宁夏回族自治区银川市2025届高三上学期第三次月考数学含答案

2025届高三年级第三次月考数学试卷命题教师：闫登选注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．i是虚数单位，复数（

）A． B．1 C． D．2．若数列的前项和，则等于（

）A．10 B．11 C．12 D．133．已知函数为在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．0,+∞4．已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知数列为等比数列，，则（

）A． B．C．2 D．6．设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（

）A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或157．我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（

）A． B．C． D．8．已知函数函数，则下列结论正确的是（）A．若，则恰有个零点B．若恰有个零点，则的取值范围是C．若恰有个零点，则的取值范围是D．若，则恰有个零点二.多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．10．下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期是B．函数的图像的对称中心是，C．函数的递增区间是，D．函数的图像可由函数的图像向右平移个单位而得到11．正方形的边长为4，是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点，，则（

）A．最大值为1 B．最大值为2C．存在使得 D．最大值是8三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．已知单位向量满足，则方向上的投影向量为.13．已知，则的最小值为．14．设函数，则不等式的解集为.四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知数．(1)求的最小正周期和对称轴方程；(2)求在的最大值和最小值．16．已知数列满足.(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.17．在锐角中，内角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．18．已知函数和(1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围.(2)若函数和有相同的最小值，求的值(3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列19．定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”.(1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列.(2)已知.（i）证明：数列为“线性数列”.（ii）记，数列的前项和为，证明：.1．C【分析】借助复数的运算法则计算即可得.【详解】.故选：C.2．C【分析】根据与关系求解即可.【详解】.故选：C.3．B【分析】分段函数在R上单调递增，需要每一段都单调递增，并且在断开处也要满足增函数的定义，由此列出不等式求解即可.【详解】当时，恒成立，此时在单调递增；当时，，当且仅当时，在单调递增；因为在R上单调递增，此时还需满足，解得，综上所述：，故选：B.4．D【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系得到，再由及两角差的正切公式计算可得.【详解】解：因为，所以，所以，又，所以.故选：D5．C【分析】利用等比数列的性质与通项公式即可得解.【详解】因为为等比数列，则公比，所以，又，所以，解得，又，而恒成立，所以，则，故.故选：C.6．A【分析】根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式求基本量，结合及数列单调性确定取最小值时的值.【详解】由，，所以，数列的公差，且，所以，且数列单调递增，故取最小值时，的值为15或16.故选：A7．B【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得，再结合已知及余弦定理，求得的值，代入已知公式，即可求解.【详解】由题意，因为，所以，即，又由，所以，由因为，所以，所以，即，因为，由余弦定理可得，解得，则的面积为.故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的正弦函数公式的化简求值的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题.8．D【分析】令gx=0，可得或，求函数的导数，根据导数判断函数的单调性与取值情况，做出函数图像，数形结合可得解.【详解】令，则，解得或，当时，，由f′x>0，得；由f′x<0则在上单调递减，在上单调递增，，当时，，当时，取最大值，最大值为f−1=2，故的大致图象如图所示，由图可知，有且仅有个实根.当时，恰有个零点，故A选项错误；由恰有个零点，则恰有个实根，且，则或或，则B选项错误；由恰有个零点，得恰有个实根，则或或，则选项错误；当时，有个实根，则恰有个零点，故D单调正确；故选：D.9．BCD【分析】根据图象得，解得，再由解得，再代值即可求解.【详解】由图象可知，，则,故，解得，所以，由得，解得，即，又因为，所以，所以，故.故选：BCD.10．BCD【分析】根据三角函数的周期性、对称性、单调性及图象变换的概念判断各选项．【详解】对于A，时，，时，，不是函数的周期，A错；对于B，，，因此函数图象对称中心是，，B正确；对于C，，，，，是增函数，在上是增函数，在上是减函数，因此原函数的增区间是，C正确；对于D，函数的图像向右平移个单位得图象的函数解析式为，D正确．故选：BCD．11．AD【分析】根据题设条件，建立平面直角坐标系，把数量积问题转化为坐标运算来解决，结合三角函数的性质即可对选项进行判定．【详解】以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：设，，，，，，，，，，，，，解得，，则，，，时，取最大值1，正确；，其中，，为锐角，当即时，取最大值，故B错误；若，则有，整理得，得，即，故不存在满足条件的值，即不存在符合条件的点，C错误；由于，，时，的最大值为8，D正确．故选：AD．12．【分析】先由题意结合向量模长公式求出，再根据投影向量公式即可求解.【详解】，因为，所以，所以在方向上的投影向量为.故答案为：.13．【分析】令，，通过指数式与对数式互化用表示出，再借助基本不等式进行求解即可.【详解】令，，则，，，令，，则，当且仅当，即时等号成立，，即.故答案为：.【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14．【分析】由函数解析式分析得为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可.【详解】函数，定义域为，，函数为偶函数，当时，在上单调递增，则在上单调递减，不等式，则有，解得且，所以不等式解集为.故答案为：15．(1)最小正周期为，对称轴方程为，，(2)的最小值，最大值.【分析】（1）由三角函数恒等变换化简，由周期公式即可求得最小正周期；利用整体法求得对称轴方程，（2）先求出的范围，再由正弦函数的性质求最值．【详解】（1），所以函数的最小正周期为．令，，解得，，所以函数图象的对称轴方程为，，（2）当时，，则，进而可得，当时，即时，取最小值，时，即时，取最大值.16．(1)证明见解析，；(2).【分析】（1）由题设有，结合等比数列定义证结论，并写出通项公式；（2）应用错位相减、等比数列前n项和公式求.【详解】（1）由，，所以是首项、公比均为3的等比数列，故；（2）由（1）有，则，所以，两式相减，得，所以.17．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理，正弦定理，同角三角函数的商数关系，两角和的正弦公式及诱导公式得，根据，即可得出，进而求解；（2）由余弦定理得，根据平面向量的线性运算得，进而得出，根据正弦定理，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式得出，结合，正弦函数的性质即可求解．【详解】（1）因为，由余弦定理得，由正弦定理得，又是锐角三角形，所以，所以，所以，又，所以．（2）由余弦定理可得，又，所以，由正弦定理可得，所以，，所以，由题意得解得，则，所以，所以，所以，所以线段长的取值范围为．18．(1)(2)1(3)存在【分析】（1）求导，然后根据导函数不大于零恒成立，转化为最值求解即可；（2）分别求出两函数的最值，根据最值相等构造函数，求导研究函数单调性，进而可得的值；（3）求导研究函数和的单调性，及最值，设出其交点，进而求出三个不同的交点，根据等式可证明等差数列.【详解】（1）恒成立，因为，所以，则的取值范围为；（2）定义域为，，，若，则，单调递增，无最小值，故，当时，，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，故，的定义域为，，，令，解得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，故，函数和有相同的最小值，，化为，令，，则，，恒成立，在上单调递增，又，仅有此一解，；（3）（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，设，则，当时，，所以函数在上单调递增，因为，所以当时，恒成立，即在时恒成立，所以时，，因为，函数在上单调递增，，函数在上单调递减，所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为,，此时可作出函数和的大致图象，由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，直线必经过点,，即，因为，所以，即，令得，解得或，由，得，令得，解得或，由，得，所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，因为，所以，所以，，成等差数列．存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【点睛】关键点点睛：本题第三问关键点是找到两函数的交点对应的相关等式，才能求出3个交点时的横坐标.19．(1)证明见解析(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）依题意可得，则，即可求出、，从而得到，结合等比数列的