742超几何分布精讲2021-2022学年高二数学下学期（人教A版2019选择性）

7.4.2超几何分布(精讲）一、必备知识分层透析知识点1：超几何分布（1）超几何分布一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，.其中，，，，．如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．（2）对超几何分布的理解①在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取.②若随机变量满足：试验是不放回地抽取次；随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布.③超几何分布的特点：不放回抽样；考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考察其中某类个体个数的概率分布列.（3）超几何分布的均值若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率).知识点2：二项分布与超几何分布的区别和联系（1）区别由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.（2）联系二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布.二、重点题型分类研究题型1:对超几何分布的理解1．（2021·全国·高二课时练习）下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为，求的概率分布；（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为，求的概率分布；（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为，求的概率分布；（4）某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的概率分布；（5）现有100台播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的播放器的个数记为，求的概率分布．【答案】答案见解析(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．题型2：超几何分布1．（2021·全国·高二课时练习）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机选取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为.专业性别中文英语数学体育男11女1111现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每名同学被选到的可能性相同）.（1）求，的值；（2）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；（3）设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列.【答案】（1），；（2）；（3）分布列见解析.（1）设事件为“从10名同学中随机选取1名同学，该名同学的专业为数学”.由题意，可知数学专业的同学共有名，则，解得.因为，所以.（2）设事件为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，则事件包含两种情况：一是从数学专业的3人中选1人，再从剩下的三个专业中选2人，有种方法，二是选出除数学外的3个专业的3人，有1种选法，所以.（3）由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，的取值范围为.，，，，所以的分布列为01232．（2022·全国·高三专题练习）随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级特等一等二等三等等外个数501002506040（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．解：（1）设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为，则，随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为，则，所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为．（2）用分层抽样的方法从500个水果中抽取10个，则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．现从中抽取3个，则优级水果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3．则，，，．所以的分布列如下：0123所以．3．（2022·辽宁葫芦岛·高三期末）十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占60%，次品率为6%；第二批占40%，次品率为5%．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查．（1）从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；（2）若在两批产品中采取分层抽样方法抽取一个样本容量为15的样本，再从样本中抽取3片芯片，求这3片芯片含第二批片数的分布列和数学期望．【答案】（1）0.944（2）分布列见解析，（1）设事件“任取一个芯片是合格品”，事件“产品取自第一批”，事件“产品取自第二批”，则且、互斥；由全概率公式可知：，所以.（2）由条件可知：第一批芯片数：9，第二批芯片数：6；X的可取值为0，1，2，3；；；；所以X的分布列为：X0123P所以．4．（2021·全国·高二单元测试）为活跃校园文化，丰富学生的课余生活，某高校社团举办了“校园音乐节”，某乐队准备从3首摇滚歌曲和5首校园民谣中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首摇滚歌曲的概率；（2）假设演唱1首摇滚歌曲，观众与乐队的互动指数为(为常数)，演唱1首校园民谣，观众与乐队的互动指数为，求观众与乐队的互动指数之和的分布列．【答案】（1）；（2）分布列见解析.（1）设“至少演唱1首摇滚歌曲”为事件A，则事件A的对立事件为“没有1首摇滚歌曲被演唱”，所以；（2）设乐队共演唱Y首摇滚歌曲，Y的所有可能值为0，1，2，3，则，()，，，，，因为，当时，对应，即X的所有可能值为：5a，6a，7a，8a，，，，所以X的分布列为：Y5a6a7a8aP题型3：二项分布与超几何分布1．（2021·广东·华南师大附中南海实验高中高二期中）在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．规定至少正确完成其中2道题便可过关．（1）记所抽取的3道题中，甲答对的题数为，求的分布列和期望；（2）记乙能答对的题数为，求的分布列、期望．【答案】（1）分布列见解析；期望为2；（2）分布列见解析；期望为2．（1）由题意得可取1，2，3，，，，X的分布列为X123P0.20.60.2.（2）由题意得，，，，，Y0123P2．（2021·全国·高二课时练习）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列；（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求的分布列．【答案】（1）12件；（2）答案见解析；（3）答案见解析.（1）质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．（2）重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴X的分布列为X012P（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，P(Y＝k)＝，所以P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝.∴Y的分布列为Y012P3．（2021·全国·高二课时练习）为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在，两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：，两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为.，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.（1）分别求，两名学生恰好答对2个问题的概率.（2）设答对的题数为，答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.【答案】（1），；（2）选择学生，理由见解析.（1）由题意，知恰好答对2个问题的概率为，恰好答对2个问题的概率为.（2）的可能取值为1，2，3，则；；.所以，.易知，所以，.因为，，所以与答题的平均水平相当，但比更稳定.所以选择学生.4．（2021·全国·高二课时练习）一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方法一：一次性随机抽取2件；方法二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件.记方法一抽取的不合格产品数为.记方法二抽取的不合格产品