6.4

计算解区间

[-1,1]关于原点对称，函数

是连续的奇函数，所以(2)6.1.2定积分的性质设函数f(x)在区间

上可积，规定:性质6.1

线性性质性质

6.2

区间可加性无论

a,b,c

的相对位置如何,上式总成立.设

则无论

a,b,c

的相对位置如何,上式总成立.例

若则性质6.3

保号性则有如果在区间[a,b]上证因即得令又因推论6.1

保序性

如果在区间[a,b]上则

推论6.2证即解因于是例

比较积分值

和

的大小.性质

6.4

定积分的估值定理证

因设

M及m分别是函数

在区间[a,b]上的最大值与最小值,则

即由推论6.1(保序性)解

设例6.6

估计定积分

的值的范围.故因性质6.5

定积分中值定理则在积分区间上至少存在一个点如果函数在闭区间上连续,积分中值公式

使得

证使得由闭区间上连续函数的介值定理知,上至少存在一个点在区间[a,b]所以在区间[a,b]上至少存在一点使得以区间[a,b]为底边,以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积.称为函数f(x)在[a,b]上的平均值.积分中值公式的几何解释：练习利用积分中值公式证明证由积分中值公式有练习练习求

解6.2

微积分基本公式

本节我们介绍微积分学的基本公式,也称为牛顿－莱布尼兹公式.它揭示了定积分和原函数之间的联系,提供了一个简便有效的计算定积分的方法，促成了微积分方法的大发展。定理6.1

微积分基本公式则设

在区间[a,b]上连续，是

的一个原函数，牛顿—莱布尼茨公式则定积分记为称为积分上限函数.是一个关于x的函数,设函数在区间[a,b]上连续,上的一点,并设x为[a,b]积分上限函数的概念或变上限积分.注意:如果

f(x)在[a,b]上连续,则积分上限函数在[a,b]上可导,定理6.2

积分上限函数的基本性质即且有由积分中值定理即证例6.7

设，求

.解令，则

推广练习例

解这是型未定式,应用洛必达法则及等价无穷小代换来计算.例求极限解这是

型未定式,分析用洛必达法则练习微积分基本公式的证明证设是的一个原函数，而

也是的一个原函数,注意到为了书写方便牛顿—莱布尼茨公式解例6.8

计算定积分

解例6.9

计算定积分

解例6.10

计算曲线在的平面图形的面积.上与x轴所围成面积例6.11

设

,求解解例6.12

计算

原式解因定积分是数值,于是例6.13

设

则等式两边在[0,1]上积分,得证令为单调增加函数.证明:只有一个实根.例6.14所以原方程只有一个解.唯一性：或存在性：所以原方程有解.6.3

定积分的换元法与分部积分

尽管从理论上说把不定积分与牛顿－莱布尼兹公式结合起来就已经解决了定积分计算的主要问题，但我们仍然可以针对定积分本身的结构特点使计算过程得以简化.51定理6.3

定积分的换元公式6.3.1定积分的换元法连续导数，且设

在

上连续,单调、有应用定积分的换元公式时,“换元必须换限”.则定积分换元公式证故则由牛顿-莱布尼兹公式,有注由于积分限做了相应的故积出来的原函数不必回代;求定积分时，换元就换限，不换元就不换限，边积边代限.

(1)换元公式仍成立;(2)在定积分换元公式中,改变,(3)例6.15

求椭圆

的面积S.解令

则

当

时，

;

当

时，

.

于是解令原式例6.16计算解令原式例6.17奇函数练习计算解原式偶函数单位圆的面积练习奇奇偶例

6.18

若

在[0,1]上连续,证明

设证证令练习设f(x)在区间[a,b]上连续，证明：定理

6.46.3.2

定积分的分部积分法设函数

在区间[a,b]上具有连续导数，则有或定积分的分部积分公式例

6.19

计算解:令则于是当

x=0时

t=0，当

x=1时

t=1解例6.20

计算由曲线和

x轴所围成的区域的面积S.由定积分的几何意义,所求面积

计算解练习6.4

广义积分

本章的前几节我们讨论了有界函数在有限闭区间上的定积分，可以称之为常义积分。这一节我们将把定积分的定义从有限区间推广到无限区间，从有界函数推广到无界函数，这就是所谓的广义积分（也有人称之为反常积分）.

