322双曲线的几何性质-2022-2023学年高二数学讲与练(2019选择性)（原卷版）

3.2.2双曲线的几何性质一、双曲线的几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性质图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：eq\a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq\a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq\a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq\a\vs4\al(b)离心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x二、等轴双曲线在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有：1、离心率：等轴双曲线的离心率为：；2、渐近线：（1）等轴双曲线的渐近线为：；（2）等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°.三、直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程，1、当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.四、弦长公式若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）．题型一由双曲线的方程求几何性质【例1】求下列双曲线的焦点和顶点坐标、实轴和虚轴的长、焦距：（1）；（2）；（3）．【变式11】双曲线的左顶点与右焦点间的距离为（）A．2B．4C．5D．8【变式12】（多选）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（）A．它们有相同的渐近线B．它们有相同的顶点C．它们的离心率不相等D．它们的焦距相等【变式13】已知双曲线，当变化时，下列关于双曲线说法正确的是（）A．顶点坐标不变B．焦距不变C．离心率不变D．渐近线不变题型二由几何性质求双曲线的标准方程【例2】双曲线的离心率为，且过，则双曲线方程为（）A．B．C．D．【变式21】已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程（）A．B．C．D．【变式22】与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为______．【变式23】（多选）过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（）A．B．C．D．题型三与双曲线渐近线相关的问题【例3】已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．【变式31】椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．，B．，C．，D．，【变式32】与双曲线具有相同渐近线，且两顶点间的距离为2的双曲线方程为______．【变式33】已知双曲线：，，分别为的上、下顶点，点为上异于和的一点，直线，的斜率分别为，，若，则的渐近线方程为（）A．B．C．D．题型四求双曲线离心率的值或取值范围【例4】已知双曲线的一个焦点到的一条渐近线的距离为，则的离心率为（）A．B．C．D．【变式41】已知双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形的边长为2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【变式42】已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．【变式43】已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【变式44】已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（）A．B．C．D．题型五直线与双曲线的位置关系【例5】下列直线中与双曲线有两个不同交点的是（）A．B．C．D．【变式51】直线与双曲线的交点个数是（）A．1B．2C．1或2D．0【变式52】直线与双曲线的交点坐标为______．【变式53】（多选）已知双曲线：，过点的直线与双曲线有唯一公共点，则直线的方程为（）.A．B．C．D．【变式54】过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线的条数是（）A．1B．2C．3D．4题型六直线与双曲线相交弦长问题【例6】过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________.【变式61】已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（）A．B．C．D．【变式62】已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（）A．7B．8C．9D．10【变式63】已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【变式64】设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.（1）双曲线C的方程；（2）若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.题型七双曲线的中点弦与点差法【例7】已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（）A．2B．C．D．【变式71】过点作直线交双曲线于，两点，而恰为弦的中点，则直线的斜率为（）.A．B．1C．D．1【变式72】已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（）A．B．C．D．【变式73】已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【变式74】如图，双曲线是圆的一条直径，若双曲线过两点，且离心率为2，则直线的方程为（）A．B．C．D．【变式75】已知点，在双曲线上，线段的中点，则（）A．B．C．D．题型八双曲线的定点定值与最值问题【例8】已知两点，，动点在轴的投影为，且，记动点的轨迹为曲线.（1）求的方程.（2）过点的直线与曲线在轴右侧相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【变式81】已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值．【变式82】已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过