《数学（下册）（第二版）》 课件 第3、4章　导数的应用、积分及应用

导数的应用第3章112目录3.1拉格朗日中值定理及函数单调性的判定3.2

函数的极值与最值3.3

函数图像的凹凸和拐点3.4

曲率3.5

洛必达法则113教学要求：1.了解拉格朗日中值定理及其几何解释.2.掌握用导数判断函数的单调性的方法.3.理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法.4.掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.5.会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点.6.会求曲线的水平、垂直渐近线，会比较准确地描绘函数的图像.*7.理解曲率、曲率半径的定义，掌握曲率的计算方法．8.会用洛必达法则求

型与

型未定式的极限.1143.１拉格朗日中值定理及函数单调性的判定115拉格朗日中值定理定理（拉格朗日中值定理）如果函数y＝f（x）满足：（1）在闭区间

[a，b]上连续，（2）在开区间（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得或f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）．拉格朗日中值定理准确地表达了函数在一个区间上的增量和函数在这个区间内某点处的导数之间的关系．116利用拉格朗日中值定理，还可以得到下面的两个推论．推论1如果函数f（x）在区间（a，b）内可导，且恒有f′（x）＝0，则函数f（x）在区间（a，b）内恒为常数．推论1是“常数的导数等于零”的逆定理．推论2如果函数f（x）和g（x）在区间（a，b）内均可导，且恒有f′（x）＝g′（x），则函数f（x）和g（x）在区间（a，b）内满足f（x）＝g（x）＋C（C为任意常数）．117函数单调性的判定由下图可以看出，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调增加，那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线，这时曲线上各点处的切线的倾斜角都是锐角，因此，切线的斜率都是正的，即f′（x）＞0；同样地，由下图可以看出，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调减少，那么它的图像是一条沿x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点处的切线的倾斜角都是钝角，因此切线的斜率都是负的，即f′（x）＜0．118119120由此可见，函数的单调性与导数的符号有关．定理设函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导．（1）如果在（a，b）内f′（x）＞0，那么函数y＝f（x）在[a，b]上单调增加；（2）如果在（a，b）内f′（x）＜0，那么函数y＝f（x）在[a，b]上单调减少．如果将定理中的闭区间[a，b]改为开区间、半开半闭区间、无穷区间（在其任一有限子区间上满足定理的条件），结论同样成立．如果将定理中的条件“f′（x）＞0（＜0）”改为“f′（x）≥0（≤0），且只在有限个点处的导数值等于零”，结论同样也成立．我们注意到x1＝－1，x2＝1是函数f（x）＝3x－x3单调区间的分界点，此时f′（x）＝0．习惯上，我们把f′（x）＝0的点称为函数的驻点（或稳定点）．由此可见，驻点可能是单调区间的分界点．特别地，导数不存在的点也可能是单调区间的分界点．因此，确定函数的单调性的一般步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出函数f（x）的导数f′（x）；（3）求出函数f（x）的全部驻点及f′（x）不存在的点，并以这些点为分界点把定义域分成若干个子区间；（4）列表讨论f′（x）在各个子区间内的符号，从而确定函数f（x）的单调性或单调区间．1213.２函数的极值与最值122函数的极值函数极值的定义由下图可以看出，函数y＝f（x）在点c1，c4处的函数值f（c1），f（c4）比它们附近各点的函数值都大，而在点c2，c5处的函数值f（c2），f（c5）比它们附近各点的函数值都小．123对于具有上述这种性质的点和对应的函数值，我们给出如下的定义．124关于函数的极值作以下几点说明：（1）函数的极值是指函数值，而极值点是指自变量的值，两者不应混淆．（2）函数的极值概念是函数的局部性质，它只是在与极值点附近的所有点的函数值相比较为最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内为最大或最小．因此，函数的极大值不一定比极小值大．（3）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而函数的最大值或最小值点可能在区间内部，也可能是区间的端点．125函数极值的判定和求法由上图可以看出，在函数取得极值点处，曲线的切线是水平的，即极值点是驻点．反过来，曲线上有水平切线的地方，即驻点处，函数不一定取得极值．由此，我们得到函数取得极值的必要条件．定理1设函数f（x）在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f′（x0）＝0．