2024-2025学年广东省珠海市香洲区紫荆中学九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年广东省珠海市香洲区紫荆中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m＝1 B．m≠1 C．m≥1 D．m≠02．（3分）2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中（）A． B． C． D．3．（3分）已知⊙O的半径为3cm，点P到圆心O的距离为5cm，则点P（）A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆上或圆外4．（3分）已知抛物线y＝（x+3）2﹣2经过点P（1，y1）和Q（3，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定5．（3分）在“双减政策”推动下，某校学生课后作业时长明显减少．原来每天作业平均时长为100min，经过两个学期的调整后，则所列方程为（）A．100（1﹣x2）＝70 B．70（1+x2）＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．70（1+x）2＝1006．（3分）△AOB绕点O逆时针旋转65°后得到△COD，若∠AOB＝30°，则∠BOC的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．65°7．（3分）如图，已知AC是直径，AB＝6，D是弧BC的中点，则DE＝（）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），将点A顺时针旋转90°得到点A'，则点A'坐标为（）A．（1，﹣） B．（﹣，1） C．（0，2） D．（，1）9．（3分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k≤3且k≠0 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k＜310．（3分）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，且入射光线和反射光线使∠MDK＝∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是；与y轴的交点坐标是．12．（3分）已知m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则代数式mn+m2﹣2m的值为．13．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣5先向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的抛物线解析式为．14．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点、且∠D＝130°度．15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（3，0）．（填写序号）①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＝0：④当y＞0时；⑤m为任意实数，则am2+bm＞a+b；⑥若，且x1≠x2，则x1+x2＝2．三、解答题（一）（每小题7分，共21分）16．（7分）解方程：（1）x2+3x＝0；（2）x2﹣6x﹣7＝0．17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，2）（﹣3，1）、C（0，﹣1）．（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后得到的△DEC，并写出点A的对应点D的坐标．18．（7分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的一部分，如图所示．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.6米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米四、解答题（二）（每小题9分，共27分）19．（9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．20．（9分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，点E在⊙O上．（1）若∠BED＝28°，则∠AOD的度数为；（2）若点B是的中点，求证：DE＝AB；（3）若CD＝3，AB＝12，求⊙O的半径长．21．（9分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种台灯的售价每上涨0.5元（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？（2）当台灯的售价定为多少元时，获得的月利润最大？五、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分）22．（13分）如图，在正方形ABCD中，线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），延长BE至点F使得CB＝CF，取线段EF的中点G（1）求证：△ADE≌△CDF．（2）如图（2），当E恰好是BF中点时，求证：．（3）在旋转过程中，∠BGC的度数是否发生改变？若不变，求出∠BGC的度数，请说明理由．（4）若AB＝4，在旋转过程中，请直接写出△GDC的面积最大值．23．（14分）如图所示，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，5），E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移线段CD，若点C的对应点C'落在抛物线上，点D的对应点D'落在直线DE上（3）如图（2），将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，P的对应点为点Q，连接PQ交DE于点G．①当四边形DPEQ是菱形时，请直接写出点P的坐标；②在点P的运动过程中，求线段PQ的最大值．

