第02讲简单几何体（核心考点讲与练）-2022-2023学年高二数学考试满分全（2020必修三）（原卷版）

第02讲简单几何体（核心考点讲与练）考点考点考向空间几何体的表面积、体积1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR31.求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积2.求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换3.几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.4.截面问题：在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多，如:判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状.柱体一、单选题1．（2021·上海市文来中学高二期中）若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（

）A． B． C． D．2．（2018·上海市控江中学高二期末）若一圆柱的侧面积等于其表面积的，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（

）A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：13．（2021·上海市控江中学高二期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（

）A． B． C． D．二、填空题4．（2021·上海市控江中学高二期中）已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________三、解答题5．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）如图，边长为4的正方形为圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点（1）求证平面．（2）求圆柱的表面积和体积．锥体一、填空题1．（2019·上海虹口·高二期中）已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的全面积为_____．2．（2022·上海·复旦附中高二期中）若一个圆锥的母线长为4，其侧面积为过圆锥轴的截面面积的倍，则该圆锥的高为______．3．（2021·上海中学高二期中）半径为2的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为______4．（2021·上海市松江二中高二期中）如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的母线长为______________.5．（2021·上海市控江中学高二期中）已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________.6．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中）已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为______．7．（2021·上海·格致中学高二阶段练习）将表面积为的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积___________.球一、填空题1．（2021·上海市实验学校高二期中）已知三个球的半径､､满足，则它们的表面积､､满足的等量关系是___________.2．（2021·上海市宝山中学高二期中）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为______.3．（2019·上海青浦·高二期末）球的半径为，球的一个截面与球心的距离为，则截面的半径为______．4．（2021·上海·高二专题练习）已知球的体积为，则该球大圆的面积等于______.5．（2021·上海市甘泉外国语中学高二期中）上海的纬度大约是北纬31°，已知地球的半径大约是6370km，则北纬31°纬线的长度是___km（精确到个位）.6．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期末）已知球的表面积是，则该球的体积为________.7．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）直三棱柱的侧棱长为2，侧棱到平面的距离不小于1，从此三棱柱中去掉以此侧棱为直径的球所占的部分，余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等，则所剩几何体的体积最小值为___________.8．（2021·上海市七宝中学高二期中）球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，与截面垂直的球体直径被截得的部分称作球冠的高.若半径为的球面被一个平面截成两个球冠，这两个球冠的表面积之差等于截面面积的2倍，则球心到截面的距离为________.（球冠的表面积公式：，其中是球的半径，是球冠的高）9．（2021·上海·位育中学高二期中）正三棱锥中，，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________.10．（2021·上海·华师大二附中高二期中）已知三棱锥的侧棱两两互相垂直，且该三棱锥的外接球的体积为，则该三棱锥的侧面积的最大值为________.二、解答题11．（2016·上海·位育中学高二期中）如图,△ABC中,,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上,半圆与AC､AB分别相切于点C､M,与BC交于点N),将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.12．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，已知球的半径为，在球的表面上有三点、、，且、、、四点不共面，．(1)若⊥平面，求球心到平面的距离；(2)若CO⊥平面，一个经过点、、的球也经过点，求球的表面积；(3)若线段上存在一点，使得，求三棱锥体积的最大值．能力拓展能力拓展题型一：几何体的表面积和体积一、单选题1．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二期末）如图，在棱长为1的正方体中，P､Q､R分别是棱AB､BC､的中点，以PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为（

）A． B． C． D．2．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期末）《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面是铅垂面，下宽，上宽，深，平面BDEC是水平面，末端宽，无深，长（直线到的距离），则该羡除的体积为（