定理只说明可导函数的极值点必定是驻点．实际上，导数不存在的点也有可能是函数的极值点．126如图所示，函数f（x）在点x0处取得极大值，在点x0左侧单调增加，有f′（x）＞0；在点x0右侧单调减少，有f′（x）＜0．如图所示，函数f（x）在点x0处取得极小值，在点x0左侧单调减少，有f′（x）＜0，在点x0右侧单调增加，有f′（x）＞0．由此，我们得到函数在某点处取得极值的充分条件．127定理2设函数f（x）在点x0的某个邻域内连续，在点x0的去心邻域内可导，则（1）如果当x＜x0时，f′（x）＞0，而当x＞x0时，f′（x）＜0，那么函数f（x）在x0处取得极大值；（2）如果当x＜x0时，f′（x）＜0，而当x＞x0时，f′（x）＞0，那么函数f（x）在x0处取得极小值；（3）如果在x0的两侧，函数f（x）的导数f′（x）符号相同，那么f（x0）不是f（x）函数的极值．128根据上面两个定理，我们可以得到求函数的极值点和极值的一般步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出函数f（x）的导数f′（x）；（3）求出函数f（x）的全部驻点及f′（x）不存在的点，并以这些点为分界点把定义域分成若干个子区间；（4）列表讨论f′（x）在各个子区间内的符号，从而确定函数f（x）的极值点，并判定其是否为极大值点或极小值点，由此求出函数的极值．129定理3设函数f（x）在点x0处具有二阶导数，且f′（x）＝0，f″（x）≠0，则（1）当f″（x）＜0时，函数f（x）在x0处取得极大值；（2）当f″（x）＞0时，函数f（x）在x0处取得极小值．注意：如果函数f（x）在驻点x0处的二阶导数f″（x）≠0，那么该驻点x0一定是极值点，且可以由二阶导数的符号来判定f（x0）是极大值还是极小值．但是如果f″（x）＝0，定理3就失效了．130函数的最值及应用函数最值的求法函数的极值是函数的局部性质，而最值是函数的整体性质．在第1章中，我们已经知道，函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则它在[a，b]上必有最大值和最小值．函数的最值可能出现在区间内部，也可能在区间端点处取得．如果最值在区间（a，b）内部取得，则这个最值一定是函数的极值．因此，求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的方法如下：（1）求出函数f（x）在开区间（a，b）内所有可能的极值点的函数值；（2）求出闭区间[a，b]上端点处的函数值f（a），f（b）；（3）比较以上函数值，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．131函数最值的应用举例（1）建立数学模型，列出函数关系式．分析问题的实际意义，分清并找出已知量和未知量．在实际问题中常常是这样提出问题的：当x为何值时，函数y取得最大值（最小值）?这时要以x为自变量y为因变量，建立函数关系y＝f（x）．（2）求函数的导数等于零的点．求出函数y＝f（x）的导数，令f′（x）＝0，解出函数导数等于零的点．（3）确定最值．结合所求问题的实际意义，如果函数的导数等于零的点只有一个，则该点对应的函数值就是所求问题的最大值（最小值）．如果函数导数等于零的点有多个，则将它们分别代入函数y＝f（x）求出对应的函数值．在这些函数值中最大的数即为函数的最大值，最小的数为函数的最小值．1323.３函数图像的凹凸和拐点133函数图像的凹凸和拐点曲线的凹凸及其判定法如图所示，曲线弧OP在区间（0，x0）内是向下凹的，此时曲线总在其上任一点处切线的上方；而曲线弧PQ在区间（x0，＋∞）内是向上凸的，此时曲线总在其上任一点处切线的下方．134一般地，对于曲线的上述特性，我们给出如下定义：135如果曲线是凹的，曲线上各点处的切线的倾斜角随着自变量x的增大而增大，切线的斜率也是单调增加的．由于切线的斜率就是函数y＝f（x）的导数f′（x），因此，若曲线是凹的，导数f′（x）必定是单调增加的．同样，如果曲线是凸的，曲线上各点处的切线的倾斜角随着自变量x的增大而减小，切的斜率也是单调减少的，因此，若曲线是凸的，导数f′（x）必定是单调减少的．由此可见，曲线y＝f（x）的凹凸，可以由导数f′（x）的单调性来判定，而导数f′（x）的单调性又可以用它的导数，即y＝f（x）的二阶导数f″（x）的符号来判定．136137定理设函数y＝f（x）在开区间（a，b）内具有二阶导数f″（x）．（1）如果在（a，b）内，f″（x）＞0，则曲线在（a，b）内是凹的；（2）如果在（a，b）内，f″（x）＜0，则曲线在（a，b）内是凸的．一般地，在连续曲线y＝f（x）的定义域的区间内，除在有限个点处f″（x）＝0或f″（x）不存在外，若在其余各点处的二阶导数f″（x）均为正（或负）时，曲线y＝f（x）在这个区间上就是凹（或凸）的，这个区间就是曲线y＝f（x）的凹（或凸）区间；否则就以这些点为分界点划分函数y＝f（x）的定义区间，再在各个区间上讨论曲线的凹凸性．138曲线的拐点我们可以按下面的步骤来确定曲线y＝f（x）的拐点：（1）确定函数y＝f（x）的定义域；（2）求出f″（x）；（3）求出使f″（x）＝0和f″（x）不存在的点，并以这些点为分界点把定义域分成若干个子区间；（4）列表讨论f″（x）在各个子区间内的符号，从而确定曲线f（x）的拐点．139函数图像的描绘曲线的渐近线先看下列的例子．（1）如图所示，当x→－∞时，曲线y＝arctanx无限接近于直线y＝－