2024-2025学年广东省珠海市香洲区紫荆中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m＝1 B．m≠1 C．m≥1 D．m≠0【解答】解：由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠3，故选：B．2．（3分）2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中（）A． B． C． D．【解答】解：A．图形既不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B．图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．图形既不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．图形既是中心对称图形，故本选项符合题意故选：D．3．（3分）已知⊙O的半径为3cm，点P到圆心O的距离为5cm，则点P（）A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆上或圆外【解答】解：∵点P到圆心O的距离为5cm＞3cm，∴点P在圆外．故选：C．4．（3分）已知抛物线y＝（x+3）2﹣2经过点P（1，y1）和Q（3，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定【解答】解：当x＝1时，y1＝（8+3）2﹣7＝14；当x＝3时，y2＝（5+3）2﹣6＝34．∵14＜34，∴y1＜y2．故选：C．5．（3分）在“双减政策”推动下，某校学生课后作业时长明显减少．原来每天作业平均时长为100min，经过两个学期的调整后，则所列方程为（）A．100（1﹣x2）＝70 B．70（1+x2）＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．70（1+x）2＝100【解答】解：根据题意得100（1﹣x）2＝70．故选：C．6．（3分）△AOB绕点O逆时针旋转65°后得到△COD，若∠AOB＝30°，则∠BOC的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．65°【解答】解：∵△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，∴∠AOC＝∠BOD＝65°，∵∠AOB＝30°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝35°，故选C．7．（3分）如图，已知AC是直径，AB＝6，D是弧BC的中点，则DE＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：连接OB，∵D是弧BC的中点，∴∠BOD＝∠COD，∵OB＝OD，∴OD⊥BC，BE＝×8＝6，∵AC是圆的直径，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10，∴OB＝AC＝4，∴OE＝＝＝3，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣2＝2．故选：B．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），将点A顺时针旋转90°得到点A'，则点A'坐标为（）A．（1，﹣） B．（﹣，1） C．（0，2） D．（，1）【解答】解：如图所示，过A作AB⊥x轴于B，∵∠AOA'＝90°＝∠ABO＝∠OCA'，∴∠BAO+∠AOB＝90°＝∠A'OC+∠AOB，∴∠BAO＝∠COA'，又∵AO＝OA'，∴△AOB≌△OA'C（AAS），∴A'C＝BO＝1，CO＝AB＝，∴点A′坐标为（，1），故选：D．9．（3分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k≤3且k≠0 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k＜3【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+4的图象与x轴有交点，∴k≠0且Δ＝（﹣6）7﹣4k•3≥8，∴k≤3且k≠0．故选：A．10．（3分）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，且入射光线和反射光线使∠MDK＝∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y（）A． B． C． D．【解答】解：∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝2，∵ME⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BDE＝30°，又∵BE＝x，ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，∴2＜x＜1，∴BD＝2x，CD＝6﹣2x．∵∠MDK＝∠FDK，DK与BC垂直，∴∠CDF＝∠BDE＝30°，∴∠DFC＝180°﹣∠CDF﹣∠C＝90°，∴FC＝CD＝，FD＝CD•sin60°＝（8﹣2x）×＝，∴y＝FC•FD＝（7﹣x）×＝（1﹣x）2．∴函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝5．故选：A．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）；与y轴的交点坐标是（0，2）．【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+2，∴其顶点为（1，3）．又令x＝4，∴y＝﹣（0﹣1）3+3＝2．∴与y轴的交点坐标为（2，2）．故答案为：（1，2），2）．12．（3分）已知m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则代数式mn+m2﹣2m的值为0．【解答】解：∵m、n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，∴m2﹣7m﹣3＝0，mn＝﹣3，∴m2﹣2m＝5，∴mn+m2﹣2m＝﹣2+3＝0．故答案为：4．13．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣5先向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的抛物线解析式为y＝（x+3）2+1．【解答】解：由题知，将抛物线y＝（x+2）2﹣8向左平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝（x+3）6﹣5，再将所得抛物线向上平移6个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝（x+7）2+1．故答案为：y＝（x+2）2+1．14．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点、且∠D＝130°40度．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝180°﹣∠D＝50°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（3，0）①③⑥．（填写序号）①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＝0：④当y＞0时；⑤m为任意实数，则am2+bm＞a+b；⑥若，且x1≠x2，则x1+x2＝2．【解答】解：由所给函数图象可知，a＞0，b＜0，所以abc＞2．故①正确．因为抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和点（7，所以抛物线的对称轴为直线x＝，则，所以2a+b＝0．故②错误．因为抛物线经过点（﹣2，0），所以a﹣b+c＝0，又因为b＝﹣2a，所以a﹣（﹣2a）+c＝0，即8a+c＝0．故③正确．由函数图象可知，当x＜﹣1或x＞8时，函数图象在x轴上方，所以当y＞0时，x＜﹣1或x＞4．故④错误．因为抛物线开口向上，且对称轴为直线x＝1，所以当x＝1时，函数取值最小值为a+b+c，则对于抛物线上任意一点（横坐标为m），且函数值不小于a+b+c，所以am4+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b．