景德镇市2025届高三第一次质检（一检）数学试卷（含答案）

景德镇市2025届高三第一次质检试题数学命题景德镇一中江宁景德镇二中马小宇景德镇十六中余倩本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知（为虚数单位），则在复平面内对应的点在第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四3.已知，，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知，则（）A. B. C. D.5.过点且与曲线相切的直线方程是（）A. B. C. D.6.函数的零点个数是（）A.5 B.6 C.7 D.87.函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（）A. B. C. D.8.甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（）A. B. C. D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数为偶函数，且最小正周期为4B.若，，则往方向上的投影长为C.是抛物线上一点，，则的最小值为1D.已知两直线与，则“”是“，互相平行”的充分不必要条件10.在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中名男生的数学平均成绩为77分，名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩，近似为样本均值，则下列正确的是（）参考数据：若，则，，A.B.总体是35万人C.样本均值为73.5D.估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人11.已知，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，为双曲线上位于第一象限内任意一点，设，，的面积为，则下列说法正确的是（）A.的值随着的增大而减小 B.是定值C. D.若，则第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知公比不为1的等比数列，且，，成等差，则________.13.已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为________.14.甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数.（1）求函数的单调递减区间和对称中心；（2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，求.16.（15分）如图四棱锥，底面是边长为1的正方形，平面平面，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.17.（15分）已知为坐标原点，椭圆，是上一点，离心率.（1）求的方程；（2）斜率为的直线交于，两点，在以为直径的圆上，求的最大值.18.（17分）已知函数，其中.（1）已知，若在定义域内单调递增，求的最小值；（2）求证：存在常数使得，并求出的值；（3）在（2）的条件下，若方程存在三个根，，，且，求的取值范围.19.（17分）第一组数据，其中，第二组数据，这个数互不相等，，分别为其中最大与第二大的数.先从第二组数据中剔除一个数（剩余数相对位置保持不变）得到一组新数据，若将该组数据中相邻两数对换位置称为一次对换，经过至少次对换得到最终数据，简记.若用直线拟合点列，相关系数.（1）第一组数据，第二组数据，若剔除10，经过后得到拟合最佳；若剔除8，经过得到最佳.求的值；（2）在一组互不相等的数的排列中，定义在的右边比其小的数的个数称为的逆序数.已知，的逆序数分别为，，剩余各数按相对顺序从大到小排列.若经过后将这个数从小到大顺序排列，求的所有可能取值；（3）若剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.若，求证：为定值，并求出该定值.

景德镇市2025届高三第一次质检试题数学参考答案第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1234567891011DDBCABBABCADABD1．D【解析】，，．故选D．2．D【解析】，∴对应的点为在第四象限．故选D．3．B【解析】，．故选B．4．C【解析】，故选C．5．A【解析】，点A不在曲线上，由已知可求得切线过点，得直线方程为，，故选A．6．B【解析】数形结合．故选B．7．B【解析】∵是奇函数，∴，即关于点对称．又函数的定义域为，故．且当时，令，即，解得．根据对称性可知当时，．综上所述，的解集是．故选B．8．A【解析】分别取的中点，不难发现平面即平面，平面即平面，∴平面和平面位于正四面体内部的交线为线段，∵正四面体的棱长为1，不难计算得出．故选A．EEF二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分．9．BC【解析】∵，显然是奇函数，故A错误；往方向上的投影长为，故B正确；设，其中，∴，即的最小值为，故C正确；∵互相平行，∴，解得或，经检验时两直线重合，∴“”为“互相平行”的充要条件，故D错误．故选BC．10．AD【解析】由分层随机抽样的特征可知：，故A正确；总体是35万考生的数学成绩，故B错误；根据分层随机抽样的均值知样本均值，故C错误；∵，，，∴小于66分的人数约为人，故D正确．故选AD．11．ABD【解析】在中，由正弦定理可知，显然均为锐角且随着的增大分别减小与增大，即随着的增大分别减小与增大，∴的值随着的增大而减小，故A正确；，由于，∴，∴为定值，故B正确；，而，∴，故C错误；，，∴，∴，解得，∴，故D正确．故选ABD．第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．12．【解析】由题知：∵成等差，∴，又是公比不为1的等比数列，∴，∴，．故答案为．13．【解析】，∴，半径为，，∴，半径为．若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，∴．由于，故，，即的最小值为．14．【解析】第一次给出黑球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为，第一次给出黑球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为，第一次给出白球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为，第一次给出白球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为，∴在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率．故答案为．四、解答题：本大题共5小题，满分77分．15．（本小题13分）解：（1），…………2分该函数的单调递减区间为：……4分令，解得，∴函数的对称中心坐标为，其中．……………6分（2）∵，∴，∴或，∵，∴．…………………………8分∵，…………………9分且，，∴，解得：…11分由余弦定理可知，．…………13分16．（本小题15分）解：（1）取中点，连接，∵，故．∵，平面平面，平面，∴平面，∴．…………4分又∵，∴平面．………6分（2）由上可知，又，∴平面．…………7分如图以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系．……8分∴，……9分设平面的法向量，则，令，解得．………………11分同理，平面的法向量，……………………13分∴平面与平面夹角余弦值…………14分∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为．…15分17．（本小题15分）解析：（1）由题意，解得，∴椭圆的方程为．………………5分（2）设直线为，设，设中点为，联立，根据韦达定理可知，其中．………………8分∴，．∴，………10分∴，…………12分令，∴，等号当且仅当，即时取到，满足………14分∴，即的最大值为．……………………15分18．（本小题17分）解：（1）依题意可知当时，恒成立，…………1分即，而的最小值为，故，………………3分解得，即的最小值为．……………4分（2），……………………6分∵，∴，解得．即当时，．…………9分（3）构造函数，则方程存在三个根即函数函数存在三个零点．∵，∴．………………10分令，得，于是为的一个零点．…………………11分若存在零点，且，由可知，则必存在相应的零点，且．∴必在上存在唯一零点．……………13分若恒成立，即成立，解得，此时在上单调递增，无零点；………………14分若，则，且，∴在上单调递增，故在上存在零点，当时，，单调递减，当时，，单调递增．……………15分∵，即，解得，………16分∴，即．综上所述，的取值范围是．…………………17分19．（本小题17分）解：（1）第一次将对换得到，∴．…………2分第二次将对换得到，∴．故．…………………4分（2）∵的逆序数分别为，∴必为这个数中的最大数．的逆序数分别为，则可能是这个数中第二大或者第三大的数．………………5分若是第二大的数，先将对换到末位需要次对换，再将对换到倒数第二位需要次对换，而后将其余各数对换到相应位置分别需要次对换，则；…………………6分若是第三大的数，则只能是第二大的数，同理需要对换次，需要对换次，需要对换次，…，∴．……………………8分综上所述，或．……………………9分（3）先证明排序不等式，不妨假设,是的一个排列，，不妨假设，则，于是成立的充要条件为，于是经过若干次对换后得：．……………………12分假设经过若干次对换后得到，其中，则．∵，其中与均为正常数，要使得拟合效果最佳，则．∵，不妨假设，则．……………………13分设的所有逆序数之和为，反之，正序数之和为，由于这个数互不相等，则．∵剔除后要使得拟合效果最佳且