；当x→＋∞时，曲线y＝arctanx无限接近于直线y＝

．140141（2）如图所示，当x→∞时，曲线y＝

无限接近于x轴（y＝0）；当x→0时，曲线y＝

无限接近于y轴（x＝0）．一般地，对于曲线的上述特性，我们给出如下定义：142函数图像的描绘描绘函数图像的一般步骤如下：（1）确定函数y＝f（x）的定义域，考察函数的奇偶性和周期性，判断曲线的对称性；（2）求出函数的一阶导数f′（x）和二阶导数f″（x），并解出方程f′（x）＝0和f″（x）＝0在定义域内的全部实根以及f′（x）和f″（x）不存在的点，用这些点把定义域分成若干个子区间；（3）列表讨论f′（x）和f″（x）在各个子区间内的符号，从而确定函数f（x）的单调性和极值、曲线f（x）的凹凸性和拐点；（4）确定曲线的水平渐近线和垂直渐近线；（5）需要时，取一些辅助点（例如曲线与坐标轴的交点等）；（6）结合上述讨论结果，描绘出函数y＝f（x）的图像．1433.４曲率144曲率的概念如图所示，相切于M点的两条曲线弧MN1和MN2，长度相等且弯曲程度均匀．它们两端的切线的夹角（简称切线转角）分别为Δα1和Δα2．从直观判断，Δα2大于Δα1，曲线弧MN2比曲线弧MN1更弯曲．实际上，对于长度一定且弯曲程度均匀的曲线弧，切线转角越大，其弯曲程度就越大．由此可以衡量曲线弧的平均弯曲程度．145我们将曲线弧的切线转过的角度Δα与其弧长Δs之比的绝对值称为该曲线弧的平均曲率，记为