故⑤错误．因为，所以．又因为x1≠x8，所以，即x1+x7＝2．故⑥正确．故答案为：①③⑥．三、解答题（一）（每小题7分，共21分）16．（7分）解方程：（1）x2+3x＝0；（2）x2﹣6x﹣7＝0．【解答】解：（1）∵x2+3x＝4，∴x（x+3）＝0，则x＝6或x+3＝0，解得x7＝0，x2＝﹣6；（2）∵x2﹣6x﹣2＝0，∴（x﹣7）（x+8）＝0，则x﹣7＝4或x+1＝0，解得x4＝7，x2＝﹣8．17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，2）（﹣3，1）、C（0，﹣1）．（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后得到的△DEC，并写出点A的对应点D的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C6即为所求．（2）如图，△DEC即为所求．由图可得，点D的坐标为（﹣3．18．（7分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的一部分，如图所示．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.6米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝﹣x5+2x+2＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y有最大值，y最大值＝．∴演员弹跳离地面的最大高度是4.4米．（2）能成功表演．理由是：当x＝4时，y＝﹣2+2×4+2＝3.3．即点B（4，3.6）在抛物线y＝﹣x5+2x+2上，因此，能表演成功．四、解答题（二）（每小题9分，共27分）19．（9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．【解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）＝|m|，∴x5﹣5x+6﹣|m|＝7，∵Δ＝（﹣5）2﹣5（6﹣|m|）＝1+2|m|，而|m|≥0，∴Δ＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是6，∴|m|＝2，解得：m＝±2，∴原方程为：x2﹣5x+4＝5，解得：x1＝1，x2＝4．即m的值为±2，方程的另一个根是6．20．（9分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，点E在⊙O上．（1）若∠BED＝28°，则∠AOD的度数为56°；（2）若点B是的中点，求证：DE＝AB；（3）若CD＝3，AB＝12，求⊙O的半径长．【解答】（1）解：∵OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，∴弧AD＝弧BD，∵∠DEB＝28°，∴∠AOD＝2∠DEB＝56°，故答案为：56°；（2）证明：∵点B是的中点，∴＝，∵OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，∴＝，∴+＝+，即＝，∴DE＝AB；（3）解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝，∵CD＝4，∴OC＝OD﹣CD＝OA﹣CD，在直角三角形AOC中，AO2＝OC2+AC3，∴AO2＝（OA﹣3）2+62，解得AO＝，∴⊙O的半径长为．21．（9分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种台灯的售价每上涨0.5元（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？（2）当台灯的售价定为多少元时，获得的月利润最大？【解答】解：（1）设这种台灯的售价应定为x元，则平均每月可售出[[600﹣，∴（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，∴x2﹣130x+4000＝0，∴x7＝50，x2＝80．又∵每个台灯的利润不得高于进价的90%，即利润≤30×90%＝27，∴x﹣30≤27．∴x≤57．∴x＝50．∴这时应进台灯为：600﹣（50﹣40）＝500（个）．答：为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为50元．（2）由题意，设台灯的售价为x元，依题意：y＝（x﹣30）[600﹣，∴y＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250．又∵0＜x≤57．∴当x＝57时，y最大＝11610元．答：这种台灯的售价应定为57元，每月的最大利润是11610元．五、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分）22．（13分）如图，在正方形ABCD中，线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），延长BE至点F使得CB＝CF，取线段EF的中点G（1）求证：△ADE≌△CDF．（2）如图（2），当E恰好是BF中点时，求证：．（3）在旋转过程中，∠BGC的度数是否发生改变？若不变，求出∠BGC的度数，请说明理由．（4）若AB＝4，在旋转过程中，请直接写出△GDC的面积最大值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∵线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，∴AB＝AE，∠BAE＝α，∴∠DAE＝90°﹣α，∠ABE＝90°﹣，∴∠CBF＝，∵BC＝CF，∴∠CBF＝∠CFB＝，CF＝CD＝AD＝AE，∴∠BCF＝180°﹣α，∴∠DCF＝90°﹣α，∴∠DCF＝∠DAE，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）证明：如图2，连接BD，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∵G是EF的中点，∴DG＝EG＝GF，DG⊥EF，∴∠DGB＝90°＝∠BCD，∠DEG＝45°，∴点G，点D，点C四点共圆，∴∠BGC＝∠BDC＝45°，∴∠DEG＝∠BGC，∴DE∥CG，∵BC＝CF，点E是BF中点，∴CE⊥BF，BE＝EF＝6DG，∴DG∥CE，∴四边形DGCE是平行四边形，∴CE＝DG，∴CF＝＝＝DG，∴AE＝DG；（3）解：∠BGC的度数不会改变，理由如下：如图2，连接BD，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∵G是EF的中点，∴DG＝EG＝GF，DG⊥EF，∴∠DGB＝90°＝∠BCD，∠DEG＝45°，∴点G，点D，点C四点共圆，∴∠BGC＝∠BDC＝45°；（4）解：如图7，连接AC，连接OG，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴CD＝AB＝4，AC＝BD＝2，∵点G，点D，点C四点共圆，∴点G在以O为圆心，OD为半径的圆上运动，∵线段AB绕点A逆时针旋转α（8°＜α＜90°）得到线段AE，∴点G在上运动，∴当OG⊥CD时，△GDC的面积有最大值，∵OD⊥OC，OD＝OC，∴OH＝CH＝DH＝2，∴△GDC的面积的最大值＝×4×（2﹣4．23．（14分）如图所示，抛物线y＝ax2+2x+