）A． B． C． D．二、填空题3．（2022·上海·复旦附中高二期中）正四棱台的上、下底面分别为边长为1和2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的侧面积为______．4．（2022·上海金山·高二期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为________.5．（2022·上海金山·高二期末）将边长为2的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的圆柱体积为________.6．（2022·上海长宁·高二期末）正四棱锥底面边长和高均为分别是其所在棱的中点，则棱台的体积为___________.7．（2021·上海·西外高二期中）直角坐标系内有点P（2，1）､Q（0，2），将△POQ绕x轴旋转一周，则所得几何体的体积为___________.8．（2021·上海·西外高二期中）若球的半径为1，则球的体积是___________.9．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二期末）若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为___________．10．（2022·上海长宁·高二期末）若球的大圆的面积为，则该球的表面积为___________.11．（2022·上海市控江中学高二期末）如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．12．（2022·上海长宁·高二期末）底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为______．13．（2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末）一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为.三、解答题14．（2021·上海·西外高二期中）如图，在圆柱OO1中，AB是圆柱的母线，BC是圆柱的底面⊙O的直径，D是底面圆周上异于B､C的点.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若BD=2，CD=4，AC=6，求圆柱OO1的侧面积.题型二：新定义一、单选题1．（2021·上海·闵行中学高二阶段练习）在空间中，过点A作平面的垂线，垂足为B，记，设、是两个不同的平面，对空间任意一点P，，恒有，则（

）A．平面与平面垂直B．平面与平面所成的（锐）二面角为C．平面与平面平行D．平面与平面所成的（锐）二面角为2．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴.则正方体的旋转轴共有（

）A．7条 B．9条C．13条 D．14条二、填空题3．（2021·上海·华师大二附中高二期中）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为______．4．（2021·上海市七宝中学高二期中）球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，与截面垂直的球体直径被截得的部分称作球冠的高.若半径为的球面被一个平面截成两个球冠，这两个球冠的表面积之差等于截面面积的2倍，则球心到截面的距离为________.（球冠的表面积公式：，其中是球的半径，是球冠的高）三、解答题5．（2016·上海市实验学校高二期末）（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，，，，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积．巩固巩固练习一、单选题1．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期中）以下说法正确的是（

）A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱C．各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱2．（2021·上海市文来中学高二期中）一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（

）A． B． C． D．二、填空题3．（2021·上海市市西中学高二期中）在水平放置的平面上有一个边长为3cm的正三角形，那么用斜二测画的直观图的面积是________.4．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二期末）已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为___________.5．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）圆锥侧面积为全面积的，则侧面展开图圆心角等于_____________.6．（2021·上海市金山中学高二期中）2020中国国际防锈、防腐蚀技术及材料展览会于9月15日至9月19日在国家会展中心（上海）隆重举行，推动了国内防锈、防腐蚀材料的技术升级．如图为沿海城市海边的一个石头雕塑，该雕塑是由一个体积为的圆柱形石料雕刻而成，其上方是一个半径为的球，下方是一个正四棱锥．雕刻时，先让球与圆柱的上底面相切，并使体积达到最大，再让正四棱锥的体积达到最大．不计损耗．为测试某新型涂料防止海水侵蚀的效果，现需要在该雕塑表面涂一层涂料，则需要在雕塑表面涂刷涂料的面积为________(其中3).7．（2021·上海市宝山中学高二期中）已知棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为121，则截得的棱台的高为___________.8．（2021·上海交大附中高二期中）如图，半径为R的半球内接一个圆柱，这个圆柱表面积的最大值为____________.9．（2021·上海市松江二中高二期中）两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为2的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.则此正子体的表面积S的取值范围是______________10．（2021·上海·复旦附中高二期中）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥的体积为________.11．（2021·上海交大附中高二期末）已知三棱锥中，，，则三棱锥的体积是____________．12．（2020·上海·华师大二附中高二期中）已知一个正四面体的棱长为2，则它的高是_______________；13．（2021·上海市进才中学高二期中）长方体的12条棱的总长度为56，表面积为112，那么长方体的对角线长为_____三、解答题14．（2022·上海浦东新·高二期末）已知某圆柱底面半径和母线长都是.(1)求出该圆柱的表面积和体积；(2)若圆锥与该圆柱底面半径､高