，即曲线在其上各点附近的弯曲程度往往不同．因此，曲线弧越短，其平均曲率就能越真实地反映曲线上某一点附近的弯曲程度．于是，我们给出如下定义：146上式表明，曲线的曲率是曲线切线倾斜角关于弧长的变化率的绝对值，它是一个非负数．利用定义计算曲线的曲率是很不方便的，但可以引入坐标系和导数来处理．下面给出平面直角坐标系中曲线y＝f（x）上任意点处的曲率计算公式（推导略）：147曲率圆在研究一般曲线某点的曲率时，往往可以用一个圆弧代替该点附近的曲线．对于这样的圆弧所在的圆，我们给出如下的定义：148如图所示，曲率圆的中心C称为曲线在点M的曲率中心；曲率圆的半径R称为曲线在点M的曲率半径．149如果曲线在点M的曲率是K，则该点曲率圆的曲率同样也是K，则曲线在点M的曲率半径R的计算公式为与之相对应的曲率圆的中心C（a，b）坐标为1503.５洛必达法则151函数连续性的概念当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）和g（x）都趋于零（或都趋于无穷大），则极限可能存在，也可能不存在通常把这种形式的极限称为未定式，并简称为对于未定式，不能直接用极限运算法则求极限．下面介绍求这类未定式极限的一种有效简便的方法———洛必达法则．152

型未定式定理如果函数f（x）和g（x）满足条件：（1）（2）f（x）和g（x）在点x0的某个去心邻域内可导，且g′（x）≠0；（3）存在（或为无穷大）．则153这个定理告诉我们，当也存在，且等于也为无穷大．定理中把x→x0换为x→∞（或其他情形）时，结论同样成立．这种在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则．需要特别说明的是，如果使用一次洛必达法则后，仍未求出极限值，而函数f′（x）和g′（x）仍满足定理的条件，则可继续使用洛必达法则进行计算，即但要注意，如果所求的极限已不是未定式，则不能再应用这个法则，否则将导致错误的结果．154

型未定式对于x→x0时的

型未定式，也有相应的洛必达法则．定理如果函数f（x）和g（x）满足条件：（1）（2）f（x）和g（x）在点

x0的某个去心邻域内可导，且g′（x）≠0；（3）

存在（或为无穷大）．则上述定理中，把x→x0换为x→∞（或其他情形）时，结论同样成立．155除了上述

和

型未定式外，还有0·∞，∞－∞，1∞，∞0，00等类型的未定式．这里所谓0·∞型未定式，是指形如[f（x）·g（x）]的极限中，（x）＝∞，并此可理解其他几种类型的未定式．一般地，这些类型的未定式通过变形总可以化为型或型，然后利用洛必达法则求其极限．156积分及应用第4章157目录4.1积分的基本概念4.2积分法4.3定积分的应用4.4广义积分158教学要求：1.理解定积分的概念及性质，能正确使用有关术语及符号.2.了解导数（或微分）与积分的联系，理解原函数的概念，知道积分上限函数

f（t）dt可导时，就是f（x）在［a，b］上的一个原函数.3.掌握微积分学基本公式（牛顿-莱布尼兹公式）.4.理解不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式.5.熟练掌握第一换元积分法.6.掌握第二换元积分法（仅限于简单的根式代换和三角代换）.7.熟练掌握不定积分的分部积分法.1598.会查简易积分表.9.掌握用微元法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力.10.掌握用定积分求平面图形的面积，能用定积分求绕坐标轴旋转生成的旋转体体积.11.了解定积分在其他方面的一些应用.12.了解广义积分的概念和计算方法.1604.１积分的基本概念161定积分的概念及性质定积分的定义要计算的量（曲边梯形的面积A及变速直线运动的路程s）的实际意义不同（前者是几何量，后者是物理量），但解决的方法是相同的，都归结为求一个和式的极限．在科学技术上有许多实际问题都可以归结为某种特定的和式极限．为此，我们给出如下定积分的定义：162163利用定积分的定义，实例考察中的两个问题可以表述如下．若f（x）≥0，由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形的面积A等于曲边函数f（x）在其底所在的区间[a，b]上的定积分，即变速直线运动的物体从时刻T1到时刻T2这段时间内所经过的路程s等于其速度函数v＝v（t）在时间区间[T1，T2]上的定积分，即164165关于定积分的定义，做以下几点说明：（1）当和式的极限存在时，其极限值仅与被积函数f（x）及积分区间[a，b]有关，而与区间[a，b]的分法及点ξi的取法无关．（2）定积分的值与表示积分变量的字母无关，即有（3）在定积分的定义中，要求满足a＜b，为了以后计算方便起见，对于a＞b及a＝b的情形，我们给出如下的补充约定定积分的几何意义我们已经知道，如果函数y＝f（x）在[a，b]上连续，且f（x）≥0，则定积分

