第01讲从洛书到幻方（教师版）

第1讲从洛书到幻方四年级寒假第1讲从洛书到幻方四年级寒假知识点知识点从洛书到幻方（四下）

备注备注课堂例题课堂例题三阶幻方1、用2、5、8、11、14、17、20、23、26这9个数构建一个三阶幻方．【答案】

1126112658142023217【解析】

这9个数由19这9个数乘以3减1得到，因此可根据基本三阶幻方的构建方法，将每个数乘以3减1即可．494923578161126581420232172、用3，6，9……24，27这9个数构建三阶幻方与用1~9构建三阶幻方有什么联系呢？【答案】

12122769152124318【解析】

这9个数由19这9个数乘以3得到，因此可根据基本三阶幻方的构建方法，将每个数乘以3即可．494923578161227691521243183、（105，92，100，97，108，95，98，103，102）（97，99，101，96，105，103，100，98，107）上面有两组数，请选出一组填入下图中，使之成为一个三阶幻方．【答案】

9797108959810010210592103【解析】

选第一组，9个数的和是900，所以幻和是300，所以中间数是100，答案如下图，不唯一97971089598100102105921034、请完成图中的三阶幻方．66358【答案】

4477963618【解析】

通过第一列和第二行可以推出左上角的数是4，这时可以通过对角线求出幻和是18，三阶幻方就可以求出如下图：474779636185、（1）请完成下左图中的三阶幻方；（2）在右下图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于27．568568128【答案】

29472947536181210529161386【解析】

（1）中间数是5，幻和就是15，接下来根据幻和可以求出剩余数，答案如下图：2294753618（2）根据幻和是27，可以求出中间数是9，其他数可以根据幻和求出，答案如下图：1212105291613866、将1、2、3、5、6、7、9、10、11填入图中的小圆圈内，使得每条直线上的三个圆圈中的数之和都相等．【答案】

【解析】

使用比较法，右下图中，通过对比可以先求出11,的位置，因此，可知比大8，则两个数可以是11、3或者10、2或者9、1，其中1、3、9都出现过，因此和分别是10、2，剩余的数字就依次可以确定下来，答案如左下图．．7、下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于3倍的E且D+F=2×E．【答案】

见解析【解析】

首先把题目中的空白格子标上不同的字母，以便表述．首先，只考虑包含E的四条直线，得到A+E+I=“幻和”，B+E+H=“幻和”，C+E+G=“幻和”，D+E+F=“幻和”．然后，把这四个式子的左右两边分别相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=4倍的“幻和”,而另一方面，如果我们只考虑幻方的三行，则有A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和”，因此A+B+C+D+E+F+G+H+I=3倍的“幻和”．所以，3×E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F，于是D+F=2×E．多阶幻方8、如图，在的方格表中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的所填数之和都相等．7712142131116109【答案】

771211421381116310596154【解析】

由第一列可知幻和是，由于每行、每列、每条对角线上和相等，只要某行、某列、某条对角线上有三个已知数，就可以计算出另外一格，如第1行第三个数为，其他空格依次求出．正确答案如下图：7712114213811163105961549、在图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的5个方格中的各数之和都相等．99378238468423087【答案】

229110437826538468492383087【解析】

根据第三列和第四行可以求出第一行第三个数是1，根据第二行和第五列可以求出第一行第五列的数是4，再根据主对角线和第一行可以推出第一行第四个数是10，则幻和是，剩余的数就可以填出，答案如下图：2929110437826538468492383087其它类型10、把1、2、3、4、6、9、12、18、36这9个数分别填入3×3方格表的各方格内，使每一行、每一列及两条对角线上的3个数的乘积都是216．求位于正中间的方格中所填的数．【答案】

6【解析】

所有数的乘积是，由于每行的乘积相等所以每一行的乘积是216，同理每一列的乘积也是216，中间横行，中间列行和两条对角线的乘积是，所以中间数是6．11、在图中的7个圆圈内各填一个数，要求对于每条直线上的3个数，居中的数是另外两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．【答案】

1313171513171916151715【解析】

由中间的数是旁边两个数的平均数，易得最下面一条直线中间的数应该是．如图，把图中圆圈的数标上字母，由题意知，C加15的和等于2A，B加17的和也等于2A，因此，可以得到C比B大2．由于B是13和C的平均数，所以B与13的差应该等于C与B的差，为2．则，，，最后一个数是．13171317151317ABC1512、下图是有名的“六角幻方”，将1到19这19个自然数填入图中的“○”内，使得每一条直线上“○”内的各数之和相等．美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答．现在已经填入了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”．【答案】