6.4.1无限区间上的广义积分定义

设函数在区间上连续,称为函数f(x)在区间上的广义积分.否则,称广义积分发散.极限

存在,称广义积分收敛;极限

存在,称广义积分收敛;为函数在区间上的广义积分.设函数在区间上连续,

则称否则,称广义积分发散.设函数在区间上连续,称在区间上的广义积分,为函数否则,称广义积分发散.如果

都收敛,称广义积分收敛;设是的一个原函数,则例6.21

计算解或写为解当

时广义积分发散.因此,当

时广义积分收敛,其值为例

6.22

讨论广义积分的收敛性.(1)当

p≠1时(2)当

p

=1时计算解练习6.4.2无界函数的广义积分(瑕积分)定义

设函数在区间(a,b]上连续,称为

在区间(a,b]的广义积分,否则,称广义积分发散.如果

存在,则称广义积分

收敛;如果函数在点a的任意邻域无界,则称点a是的一个瑕点.点a是的一个瑕点.如果

存在,称广义积分收敛；

为函数在区间[a,b)的广义积分,设函数在区间[a,b)上连续，否则,称广义积分发散.

点

b是的一个瑕点.称否则,称广义积分

发散.设函数在

上连续,

为

在区间[a,b]的广义积分.如果

都存在,则称在[a,b]上无界函数

的广义积分

收敛;点c是的一个瑕点.解例

6.23

讨论广义积分的收敛性.因此,当

时广义积分收敛,其值为当

时广义积分发散.(1)当

p≠1时(2)当

p

=1时解例

6.24

计算广义积分是瑕点.解例6.25

计算广义积分是瑕点.

练习

计算广义积分为瑕点,解

练习

计算广义积分解故原广义积分发散.为瑕点,练习

求解发散.也发散.注错误的做法:6.5

定积分的应用

定积分在科学技术的各个领域都有广泛的应用。通常用定积分解决的问题是求非均匀分布的整体量，例如面积、体积、成本、利润等。“微元法(元素法）”是定积分应用的基本方法，其核心思想是在每个微小的局部把函数看作常数。什么量可以用定积分表示出来?(1)U是一个与变量x的变化区间[a,b]有关的量;则可以考虑用定积分来表达这个量U.(2)U对于区间[a,b]具有可加性.就是说,如果把区间[a,b]分成许多部分区间,(3)部分量

的近似值可表示为当所求量U符合下列条件：则U相应地分成许多部分量,而U等于所有部分量之和.微元法的一般步骤：这个方法通常称为微元法(元素法).(1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如

x(2)任取一小区间并记为求出相应于这小区间的部分量

的近似值dU,并将其表示为(3)以所求量U的元素

为被积表达式,在区间[a,b]上作定积分,得即为所求量U的积分表达式.为积分变量,并确定它的变化区间[a,b];这个小区间上所对应的小曲边梯形面积面积微元得

曲边梯形面积的积分式也可以用微元法

建立如下.地等于长为f(x)、宽为dx的小矩形面积,故有近似它对应的面积元素dA为6.5.1平面图形的面积在[a,b]上任取一区间

设平面图形是由两条连续曲线y=f(x)，y=g(x)（其中

）以及直线x=a,x=b

所围成，求此平面图形的面积.和直线所围成的区域的面积A.的面积元素dA为它对应求由曲线小区间在区间[c,d]上任取一个解两曲线的交点选

x为积分变量例

6.26

求由曲线和所围成的图形面积.面积元素解两曲线的交点选

y为积分变量例

6.27

求由

和

所围成的图形的面积.

所求面积解画草图,求两曲线交点的坐标以便解方程组:交点面积元素选

为积分变量,?确定积分限,练习旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条圆柱圆锥圆台6.5.2体积问题1.旋转体的体积直线旋转一周而成的立体.这直线称为旋转轴．旋转而成的薄片的体积元素旋转体的体积为如果旋转体是由连续曲线直线及

x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,求体