f（x）dx在几何上表示由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形的面积A，即如果函数y＝f（x）在[a，b]上连续，且f（x）≤0，此时由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分f（x）dx在几何上表示曲边梯形面积A的相反数，即166167如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，且f（x）有时为正，有时为负，则定积分

f（x）dx在几何上表示曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的几块曲边梯形中，在x轴上方的各曲边梯形面积之和，减去在x轴下方的各曲边梯形面积之和．总之，定积分f（x）dx在各种实际问题中所代表的实际意义虽然不同，但它的数值在几何上都可用曲边梯形面积的代数和来表示，这就是定积分的几何意义．168定积分的几何意义直观地告诉我们，如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，那么，由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的各部分面积的代数和是一定存在的，即f（x）在区间[a，b]上一定是可积的．另一种情形，当函数f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点时，f（x）在区间[a，b]上也一定是可积的．为此，我们有下面两个定积分存在定理：定理1设函数f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积．定理2设函数f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在区间[a，b]上可积．169定积分的性质在下面的讨论中，各性质中积分上下限的大小，如无特别说明，均不加限制，并假设各函数在积分区间上都是可积的．性质1如果在区间[a，b]上，f（x）恒等于1，则性质1的几何解释如图所示．性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外，即其中k为常数．170性质3两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即这是因为性质3对于有限个可积函数代数和的定积分也是成立的．171性质4如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a＜c＜b，则如图所示，性质4说明定积分对积分区间具有可加性．这个性质可以用来求分段函数的定积分．另外需要说明的是，如果a，b，c是任意三个实数，性质4同样成立．172利用性质4和定积分的几何意义，可以看出奇函数和偶函数在对称于原点的区间（简称对称区间）上的定积分有以下计算公式：（1）如果f（x）在[－a，a]上连续且为奇函数，则（2）如果f（x）在[－a，a]上连续且为偶函数，则性质5如果在区间[a，b]上，f（x）≤g（x），则性质5可以用来比较两个定积分的大小．173性质6（定积分估值定理）设M与m分别是f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值，则如图所示，性质6可用来估计定积分值的大致范围．174性质7（定积分中值定理）如果f（x）在[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一点ξ，使下式成立：如图所示，定积分中值定理的几何意义是：在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得以区间[a，b]为底边，以曲线y＝f（x）为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f（ξ）的矩形的面积．175因此，我们把f（ξ）＝（x）dx称为连续曲线f（x）在[a，b]上的平均高度，或称为连续函数f（x）在[a，b]上的平均值．这是有限个数的算数平均值概念的推广，只有应用定积分才有可能求出连续函数在闭区间上的平均值．176微积分学基本定理积分上限函数设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，x为区间[a，b]上任意一点．由于y＝f（x）在[a，b]上连续，因而在[a，x]上也连续，因此，定积分（t）dt存在．这个定积分是一个变上限的定积分，对每一个x（x∈[a，b]），都有一个确定的积分值与之相对应，因此，它是上限x的函数．为此，我们给出如下定义：177积分上限函数Φ（x）＝