【解析】

这19个数的和是：，所以幻和是：，如下图未知数依次设为：a、b、c、d、e、f、g、x、y、z、u、v、w，很显然，，在外圈则有：由其中的第一条边、第三条边、第五条边、得：，由其中的第二条边、第四条边、第六条边、得：，从以上两式可得：g=14，于是依次可以得出：；然后填图即可．根据以上分析填图如下：．

随堂练习随堂练习1、用7，14，21，……，56这9个数构建一个三阶幻方．【答案】

2828631421354956742【解析】

这9个数由19这9个数乘以7得到，因此可根据基本三阶幻方的构建方法，将每个数乘以7即可．49492357816286314213549567422、如图，在的方格表中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的所填数之和都相等．那么“＆”处所填的数是多少？7712＆495163811【答案】

15【解析】

由对角线可知幻和是，由于每行、每列、每条对角线上和相等，只要某行、某列、某条对角线上有三个已知数，就可以计算出另外一格，如第2列第1个数为，其他空格依次求出．正确答案如下图：114114712154961051638112133、请完成图中的三阶幻方．141411722【答案】

141411293318372522【解析】

通过第二列和第三行对比可以求出中心数是，这样幻和就可以通过对角线求出幻和是，然后根据每行每列和对角线上的和都是54求出剩余的数，答案如下图：141114112933183725224、（1）请完成左下图中的三阶幻方；（2）已知又下图这个幻方的幻和等于30，这个幻方中最大的数是多少？79796711【答案】

712712810981061112711910119138【解析】

（1）中间数是9，幻和就是27，接下来可以根据幻和来填其他数如下左图：（2）根据幻和是30，可以填出幻方中心数是10，其他数可以根据幻和求出如下右图：71287128109810611127119101191385、（2015走美杯四年级初赛）将自然数1到16排成的方阵，每行每列以及对角线上数的和相等，这样的方阵称为4阶幻方．下面的幻方是在印度耆那神庙中发现的，请将其补充完整：1212121316【答案】

第一行：7、12、1、14；第二行：2、13、8、11；第三行：16、3、10、5；第四行：9、6、13、4【解析】

因为1到16的和为，所以幻和为．因为剩余数字中两个数之和最小为，所以15不能与16同行，同列，且不能和13在一条对角线上，不能在第二列．如图1所示，“×”为15不能填的地方．假如15在第一行，如图2所示，则，只能为．假如，则不成立．同理也不成立．假如，则．，E、F则无合适值，所以此填法不成立．假如15如图3所示，则14只能填在第4列第1行或第4列第4行．试填可知，14在这两个位置均不能正确填出答案，故此种填法不成立．假如15如图4所示，则14只能在第4行第3列，则A无合适值，所以此种填法不成立．所以15应在图5所示位置，且14不能在“×”位置，试算可得如图6的填法．××12121316××××××612115213AD16EB10FC×12121315416××××××图1图2图312121341516A14×12121316×××××15×图4图571211421381116310596154图66、如图所示的三阶幻方，“”处填_____________．26262413【答案】

17【解析】

根据“”第三行第二个方格是，中心数是，所以“”处填．课后作业课后作业1、将1、2、3、……、24、25分别填入图中的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等．现在已经填入了一些数，完成这个五阶幻方，那么“☆”等于__________．【答案】

14【解析】

或者根据“所有数的和÷5”，可以知道幻和是，格局第2行和第5列可以得到第二行第3个数是，剩余的数可以根据幻和依次写出，答案如下图：120120923122413216101762514315418721822115192、请将1~16填入图中16个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的各数之和都相等．现在已经填入了一些数，补全这个幻方，那么“☆”等于__________．【答案】

15【解析】

首先这根据这16个数的和求出幻和是，根据第2列和第4行得到第2列第二行的数字是，根据幻和可以求出剩余的数字，答案如下图：316316510694151271411321183、补全下面的3阶幻方，那么“☆”等于__________．【答案】

29【解析】

可以先求出中间数是20，然后求出幻和是60，剩余的根据幻和求出即可1122112227362041318294、如下图所示，每条直线上都恰好有3个圆圈，填入适当的数，使每条直线上位置居中的圆圈中所填的数，恰好等于另外两个数的和．那么，“☆”等于__________．【答案】

8【解析】

对含1的两条直线的分析可知，右边竖线上的上面两个数时相等的，所以右下角的数是0．进而可得中间为9，所以☆=8．5、用1、3、5、7、9、11、13、15、17这9个数构建一个三阶幻方