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文档简介
宁夏回族自治区银川市2025届高三上学期第三次月考数学试卷一、单选题(本大题共8小题)1.i是虚数单位,复数(
)A. B.1 C. D.2.若数列的前项和,则等于(
)A.10 B.11 C.12 D.133.已知函数为在R上单调递增,则实数a的取值范围是(
)A. B.C. D.0,+∞4.已知,且,则的值为(
)A. B. C. D.5.已知数列为等比数列,,则(
)A. B.C.2 D.6.设等差数列的前项和为,且,,则取最小值时,的值为(
)A.15或16 B.13或14 C.16或17 D.14或157.我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”,用现代式子表示即为:在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则的面积,根据此公式,若,且,则的面积为()A. B.C. D.8.已知函数函数,则下列结论正确的是()A.若,则恰有个零点B.若恰有个零点,则的取值范围是C.若恰有个零点,则的取值范围是D.若,则恰有个零点二、多选题(本大题共3小题)9.已知函数的部分图象如图所示,则(
)A. B. C. D.10.下列说法正确的是(
)A.函数的最小正周期是B.函数的图像的对称中心是,C.函数的递增区间是,D.函数的图像可由函数的图像向右平移个单位而得到11.正方形的边长为4,是中点,如图,点是以为直径的半圆上任意点,,则(
)A.最大值为1 B.最大值为2C.存在使得 D.最大值是8三、填空题(本大题共3小题)12.已知单位向量满足,则方向上的投影向量为.13.已知,则的最小值为.14.设函数,则不等式的解集为.四、解答题(本大题共5小题)15.已知数.(1)求的最小正周期和对称轴方程;(2)求在的最大值和最小值.16.已知数列满足.(1)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.17.在锐角中,内角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若,点是线段的中点,求线段长的取值范围.18.已知函数和(1)若函数是定义域上的严格减函数,求的取值范围.(2)若函数和有相同的最小值,求的值(3)若,是否存在直线,其与两条曲线和共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列19.定义:若数列满足,则称数列为“线性数列”.(1)已知为“线性数列”,且,证明:数列为等比数列.(2)已知.(i)证明:数列为“线性数列”;(ii)记,数列的前项和为,证明:.
参考答案1.【答案】C【分析】借助复数的运算法则计算即可得.【详解】.故选:C.2.【答案】C【详解】.故选:C.3.【答案】B【详解】当时,恒成立,此时在单调递增;当时,,当且仅当时,在单调递增;因为在R上单调递增,此时还需满足,解得,综上所述:,故选:B.4.【答案】D【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系得到,再由及两角差的正切公式计算可得.【详解】解:因为,所以,所以,又,所以.故选:D5.【答案】C【分析】利用等比数列的性质与通项公式即可得解.【详解】因为为等比数列,则公比,所以,又,所以,解得,又,而恒成立,所以,则,故.故选:C.6.【答案】A【详解】由,,所以,数列的公差,且,所以,且数列单调递增,故取最小值时,的值为15或16.故选:A7.【答案】B【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简,求得,再结合已知及余弦定理,求得的值,代入已知公式,即可求解.【详解】由题意,因为,所以,即,又由,所以,由因为,所以,所以,即,因为,由余弦定理可得,解得,则的面积为.故选:B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的正弦函数公式的化简求值的综合应用,意在考查推理与运算能力,属于中档试题.8.【答案】D【详解】令,则,解得或,当时,,由f′x>0,得;由f′x<0则在上单调递减,在上单调递增,,当时,,当时,取最大值,最大值为f−1=2,故的大致图象如图所示,由图可知,有且仅有个实根.当时,恰有个零点,故A选项错误;由恰有个零点,则恰有个实根,且,则或或,则B选项错误;由恰有个零点,得恰有个实根,则或或,则选项错误;当时,有个实根,则恰有个零点,故D单调正确;故选:D.9.【答案】BCD【详解】由图象可知,,则,故,解得,所以,由得,解得,即,又因为,所以,所以,故.故选:BCD.10.【答案】BCD【分析】根据三角函数的周期性、对称性、单调性及图象变换的概念判断各选项.【详解】对于A,时,,时,,不是函数的周期,A错;对于B,,,因此函数图象对称中心是,,B正确;对于C,,,,,是增函数,在上是增函数,在上是减函数,因此原函数的增区间是,C正确;对于D,函数的图像向右平移个单位得图象的函数解析式为,D正确.故选:BCD.11.【答案】AD【详解】以线段所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,如图所示:设,,,,,,,,,,,,,解得,,则,,,时,取最大值1,正确;,其中,,为锐角,当即时,取最大值,故B错误;若,则有,整理得,得,即,故不存在满足条件的值,即不存在符合条件的点,C错误;由于,,时,的最大值为8,D正确.故选:AD.12.【答案】【详解】,因为,所以,所以在方向上的投影向量为.故答案为:.13.【答案】【详解】令,,则,,,令,,则,当且仅当,即时等号成立,,即.故答案为:.14.【答案】【详解】函数,定义域为,,函数为偶函数,当时,在上单调递增,则在上单调递减,不等式,则有,解得且,所以不等式解集为.故答案为:15.【答案】(1)最小正周期为,对称轴方程为,,(2)的最小值,最大值.【详解】(1),所以函数的最小正周期为.令,,解得,,所以函数图象的对称轴方程为,,(2)当时,,则,进而可得,当时,即时,取最小值,时,即时,取最大值.16.【答案】(1)证明见解析,;(2).【详解】(1)由,,所以是首项、公比均为3的等比数列,故;(2)由(1)有,则,所以,两式相减,得,所以.17.【答案】(1)(2)【详解】(1)因为,由余弦定理得,由正弦定理得,又是锐角三角形,所以,所以,所以,又,所以.(2)由余弦定理可得,又,所以,由正弦定理可得,所以,,所以,由题意得解得,则,所以,所以,所以,所以线段长的取值范围为.18.【答案】(1)(2)1(3)存在【分析】(1)求导,然后根据导函数不大于零恒成立,转化为最值求解即可;(2)分别求出两函数的最值,根据最值相等构造函数,求导研究函数单调性,进而可得的值;(3)求导研究函数和的单调性,及最值,设出其交点,进而求出三个不同的交点,根据等式可证明等差数列.【详解】(1)恒成立,因为,所以,则的取值范围为;(2)定义域为,因为,所以,若,则,单调递增,无最小值,故,当时,,当时,,函数在上单调递减,当时,,函数在上单调递增,故,的定义域为,因为,所以,令,解得,当时,,函数在上单调递减,当时,,函数在上单调递增,故,因为函数和有相同的最小值所以,因为,所以化为,令,,则,因为,所以恒成立,所以在上单调递增,又因为,仅有此一解,所以;(3)知,函数在上单调递减,在上单调递增,函数在上单调递减,在上单调递增,设,则,当时,,所以函数在上单调递增,因为,所以当时,恒成立,即在时恒成立,所以时,,因为,函数在上单调递增,,函数在上单调递减,所以函数与函数的图象在上存在唯一交点,设该交点为,,此时可作出函数和的大致图象,由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时,直线必经过点,,即,因为,所以,即,令得,解得或,由,得,令得,解得或,由,得,所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时,从左到右的三个交点的横坐标依次为,,,因为,所以,所以,,成等差数列.所以存在直线,其与两条曲线和共有三个不同的交点,
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