（t）dt，x∈[a，b]的几何意义如图所示．它具有下面重要性质．178定理1

如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限函数Φ（x）＝

（t）dt在[a，b]上可导，且有证明如图所示．179180因为f（x）在区间[a，b]上连续，又Δx→0时，ξ→x，所以有即定理1体现了导数（或微分）与积分的内在联系．181原函数的概念若把积分上限函数

（t）dt记为F（x），当F（x）可导时，则有F′（x）＝f（x），我们称F（x）是f（x）的一个原函数，由此给出原函数的定义．182定理2如果函数F（x）是f（x）在某一区间内的一个原函数，则可用F（x）＋C（C为任意常数）表示f（x）在该区间内的全体原函数．定理2包含两层意思：第一，F（x）＋C中的任一个都是f（x）的原函数；第二，f（x）的任一原函数都可以表示成F（x）＋C的形式．183微积分基本定理定理1的重要意义在于，一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系．因此，我们就能通过原函数来计算定积分．事实上，如果F（x）是连续函数f（x）在[a，b]上的一个原函数，而Φ（x）＝

（t）dt也是f（x）在[a，b]上的一个原函数，则有F（x）－Φ（x）＝C，即184将x＝a，x＝b分别代入上式，得两式相减，整理得把积分变量t换成x，得由此，我们得到微积分基本定理．185微积分基本定理设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，F（x）是f（x）在[a，b]上的一个原函数，则有上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式．微积分基本定理揭示了定积分与原函数之间的关系．它表明：一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的一个原函数在区间[a，b]上的增量．这就给定积分提供了一个简便的计算方法，大大简化了定积分的计算．为了简便，公式常采用下面的格式：186不定积分的概念及性质不定积分的定义我们知道，如果函数F（x）是f（x）在某一区间上的一个原函数，则F（x）＋C（C为任意常数）可以表示f（x）的全体原函数．由此给出不定积分的定义．187求不定积分∫f（x）dx就是求被积函数f（x）的全体原函数，为此，只需求得f（x）的一个原函数，然后再加上积分常数C即可．今后在不致引起混淆的情况下，不定积分简称为积分，求不定积分的运算和方法分别称为积分运算和积分法．由不定积分的定义可以看出，导数运算或微分运算与积分运算互为逆运算，它们的关系为：此式表明，若先求积分后求导数（或微分），则两者的作用互相抵消．188此式表明，若先求导数（或微分）后求积分，则两者的作用互相抵消后还相差一个常数．特别地，有∫dx＝x＋C．189不定积分的几何意义设函数F（x）是f（x）的一个原函数，则f（x）的不定积分是函数f（x）的全体原函数．其中C每取一个值C0，就确定f（x）的一个原函数，在直角坐标系中确定一条曲线y＝F（x）＋C0，这条曲线称为函数f（x）的一条积分曲线．所有这些积分曲线y＝F（x）＋C构成一个曲线族，称为函数f（x）的积分曲线族，如图所示．这就是不定积分的几何意义．190191如上图所示，积分曲线族y＝F（x）＋C的特点如下：（1）积分曲线中任意一条曲线，可由其中任一条沿y轴平移若干个单位得到，即积分曲线族中任意两条曲线上，具有相同的横坐标x的点，它们对应的纵坐标y的差是一个常数．（2）由于[F（x）＋C]′＝F′（x）＝f（x），即横坐标相同点x处，每条积分曲线上相应点处的切线斜率相等，都等于f（x），从而使相应点处的切线互相平行．192积分的基本公式由于积分运算是导数运算的逆运算，因此，从基本导数公式，可以直接得到相应的基本积分公式．类似地，可以得到其他积分公式，常用的基本积分公式有：193194积分的基本运算法则法则1两个函数加或减的不定积分等于各个函数不定积分的加或减，即法则1对于有限多个函数加或减的不定积分也是成立的，即法则2被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面，即1954.2积分法196第一换元积分法定理若∫f（x）dx＝F（x）＋C，则∫f（u）du＝F（u）＋C，其中u＝φ（x）是可导函数．这个定理表明，在基本积分公式中，把自变量x换成任何一可导函数u＝φ（x）后公式仍成立．应用定理我们可以得到以下的积分方法．通常把这样的积分方法称为第一换元积分法，也称凑微分法．197把不定积分中的哪一部分凑成dφ（x）是凑微分法的关键，这是一种技巧，需要熟记以下结论，例如：方法熟悉后，换元的中间步骤可以省略．用凑微分法可计算一些定积分．在计算时，一般不引入中间变量，只需将不定积分的结果（只取一个原函数）代入积分上、下限作差即可．198第二换元积分法不定积分的问题是分母含有根式，我们可以先做变换，将根式去掉．为此，令t＝，则x＝t2，dx＝2tdt，于是199由此可见，如果不定积分∫f（x）dx不易求出，但在做变换x＝φ（t）后，∫f（φ（t））φ′（t）dt可求，则可以按以下的方法计算不定积分．设x＝φ（t）单调且可导（φ′（t）≠0），则x＝φ（t）的反函数为t＝φ－1（x），若F（t）是f（φ（t））φ′（t）的一个原函数，即∫f（φ（t））φ′（t）dt＝F（t）＋C，则∫f（x）dx＝F（φ－1（x））＋C．通常把这样的积分法称为第二换元积分法．200一般地说，应用三角换元法计算积分时，一般有如下三种情形：（1）含

时，作三角代换x＝asint或x＝acost；（2）含

时，作三角代换x＝atant或x＝acott；（3）含

时，作三角代换x＝asect或x＝acsct．用第二换元法计算定积分时，由于引入了新变量，应相应地变换积分上、下限，即“换元必换限”．设函数f（x）在积分区间[a，b]上连续，函数x＝φ（t）在区间[α，β]上是单调的，且有连续导数φ′（t）．当t在α和β之间变化时，x＝φ（t）的值在[a，b]上变化，并且φ（α）＝a，φ（β）＝b，则定积分201分部积分法设函数u＝u（x），v＝v（x）有连续的导数u′＝u′（x），v′＝v′（x）．根据函数乘积的微分法则（uv）′＝u′v＋uv′或

d（uv）＝vdu＋udv，移项后，得uv′＝（uv）′－u′v或udv＝d（uv）－vdu．对上式两边求不定积分，得202上式称为分部积分公式，利用分部积分公式计算不定积分的方法称为分部积分法．应用分部积分公式的作用在于把不容易求出的积分∫uv′dx或∫udv转化为容易求出的积分∫u′vdx或∫vdu．运用分部积分法的关键是如何选择u和v′（或dv），一般原则是：（1）使v容易求出；（2）新积分∫u′vdx（或∫vdu）要比原积分∫uv′dx（或∫udv）容易求出．203一般情况下，u与v′可按以下规律选择．（1）形如∫xnsinkxdx，∫xncoskxdx，∫xnekxdx（其中n为正整数）的不定积分，在被积函数中，选取u＝xn，v′＝sinkx（或v′＝coskx或v′＝ekx）．（2）形如∫xnlnxdx，∫xnarctanxdx，∫xnarcsinxdx（其中n为自然数）的不定积分，在被积函数中，选取u＝lnx（或u＝arctanx或u＝arcsinx），令v′＝xn．（3）形如∫eaxsinbxdx，∫eaxcosbxdx的不定积分，可以任意选择u和v′，但因为要使用两次分部积分公式，两次选择的u和v′应分别保持一致，即如果第一次令u＝eax，则第二次也须令u＝eax，这样才能出现循环公式，然后用解方程的方法求出原积分．204用分部积分法计算定积分时，可以由不定积分的分部积分法直接得来，但要先把积出来的那一部分代入上、下限求值，余下的部分继续积分．设函数u＝u（x），v＝v（x）在区间[a，b]上有连续的导数u′，v′，则即若同时使用了换元积分法，则要根据引入的变量相应地变换积分上、下限．205简易积分表的应用通过前面的讨论可以看出，积分计算要比导数计算灵活、复杂．为了使用方便，人们已将一些函数的不定积分汇编成表，这种表称为简易积分表．本书附录列出的简易积分表是按照被积函数的类型编排的，其中包括一些常用的积分公式．一般地，查积分表可节省计算积分的时间，但是只有在掌握了前面学过的基本积分方法后才能灵活地使用积分表，而且对一些比较简单的积分，应用基本积分方法来计算比查表更快．2064.3定积分的应用207定积分的微元法在用定积分方法计算某个量时，关键是如何把所求的量用定积分表示出来，常用的方法就是“微元法”．为了分析这种方法，我们先回顾一下引入定积分概念时讨论的曲边梯形的面积问题．若f（x）≥0，我们把由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形的面积A表示成定积分，即208其基本步骤是：（1）分割用任意一组分点把区间[a，b]分成长度为Δxi（i＝１，２，···，n）的n个小区间，相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形，第i个小曲边梯形的面积为ΔAi．（2）取近似得到第i个小曲边梯形的面积ΔAi的近似值ΔAi≈f（ξi）Δxi（xi－1≤ξi≤xi）．（3）求和得到曲边梯形面积A的近似值209（4）取极限得到曲边梯形面积A的精确值其中λ＝不难发现，在表示定积分

f（x）dx的和式极限中，f（ξi）Δxi为曲边梯形的面积A在代表性小区间[xi－1，xi]上的部分（即第i个小曲边梯形）面积ΔAi的近似值．因此，我们只要把ξi换成x，把Δxi换成dx，就可以把f（ξi）Δxi写成f（x）dx的形式．这就是说，f（x）dx是曲边梯形的面积A在代表性小区间[x，x＋dx]上的部分面积ΔA（代替ΔAi）的近似值，而f（x）dx正是将曲边梯形的面积A表示成定积分f（x）dx的被积式．210因此，今后我们可以把实际问题中的“待求量”A通过如下步骤表示成定积分：第一步根据问题的实际情况，选取积分变量x及变化区间（即积分区间）[a，b]．第二步在积分区间[a，b]上任取一个小区间[x，x＋dx]，然后求出这个小区间上所对应的待求量A的部分量ΔA的近似值，记为dA＝f（x）dx，把它称为待求量A的微元．第三步将待求量A的微元dA＝f（x）dx在积分区间[a，b]上积分（也就是无限累加），即得上述这种解决问题的方法称为定积分的微元法．211关于微元dA＝f（x）dx，要注意以下两点：（1）f（x）dx作为ΔA的近似表达式，应该足够准确．确切地说，就是要求它们的差ΔA－f（x）dx是比Δx高阶的无穷小，且所有小区间上差的总和还是无穷小．（2）利用微元法解决问题的关键是如何求出微元．要分析问题的实际意义及数量关系，一般可在某一小区间[x，x＋dx]上，采用“以常代变”“以匀代变”“以直代曲”等思路，写出小区间上所求量的近似值，即为微元dA＝f（x）dx．212求平面图形的面积若f（x）≥0，曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的平面图形的面积微元为dA＝f（x）dx，则面积213一般地，曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的平面图形的面积微元为dA＝丨f（x）丨dx，则面积214若g（x）≤

f（x），由上下两条曲线y＝f（x），y＝g（x）与直线x＝a，x＝b（a＜b）所围成的平面图形的面积微元为dA＝[f（x）－g（x）]dx，则面积215若ψ（y）≤φ（y），由左右两条曲线x＝φ（y），x＝ψ（y）与直线y＝c，y＝d（c＜d）所围成的平面图形的面积微元为dA＝[φ（y）－ψ（y）]d